Давайте всё-таки добьём тему про ЛТП

[AD]

Напомню, что после последних моих обсуждений у меня в голове осталось линейное топологическое пространство $E$ и последовательность векторов $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в нём, такая, что для сколь угодно быстро убывающих* последовательностей положительных чисел $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_kx_k$ расходится.

И мы остановились на том, что такая ситуация, в принципе, возможна даже в локально-выпуклых $E$ (лемма Хорхе), однако невозможна в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

Насколько можно усилить последнее утверждение, оставаясь в полных линейных топологических пространствах? То есть существуют ли такие последовательности векторов в полных ЛТП, в полных ЛВП?

_________________
* То есть существует последовательность положительных чисел $\{d_k\}_{k=1}^\infty$ такая, что для любой последовательности положительных чисел $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ последовательность $c_k=\min\{d_k,e_k\}$ такова, что ...

[Хорхе]

AD писал(а):

И мы остановились на том, что такая ситуация, в принципе, возможна даже в локально-выпуклых $E$ (лемма Хорхе), однако невозможна в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

У меня такой формулировки не было! Так что это лемма AD'а. Я вообще не представляю, какое отношение имеет это к сказанному мной, все-таки у меня полное сепарабельное метрическое пространство, даже компакт, можно так считать. Вот было б хорошо, если б Вы все-таки написали, как эти вещи связаны.

[AD]

Ну в смысле методика перенимается. Берём бесконечномерное линейное пространство $E$, в нем последовательность линейно независимых векторов $\{x_k\}$, берем индексное множество $\Lambda$, состоящее из всех последовательностей действительных чисел, и для всех $\lambda=\{a_n\}_{n=1}^\infty\in\Lambda$ определяем линейный функционал $\omega_\lambda(x)$ так, что $\omega_\lambda(x_k)=a_k$. Потом вводим систему преднорм $\{\|\cdot\|_\lambda=|\omega_\lambda(\cdot)|\}_{\lambda\in\Lambda}$ - и для любой последовательности $c_k$ берем $\lambda=\bigl\{\frac1{c_n}\bigr\}_{n=1}^\infty$ - и получаем, что $\|c_kx_k\|_\lambda\not\to0$.

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Собственно, я спрашиваю, может ли получиться полученное таким образом пространство полным.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

Ну то есть понятна связь с предыдущей темой, да? Если бы $f_k(\lambda)=\|x_k\|_\lambda$ всегда было $\le\gamma_k\cdot\tau(\lambda)$, то всё было бы хорошо (можно было бы взять $c_k\le\frac{\gamma_k}{2^k}$). После логарифмирования этого неравенства получаем предыдущую тему.

Добавлено спустя 6 минут 53 секунды:

Щас,щас,щас. Есть ведь такая штука - "сильнейшее" ЛВП (то есть на нем введены все преднормы, какие только можно). В нём, значит, тоже такие эффекты есть? Да, конечно, очевидно. И там критерий сходимости - когда все векторы лежат в одном и том же конечномерном подпространстве, и там сходятся покоординатно.

Это пространство у нас полное или нет? (думаю)

[zoo]

AD в сообщении #160786 писал(а):

в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

такие пространства называются пространствами Фреше

[AD]

zoo, спасибо. Теперь еще раз взялся за книжку и этот факт выучил-таки (а то каша какая-то была в голове с этим определением - то казалось, что они не обязательно локально-выпуклые, то - что не обязательно полные ... лан короче).

[AD]

А вопросы всё множатся и множатся, и нету им конца. Если некоторые из них слишком простые - вы так и скажите, подумаю ещё.

1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

2. Вообще, верно ли, что всякая преднорма мажорируется некоторой банаховой преднормой? [решено]

3. А если взять топологию, задаваемую семейством, состоящим из всех возможных банаховых преднорм, то может ли в ней существовать

AD в сообщении #160786 писал(а):

последовательность векторов $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в нём, такая, что для сколь угодно быстро убывающих последовательностей положительных чисел $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_kx_k$ расходится.

4. А если мы возьмем все евклидовы или все гильбертовы нормы - что тогда можно сказать про получающуюся топологию?

[id]

AD
2. Например, пространство полиномов на $[a,b]$ с обычной $sup$-нормой. Не полно.
Пусть в нем задана некоторая другая норма,( так что порождаемая топология ) мажорирует исходную и в ней данная фундаментальная последовательность полиномов сходится к некоторому полиному. Но тогда она бы сходилась к нему и в исходной топологии, что не всегда верно.
( это если я, конечно, правильно понял вопрос... )

Но вообще есть теорема

Цитата:

Пополнением ЛВП $E$ будет ЛВП, топология которого порождается непрерывными продолжениями функций из какого-нибудь порождающего семейства преднорм на $E$.

