1) Есть быстрый алгоритм, который считает какой-то квадратный корень из перестановки или доказывает, что их нет. Например, можно найти разложение в произведение циклов, корни из нечётных циклов и пар чётных циклов одинаковой длины легко считаются. Эих корней может быть много, хотя по идее их можно единообразно описать.
5) Смотря какое у вас определение. Лично мне удобно считать, что прямые параллельны самим себе, а в евклидовой геометрии вроде традиционно наоборот.
1) Понял. Тогда почитаю теорию, потом попробую решить уже)
5) Я думал, что если даются определения то они должны быть эквивалентными т.е. св-ва сохраняются для каждого определения
2) да, какое угодно множество. Например, можно в качестве

взять какое-нибудь подмножество

(то есть,

это некоторое множество, состоящее из подмножеств

) и положить

.
Задача про объединения/пересечения произвольных (конечных или бесконечных, а иногда — пустых) наборов подмножеств в

. Индексы там для простоты восприятия, и можно обойтись без них. Пример выше показывает, что любой набор множеств можно заиндексировать собой же.
3)

это по определению множество всех подмножеств

. Множество всех подмножеств

обозначается

. Что предлагается проверить?
4) сейчас попробую решить
4)

2) Спасибо просто никогда не представлял себе континуальное объединение множеств. Попробую решить.
3) Ой, я вообще не так понял. Думал речь идёт о мощности мн-ва. Например, если

- мн-во из

элементов, то

- мощность множества всех его подмножеств. И думал, что если

- отрезок, то

- мощность множества всех его подмножеств) но непонятно, что это за степень такая.