2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Давайте всё-таки добьём тему про ЛТП
Сообщение22.11.2008, 08:37 
Напомню, что после последних моих обсуждений у меня в голове осталось линейное топологическое пространство $E$ и последовательность векторов $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в нём, такая, что для сколь угодно быстро убывающих* последовательностей положительных чисел $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_kx_k$ расходится.

И мы остановились на том, что такая ситуация, в принципе, возможна даже в локально-выпуклых $E$ (лемма Хорхе), однако невозможна в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

Насколько можно усилить последнее утверждение, оставаясь в полных линейных топологических пространствах? То есть существуют ли такие последовательности векторов в полных ЛТП, в полных ЛВП?

_________________
* То есть существует последовательность положительных чисел $\{d_k\}_{k=1}^\infty$ такая, что для любой последовательности положительных чисел $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ последовательность $c_k=\min\{d_k,e_k\}$ такова, что ...

 
 
 
 Re: Давайте всё-таки добьём тему про ЛТП
Сообщение22.11.2008, 10:47 
Аватара пользователя
AD писал(а):
И мы остановились на том, что такая ситуация, в принципе, возможна даже в локально-выпуклых $E$ (лемма Хорхе), однако невозможна в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

У меня такой формулировки не было! Так что это лемма AD'а. Я вообще не представляю, какое отношение имеет это к сказанному мной, все-таки у меня полное сепарабельное метрическое пространство, даже компакт, можно так считать. Вот было б хорошо, если б Вы все-таки написали, как эти вещи связаны.

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 11:09 
Ну в смысле методика перенимается. Берём бесконечномерное линейное пространство $E$, в нем последовательность линейно независимых векторов $\{x_k\}$, берем индексное множество $\Lambda$, состоящее из всех последовательностей действительных чисел, и для всех $\lambda=\{a_n\}_{n=1}^\infty\in\Lambda$ определяем линейный функционал $\omega_\lambda(x)$ так, что $\omega_\lambda(x_k)=a_k$. Потом вводим систему преднорм $\{\|\cdot\|_\lambda=|\omega_\lambda(\cdot)|\}_{\lambda\in\Lambda}$ - и для любой последовательности $c_k$ берем $\lambda=\bigl\{\frac1{c_n}\bigr\}_{n=1}^\infty$ - и получаем, что $\|c_kx_k\|_\lambda\not\to0$.

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Собственно, я спрашиваю, может ли получиться полученное таким образом пространство полным.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

Ну то есть понятна связь с предыдущей темой, да? Если бы $f_k(\lambda)=\|x_k\|_\lambda$ всегда было $\le\gamma_k\cdot\tau(\lambda)$, то всё было бы хорошо (можно было бы взять $c_k\le\frac{\gamma_k}{2^k}$). После логарифмирования этого неравенства получаем предыдущую тему.

Добавлено спустя 6 минут 53 секунды:

Щас,щас,щас. Есть ведь такая штука - "сильнейшее" ЛВП (то есть на нем введены все преднормы, какие только можно). В нём, значит, тоже такие эффекты есть? Да, конечно, очевидно. И там критерий сходимости - когда все векторы лежат в одном и том же конечномерном подпространстве, и там сходятся покоординатно.

Это пространство у нас полное или нет? (думаю)

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 14:14 
Аватара пользователя
AD в сообщении #160786 писал(а):
в полных метризуемых локально-выпуклых пространствах.

такие пространства называются пространствами Фреше

 
 
 
 
Сообщение22.11.2008, 20:38 
zoo, спасибо. Теперь еще раз взялся за книжку и этот факт выучил-таки (а то каша какая-то была в голове с этим определением - то казалось, что они не обязательно локально-выпуклые, то - что не обязательно полные ... лан короче).

 
 
 
 
Сообщение23.11.2008, 20:39 
А вопросы всё множатся и множатся, и нету им конца. Если некоторые из них слишком простые - вы так и скажите, подумаю ещё.

1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

2. Вообще, верно ли, что всякая преднорма мажорируется некоторой банаховой преднормой? [решено]

3. А если взять топологию, задаваемую семейством, состоящим из всех возможных банаховых преднорм, то может ли в ней существовать
AD в сообщении #160786 писал(а):
последовательность векторов $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ в нём, такая, что для сколь угодно быстро убывающих последовательностей положительных чисел $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty c_kx_k$ расходится.
:?:

4. А если мы возьмем все евклидовы или все гильбертовы нормы - что тогда можно сказать про получающуюся топологию?

 
 
 
 
Сообщение23.11.2008, 22:16 
AD
2. Например, пространство полиномов на $[a,b]$ с обычной $sup$-нормой. Не полно.
Пусть в нем задана некоторая другая норма,( так что порождаемая топология ) мажорирует исходную и в ней данная фундаментальная последовательность полиномов сходится к некоторому полиному. Но тогда она бы сходилась к нему и в исходной топологии, что не всегда верно.
( это если я, конечно, правильно понял вопрос... )

Но вообще есть теорема
Цитата:
Пополнением ЛВП $E$ будет ЛВП, топология которого порождается непрерывными продолжениями функций из какого-нибудь порождающего семейства преднорм на $E$.

