Квадрат перестановки

[Xo4y3HaTb]

Накопился ряд вопросов по разным темам. Буду благодарен за помощь.
1) Пусть $\pi = \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& \\ 7& 4& 6& 3& 1& 5& 2& \\ \end{pmatrix}$ - перестановка. Тогда $\pi^2 = \begin{pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& \\ 2& 3& 5& 6& 7& 1& 9& \\ \end{pmatrix}$. Допустим мне дана перестановка $\pi^2$. Могу ли я по ней определить $\pi$ (не перебором)? У меня не получилось.
2) Кострикин. Задача 1.1. Пусть $ A_i (i \in I), B $ - подмножества в $X$....(далее не важно). Что такое $I$? Произвольное мн-во? Оно может быть континуальным?
3) $X$ - произвольное мн-во. $2^X$ - множество всех его подмножеств. В случае, когда $X$ - не более чем счётное, можно проверить и убедиться. Где можно глянуть док-во для счётного и континуального мн-ва?
4) Решал задачи (5 шт. т.к. больше не нашёл) на док-во расходимости последовательности при помощи критерия Коши. Всегда использовал один способ $\left\lvert2n-n\right\rvert$ и он работал. Является ли данный способ универсальным? Не хотелось бы в нужный момент, чтоб он дал осечку. Интуитивно, кажется, что он должен работать всегда.
5) Обладает ли отношение параллельности между прямыми свойствами рефлексивности и транзитивности? В учебнике Зорича написано: "Из курса геометрии известно... что обладает", следовательно отношение параллельности является отношением эквивалентности. Смотрел курс по аналитической геометрии, там преподаватель говорил, что не обладает этими св-вами. По идее прямая пересекается сама с собой в каждой своей точке, следовательно она не параллельна сама себе. Кому верить?

[dgwuqtj]

1) Есть быстрый алгоритм, который считает какой-то квадратный корень из перестановки или доказывает, что их нет. Например, можно найти разложение в произведение циклов, корни из нечётных циклов и пар чётных циклов одинаковой длины легко считаются. Эих корней может быть много, хотя по идее их можно единообразно описать.
5) Смотря какое у вас определение. Лично мне удобно считать, что прямые параллельны самим себе, а в евклидовой геометрии вроде традиционно наоборот.

[KhAl]

2) да, какое угодно множество. Например, можно в качестве $I$ взять какое-нибудь подмножество $2^X$ (то есть, $I$ это некоторое множество, состоящее из подмножеств $X$) и положить $A_i = i$.

Задача про объединения/пересечения произвольных (конечных или бесконечных, а иногда — пустых) наборов подмножеств в $X$. Индексы там для простоты восприятия, и можно обойтись без них. Пример выше показывает, что любой набор множеств можно заиндексировать собой же.

3) $2^X$ это по определению множество всех подмножеств $X$. Множество всех подмножеств $X$ обозначается $2^X$. Что предлагается проверить?

4) $\ln(\ln(n))$

[Евгений Машеров]

https://math.stackexchange.com/question ... ermutation

[EminentVictorians]

Xo4y3HaTb в сообщении #1616477 писал(а):

5) Обладает ли отношение параллельности между прямыми свойствами рефлексивности и транзитивности?

Лучше считать, что да. Плюс еще и симметричность. Другими словами, отношение параллельности является отношением эквивалентности. Для классов эквивалентности по этому отношению я встречал термин "направленность".

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj в сообщении #1616480 писал(а):

1) Есть быстрый алгоритм, который считает какой-то квадратный корень из перестановки или доказывает, что их нет. Например, можно найти разложение в произведение циклов, корни из нечётных циклов и пар чётных циклов одинаковой длины легко считаются. Эих корней может быть много, хотя по идее их можно единообразно описать.
5) Смотря какое у вас определение. Лично мне удобно считать, что прямые параллельны самим себе, а в евклидовой геометрии вроде традиционно наоборот.

1) Понял. Тогда почитаю теорию, потом попробую решить уже)
5) Я думал, что если даются определения то они должны быть эквивалентными т.е. св-ва сохраняются для каждого определения

KhAl в сообщении #1616484 писал(а):

2) да, какое угодно множество. Например, можно в качестве $I$ взять какое-нибудь подмножество $2^X$ (то есть, $I$ это некоторое множество, состоящее из подмножеств $X$) и положить $A_i = i$.

Задача про объединения/пересечения произвольных (конечных или бесконечных, а иногда — пустых) наборов подмножеств в $X$. Индексы там для простоты восприятия, и можно обойтись без них. Пример выше показывает, что любой набор множеств можно заиндексировать собой же.

3) $2^X$ это по определению множество всех подмножеств $X$. Множество всех подмножеств $X$ обозначается $2^X$. Что предлагается проверить?
4) сейчас попробую решить

4) $\ln(\ln(n))$

2) Спасибо просто никогда не представлял себе континуальное объединение множеств. Попробую решить.
3) Ой, я вообще не так понял. Думал речь идёт о мощности мн-ва. Например, если $X$ - мн-во из $3$ элементов, то $2^3$ - мощность множества всех его подмножеств. И думал, что если $X$ - отрезок, то $2^X$ - мощность множества всех его подмножеств) но непонятно, что это за степень такая.

