Реактивное движение.

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. Задача:
Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью $u$, постоянной относительно ракеты. Найдите скорость $v $ ракеты в момент, когда ее масса равна $m$, если в начальный момент времени она имела массу $m_0$ и ее скорость была равна нулю.
Используя уравнение Мещерского для внешней силы $\vec{F}=\vec{0}$ , имеем:

$m \frac{\Delta v} {\Delta t} = - u \frac{\Delta m} {\Delta t}$. Переходя к дифурам, упрощая и интегрируя, все получим:

$ d v = - u \frac{d m}{m}$

$ \int\limits_{0}^{v} d v = - u \int\limits_{m_0}^{m} \frac{d m}{m}$

$v=u \ln (\frac{m_0}{m})$

Мучает мысль, можно ли эту задачу решить без интеграла?

[sergey zhukov]

Stensen
Уравнение Циолковского может сразу использовать?

[DimaM]

Stensen
Можно представить себе выбрасывание $N$ кусков равной массы, записать сумму и найти ее предел при $N\to\infty$.
Специально, чтобы таким не заниматься, придумали интеграл

[Stensen]

sergey zhukov в сообщении #1616419 писал(а):

Stensen
Уравнение Циолковского может сразу использовать?

Надеялся как-то без этого уравнения решить.

DimaM в сообщении #1616420 писал(а):

Stensen
Можно представить себе выбрасывание $N$ кусков равной массы, записать сумму и найти ее предел при $N\to\infty$.
Специально, чтобы таким не заниматься, придумали интеграл

Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1616424 писал(а):

Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?

Я не пробовал. Возможно, получится какой-нибудь известный предел.
А это "без интеграла" - внешнее требование или какой-то психологический блок?

[Stensen]

DimaM в сообщении #1616425 писал(а):

Stensen в сообщении #1616424 писал(а):

Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?

А это "без интеграла" - внешнее требование или какой-то психологический блок?

Задача для 10-го класса, интегралов еще не было. Спасибо за ответ

[DimaM]

Stensen в сообщении #1616428 писал(а):

Задача для 10-го класса, интегралов еще не было.

Если это курс физматшколы, то уже были. По физике, математики обычно запаздывают.

-- 06.11.2023, 15:22 --

Можно, кстати, рассматривать определение логарифма как

$$\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{dy}{y}.$$

[realeugene]

Stensen в сообщении #1616417 писал(а):

Мучает мысль, можно ли эту задачу решить без интеграла?

Производные в школе уже знают. Замените $\frac {dm} m = d \ln m$, а константу $u$ перенесите влево тоже под знак дифференциала, после чего у вас остаётся простое дифференциальное уравнение типа $dx = dy$, которое интегрируется тривиально.