[AD]

А, ну даже еще проще. Алгебраически-счетномерное простнанство не может стать банаховым!! Так что там никакая нетривиальная преднорма банаховой не мажорируется (просто потому, что последних очень мало). А может и не проще ... Спасибо!

[Алексей К.]

Приятно узнать, что ЛТП --- это не только лечебно-трудовой профилакторий...

[AD]

AD в сообщении #161302 писал(а):

Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

Похоже, все-таки, является, и это приятно. Ну покажем, что если $\{x_k\}$ - фундаментальная последовательность, то она вся состоит из векторов некоторого конечномерного подпространства. Ну действительно, иначе по индукции выбрались бы такие $m_k>n_k>k$, что $e_k=x_{m_k}-x_{n_k}$ не зависел бы от $\{e_i\}_{i=1}^{k-1}$, а потом уже несложно сочинить преднорму $\|\cdot\|$ такую, что $\|e_k\|=1$ для всех $k$. Ну а в конечномерном подпространстве вообще всё ясно вроде.

P.S.

Алексей К. в сообщении #161398 писал(а):

Приятно узнать, что ЛТП --- это не только лечебно-трудовой профилакторий...

Это есть, да ... А я вот в свое время долго не мог понять, зачем в учебнике русского языка фиг-знает-сколько-десятилетней давности предлагали расшифровать сокращение "МТС" ...

[zoo]

AD в сообщении #161302 писал(а):

А вопросы всё множатся и множатся, и нету им конца. Если некоторые из них слишком простые - вы так и скажите, подумаю ещё.

1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

2. Вообще, верно ли, что всякая преднорма мажорируется некоторой банаховой преднормой? [решено]

а почему сильнейшая локальновыпуклая топология должна существовать? и что Вы называете полной топологией?
а что такое банахова преднорма?

[AD]

Извиняюсь за отсутствие.
_________________

zoo в сообщении #162583 писал(а):

а почему сильнейшая локальновыпуклая топология должна существовать?

AD в сообщении #160807 писал(а):

"сильнейшее" ЛВП (то есть на нем введены все преднормы, какие только можно)

Это было определение.
_________________

zoo в сообщении #162583 писал(а):

и что Вы называете полной топологией?

Определение полного линейного топологического пространства - штука вполне стандартная. Напомнить? В смысле меня проверяете?
_________________

zoo в сообщении #162583 писал(а):

а что такое банахова преднорма?

Это преднорма, после введения которой на линейном пространстве последнее становится полным ЛТП.

[zoo]

AD в сообщении #163445 писал(а):

Определение полного линейного топологического пространства - штука вполне стандартная. Напомнить? В смысле меня проверяете?

стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши

AD в сообщении #161302 писал(а):

1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

да, Робертсон Топологические векторные пространства

[AD]

zoo в сообщении #163448 писал(а):

стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши

А, тады ой. Речь идет о том, что последовательность $\{x_n\}$ считается фундаментальной, если $x_m-x_n$ попадает в любую окрестность нуля при достаточно большом $\min\{m,n\}$. Если у нас система преднорм, то это просто превращается в фундаментальность по всем преднормам. Это оно же?

P.S. Робертсон под рукой есть, поищу.

[zoo]

AD писал(а):

zoo в сообщении #163448 писал(а):

стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши

А, тады ой. Речь идет о том, что последовательность $\{x_n\}$ считается фундаментальной, если $x_m-x_n$ попадает в любую окрестность нуля при достаточно большом $\min\{m,n\}$. Если у нас система преднорм, то это просто превращается в фундаментальность по всем преднормам. Это оно же?

вообще говоря, это не эквтвалентнео определению полноты пространства с помощью фильтров Коши Если полнотой называть только сходимость последовательностей Коши (секвенциальная полнота) то от ряда хороших теорем в локальновыпуклых пространствах придется отказаться. Хотя , конечно, возвращаясь к Вашему предыдущему вопросу, раз сильнейшая локальновыпуклая топология полна в смысле фильтров Коши то в чатности сходятся и поледовательности Коши.
На языке последовательностей эквивалентным образом можно рассуждать в пространствах Фреше, например.