[EminentVictorians]

Xo4y3HaTb в сообщении #1616488 писал(а):

умал речь идёт о мощности мн-ва. Например, если $X$ - мн-во из $3$ элементов, то $2^3$ - мощность множества всех его подмножеств. И думал, что если $X$ - отрезок, то $2^X$ - мощность множества всех его подмножеств) но непонятно, что это за степень такая.

Да, тут есть связь. $2^X$ - это по определению множество всех подмножеств множества $X$. Но такое обозначение возникло не случайно, а именно потому что оно согласовано с арифметикой конечных кардиналов.

[KhAl]

Xo4y3HaTb писал(а):

Спасибо просто никогда не представлял себе континуальное объединение множеств

Это нормально. Его лучше не представлять, а пользоваться определением $\bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid \exists i \in I{:}\; x \in A_i\}$. Иначе говоря, для всякого $x$ имеет место эквивалентность $x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \exists i \in I{:}\; x \in A_i$.

[Xo4y3HaTb]

Евгений Машеров в сообщении #1616486 писал(а):

https://math.stackexchange.com/questions/266569/how-to-find-the-square-root-of-a-permutation

Спасибо! Но мне потребуется время.

EminentVictorians в сообщении #1616489 писал(а):

Да, тут есть связь. $2^X$ - это по определению множество всех подмножеств множества $X$. Но такое обозначение возникло не случайно, а именно потому что оно согласовано с арифметикой конечных кардиналов.

Теперь понятно)

EminentVictorians в сообщении #1616487 писал(а):

Лучше считать, что да. Плюс еще и симметричность. Другими словами, отношение параллельности является отношением эквивалентности. Для классов эквивалентности по этому отношению я встречал термин "направленность".

Хорошо, буду так считать, учитывая, что пока не особо понимаю как и где используется отношение эквивалентности.

KhAl в сообщении #1616484 писал(а):

$\ln(\ln(n))$

Вроде тоже решил. $\left\lvert2n-n\right\rvert = \ln(\ln(n+1))+...+\ln(\ln(n+n)) > \ln(\ln(2n)) > \ln(\ln(2))$ (последнее неравенство верно при $n \geqslant 1$ т.к. ф-я возр.)

KhAl в сообщении #1616490 писал(а):

Его лучше не представлять, а пользоваться определением $\bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid \exists i \in I{:}\; x \in A_i\}$. Иначе говоря, для всякого $x$ имеет место эквивалентность $x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow \exists i \in I{:}\; x \in A_i$.

Хорошо, представлять не буду) По определению всё ясно становится.

[KhAl]

Xo4y3HaTb, во-первых, я имел в виду последовательность $\ln(\ln(n))$, а не ряд $\sum_{n=1}^\infty \ln(\ln(n))$. Если Вам непременно нужен ряд, возьмите $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln(n)}$.

Во-вторых, $|2n-n| = |n|$. Пишите внятно. Вас не затруднит, раз уж Вы готовы тратить время на то, чтобы вместо | писать \left\lvert.

-- 06.11.2023, 19:20 --

(Оффтоп)

EminentVictorians писал(а):

Для классов эквивалентности по этому отношению я встречал термин "направленность".

Херню вы встречали, это направление — то есть для двух параллельных прямых можно сказать, что у этих прямых одинаковое направление. А направленность это нечто совсем другое.

[Xo4y3HaTb]

KhAl в сообщении #1616499 писал(а):

Xo4y3HaTb, во-первых, я имел в виду последовательность $\ln(\ln(n))$, а не ряд $\sum_{n=1}^\infty \ln(\ln(n))$. Если Вам непременно нужен ряд, возьмите $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln(n)}$.

Последовательность тоже решил этим способом.
$x_n = \ln(\ln(n)), \left\lvert x_{2n}-x_n\right\rvert = \ln(\ln(2n)) - \ln(\ln(n)) = \ln(\frac{\ln(2n)}{\ln(n)}) = \ln(1 + \frac{\ln(2)}{\ln(n)}) > \ln(1) = e$ (Не пойму почему перекидывает на новую строку в середине выражения).
Но с суммой ряда этот метод не дал результат. Я получил $\frac{1}{2\ln(2n)}$. Получается он не универсален. Жаль. Как же тогда док-ть по Коши расходимость этого ряда?

[Null]

$\ln(1) = 0$

[Xo4y3HaTb]

Null в сообщении #1616529 писал(а):

$\ln(1) = 0$

Ой какой позор... Тогда последовательность тоже не решена(

[Xo4y3HaTb]

Вроде понял. Если $|x_{2n}-x_{n}|$ не работает, то нужно увеличить расстояние между n-ми членами последовательности.
$x_n = \ln(\ln(n)), \left\lvert x_{n^2}-x_n\right\rvert = \ln(\ln(n^2)) - \ln(\ln(n)) = \ln(\frac{\ln(n^2)}{\ln(n)}) = \ln(2) $

[Xo4y3HaTb]

Никак не выходит по критерию Коши доказать расходимость последовательности $x_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln(k)}$. Пытался оценить так: $\left\lvert x_{n^2}-x_n\right\rvert$,$\left\lvert x_{n^3}-x_n\right\rvert$, $\left\lvert x_{n!}-x_n\right\rvert$. Но каждый раз эти выражения приводятся к б.м., т.е. в знаменателе остаётся либо $n$, либо $\ln(n)$, что меньше любого эпсилон. Можно ли решить одним из приведённых способов или нужно по другому оценивать?