2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 10:53 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Всем доброго времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. Задача:
Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью $u$, постоянной относительно ракеты. Найдите скорость $v $ ракеты в момент, когда ее масса равна $m$, если в начальный момент времени она имела массу $m_0$ и ее скорость была равна нулю.
Используя уравнение Мещерского для внешней силы $\vec{F}=\vec{0}$ , имеем:

$m \frac{\Delta v} {\Delta t} = - u \frac{\Delta m} {\Delta t}$. Переходя к дифурам, упрощая и интегрируя, все получим:

$ d v = - u \frac{d m}{m}$

$ \int\limits_{0}^{v} d v = - u \int\limits_{m_0}^{m} \frac{d m}{m}$

$v=u \ln (\frac{m_0}{m})$

Мучает мысль, можно ли эту задачу решить без интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 10:58 


17/10/16
4913
Stensen
Уравнение Циолковского может сразу использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 10:59 
Заслуженный участник


28/12/12
7944
Stensen
Можно представить себе выбрасывание $N$ кусков равной массы, записать сумму и найти ее предел при $N\to\infty$.
Специально, чтобы таким не заниматься, придумали интеграл :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 11:13 
Аватара пользователя


26/11/14
773
sergey zhukov в сообщении #1616419 писал(а):
Stensen
Уравнение Циолковского может сразу использовать?
Надеялся как-то без этого уравнения решить.

DimaM в сообщении #1616420 писал(а):
Stensen
Можно представить себе выбрасывание $N$ кусков равной массы, записать сумму и найти ее предел при $N\to\infty$.
Специально, чтобы таким не заниматься, придумали интеграл :wink:
Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 11:16 
Заслуженный участник


28/12/12
7944
Stensen в сообщении #1616424 писал(а):
Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?
Я не пробовал. Возможно, получится какой-нибудь известный предел.
А это "без интеграла" - внешнее требование или какой-то психологический блок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 11:19 
Аватара пользователя


26/11/14
773
DimaM в сообщении #1616425 писал(а):
Stensen в сообщении #1616424 писал(а):
Намекаете, что без интеграла (или его непосредственного вывода), никак?
А это "без интеграла" - внешнее требование или какой-то психологический блок?
Задача для 10-го класса, интегралов еще не было. Спасибо за ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 11:21 
Заслуженный участник


28/12/12
7944
Stensen в сообщении #1616428 писал(а):
Задача для 10-го класса, интегралов еще не было.

Если это курс физматшколы, то уже были. По физике, математики обычно запаздывают.

-- 06.11.2023, 15:22 --

Можно, кстати, рассматривать определение логарифма как
$$\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{dy}{y}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Реактивное движение.
Сообщение06.11.2023, 15:18 


27/08/16
10452
Stensen в сообщении #1616417 писал(а):
Мучает мысль, можно ли эту задачу решить без интеграла?
Производные в школе уже знают. Замените $\frac {dm} m = d \ln m$, а константу $u$ перенесите влево тоже под знак дифференциала, после чего у вас остаётся простое дифференциальное уравнение типа $dx = dy$, которое интегрируется тривиально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: skobar


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group