 
 
 
 
Сообщение23.11.2008, 22:53 
А, ну даже еще проще. Алгебраически-счетномерное простнанство не может стать банаховым!! Так что там никакая нетривиальная преднорма банаховой не мажорируется (просто потому, что последних очень мало). А может и не проще ... Спасибо!

 
 
 
 Пришли иные времена
Сообщение24.11.2008, 02:41 
Приятно узнать, что ЛТП --- это не только лечебно-трудовой профилакторий...

 
 
 
 
Сообщение24.11.2008, 18:41 
AD в сообщении #161302 писал(а):
Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?
Похоже, все-таки, является, и это приятно. Ну покажем, что если $\{x_k\}$ - фундаментальная последовательность, то она вся состоит из векторов некоторого конечномерного подпространства. Ну действительно, иначе по индукции выбрались бы такие $m_k>n_k>k$, что $e_k=x_{m_k}-x_{n_k}$ не зависел бы от $\{e_i\}_{i=1}^{k-1}$, а потом уже несложно сочинить преднорму $\|\cdot\|$ такую, что $\|e_k\|=1$ для всех $k$. Ну а в конечномерном подпространстве вообще всё ясно вроде.

P.S.
Алексей К. в сообщении #161398 писал(а):
Приятно узнать, что ЛТП --- это не только лечебно-трудовой профилакторий...
Это есть, да ... А я вот в свое время долго не мог понять, зачем в учебнике русского языка фиг-знает-сколько-десятилетней давности предлагали расшифровать сокращение "МТС" ...

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 14:10 
Аватара пользователя
AD в сообщении #161302 писал(а):
А вопросы всё множатся и множатся, и нету им конца. Если некоторые из них слишком простые - вы так и скажите, подумаю ещё.

1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

2. Вообще, верно ли, что всякая преднорма мажорируется некоторой банаховой преднормой? [решено]

а почему сильнейшая локальновыпуклая топология должна существовать? и что Вы называете полной топологией?
а что такое банахова преднорма?

 
 
 
 
Сообщение30.11.2008, 21:22 
Извиняюсь за отсутствие.
_________________

zoo в сообщении #162583 писал(а):
а почему сильнейшая локальновыпуклая топология должна существовать?
AD в сообщении #160807 писал(а):
"сильнейшее" ЛВП (то есть на нем введены все преднормы, какие только можно)
Это было определение.
_________________
zoo в сообщении #162583 писал(а):
и что Вы называете полной топологией?
Определение полного линейного топологического пространства - штука вполне стандартная. Напомнить? В смысле меня проверяете?
_________________

zoo в сообщении #162583 писал(а):
а что такое банахова преднорма?
Это преднорма, после введения которой на линейном пространстве последнее становится полным ЛТП. :roll:

 
 
 
 
Сообщение30.11.2008, 21:48 
Аватара пользователя
AD в сообщении #163445 писал(а):
Определение полного линейного топологического пространства - штука вполне стандартная. Напомнить? В смысле меня проверяете?

стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши
AD в сообщении #161302 писал(а):
1. Является ли сильнейшая локально-выпуклая топология полной?

да, Робертсон Топологические векторные пространства

 
 
 
 
Сообщение01.12.2008, 19:04 
zoo в сообщении #163448 писал(а):
стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши
А, тады ой. Речь идет о том, что последовательность $\{x_n\}$ считается фундаментальной, если $x_m-x_n$ попадает в любую окрестность нуля при достаточно большом $\min\{m,n\}$. Если у нас система преднорм, то это просто превращается в фундаментальность по всем преднормам. Это оно же?

P.S. Робертсон под рукой есть, поищу.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2008, 20:09 
Аватара пользователя
AD писал(а):
zoo в сообщении #163448 писал(а):
стандартных штук в полунормированном пространстве несколько, видимо речь идет о фильтрах Коши
А, тады ой. Речь идет о том, что последовательность $\{x_n\}$ считается фундаментальной, если $x_m-x_n$ попадает в любую окрестность нуля при достаточно большом $\min\{m,n\}$. Если у нас система преднорм, то это просто превращается в фундаментальность по всем преднормам. Это оно же?

вообще говоря, это не эквтвалентнео определению полноты пространства с помощью фильтров Коши Если полнотой называть только сходимость последовательностей Коши (секвенциальная полнота) то от ряда хороших теорем в локальновыпуклых пространствах придется отказаться. Хотя , конечно, возвращаясь к Вашему предыдущему вопросу, раз сильнейшая локальновыпуклая топология полна в смысле фильтров Коши то в чатности сходятся и поледовательности Коши.
На языке последовательностей эквивалентным образом можно рассуждать в пространствах Фреше, например.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group