Сечения Дедекинда - Задача 12 из Демидовича.Верно ли решаю ?

[NikolayTishakin]

Задача
Сечение $A/B$, определяющее число $\sqrt[3]{2}$ строится следующим образом: класс $A$ содержит все рациональные числа $a$ такие, что $a^{3} < 2 $.
Kласс $B$ содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ — наименьшего.

Мое Решение:
Я начинаю с "Доказать что в классе $A$ нет наибольшего числа"

Я рассуждаю так, если нужно доказать что нет наибольшего числа - нужно предположить что некоторое $a_{max}$:

1. $a_{max} \in A$
2. $a_{max}$ является максимальным для $A$.

Потом добавить к $a_{max}$ любой малости рациональное число

$a_{max} + \varepsilon$, $\varepsilon \in Q (Rational)$ и показать что:

1. $a_{max} + \varepsilon > a_{max}$ - для этого достаточно сделать ограничение $\varepsilon > 0$
2. $a_{max} + \varepsilon \in A$ отсюда $a_{max}$ не максимальное , и более того любое a можно таким образом сделать немаксимальным
Тоесть максимального нет

Что бы показать что $a_{max} + \varepsilon \in A$ нужно показать что $(a_{max} + \varepsilon) < \sqrt[3]{2}$
Тоесть нужно брать такие $\varepsilon$ чтобы выполнялось условие $\varepsilon < \sqrt[3]{2} - a_{max}$

Тоесть если мы найдем
$\varepsilon > 0$ и
$\varepsilon < \sqrt[3]{2} - a_{max}$
То доказано

Ну и посколькую по определению сечения $\sqrt[3]{2} > a_{max}$ тоесть $\sqrt[3]{2} - a_{max} > 0$ то найти очень маленькое рациональное $\varepsilon > 0$
всегда сможем - получается готово.

Вторую часть для B - доказываю по аналогии.

И вот я сверяю свое решение с другими людьми и в их решениях вместо $\varepsilon > 0$ берется $\frac{1}{n}$ где $n \in N (natural)$
и впринципе дальше доказывается практически таким же способом как у меня.

Мои вопросы:
Валидно ли мое решение впринципе ?
Если да, есть ли какая либо приципиальная разница между моим и их решениями ? Если да - какая ?

Ссылки на решения
https://dodem.ru/tasks/12/

Решение практически такой же задачи только задача в общем виде
11 номер Демидовича
https://www.youtube.com/watch?v=oj5iq9c47fQ

[iifat]

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

и впринципе дальше доказывается практически таким же способом как у меня

Нет.

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

посколькую по определению сечения $\sqrt[3]{2} > a_{max}$ тоесть $\sqrt[3]{2} - a_{max} > 0$ то найти очень маленькое рациональное $\varepsilon > 0$ всегда сможем - получается готово

У вас ещё не определены действительные числа. Вы только доказываете их свойства. Поэтому в правильном довазательстве переходят к рациональным числам и высчитывают $n$, а вы сначала пишете непонятное выражение $\sqrt[3]{2} > a_{max}$, а потом лихо заявляете, что можете найти достаточно маленькое рациональное число.

[svv]

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

Вторую часть для B - доказываю по аналогии.

Рассуждая так же, как Вы, докажем аналогичное утверждение для произвольного натурального числа $n$ под кубическим корнем:

Цитата:

Сечение $A/B$, определяющее число $\sqrt[3]{n}$, строится следующим образом: класс $A$ содержит все рациональные числа $a$ такие, что $a^{3} < n$. Kласс $B$ содержит все остальные рациональные числа. Тогда в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ — наименьшего.

Внезапно, при $n\in\{1,8, 27, 64...\}$ осечка: класс $B$ в этих случаях имеет наименьший элемент! Например, при $n=27$ это число $3$. А мы так правдоподобно доказали, что его нет.

Но какое тогда доверие к Вашему доказательству?

[NikolayTishakin]

svv в сообщении #1615541 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

Вторую часть для B - доказываю по аналогии.

Рассуждая так же, как Вы, докажем аналогичное утверждение для произвольного натурального числа $n$ под кубическим корнем:

Цитата:

Сечение $A/B$, определяющее число $\sqrt[3]{n}$, строится следующим образом: класс $A$ содержит все рациональные числа $a$ такие, что $a^{3} < n$. Kласс $B$ содержит все остальные рациональные числа. Тогда в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ — наименьшего.

Внезапно, при $n\in\{1,8, 27, 64...\}$ осечка: класс $B$ в этих случаях имеет наименьший элемент! Например, при $n=27$ это число $3$. А мы так правдоподобно доказали, что его нет.

Но какое тогда доверие к Вашему доказательству?

Несовсем понял, как факт того что мой способ доказательства не работает для произвольного n означает что он не работает для конкретно этой задачи тоесть для 2.

-- 01.11.2023, 10:27 --

iifat в сообщении #1615538 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

и впринципе дальше доказывается практически таким же способом как у меня

Нет.

NikolayTishakin в сообщении #1615532 писал(а):

посколькую по определению сечения $\sqrt[3]{2} > a_{max}$ тоесть $\sqrt[3]{2} - a_{max} > 0$ то найти очень маленькое рациональное $\varepsilon > 0$ всегда сможем - получается готово

У вас ещё не определены действительные числа. Вы только доказываете их свойства. Поэтому в правильном довазательстве переходят к рациональным числам и высчитывают $n$, а вы сначала пишете непонятное выражение $\sqrt[3]{2} > a_{max}$, а потом лихо заявляете, что можете найти достаточно маленькое рациональное число.

Да, тут понял, тоже тут подозрения были.
Тогда в таком случае нужно доказать

$(a_{max} + \varepsilon)^{3} < 2$

И предполагаю поскольку $\varepsilon$ это рациональное, а $\frac{1}{n}$ частный случай такого $\varepsilon$
но с $\frac{1}{n}$ проще доказывается $(a_{max} + \varepsilon)^{3} < 2$

[mihaild]

NikolayTishakin в сообщении #1615561 писал(а):

Несовсем понял, как факт того что мой способ доказательства не работает для произвольного n означает что он не работает для конкретно этой задачи тоесть для 2.

Важно еще то, что не видно, какой переход в Вашем доказательстве перестает работать. Т.е. если бы Ваше доказательство было корректным, то было бы корректным и доказательство с заменой $2$ на $27$, а оно доказывало бы неверное утверждение.

[iifat]

NikolayTishakin в сообщении #1615561 писал(а):

как факт того что мой способ доказательства не работает для произвольного n означает что он не работает для конкретно этой задачи тоесть для 2

Чтобы правильное доказательство работало для 2, но не для 27, в нём должно использоваться некое свойство числа 2, которого не имеет 27. Если такое свойство не оговорено, доказательство либо работает и для 2, и для 27, либо ни для того, ни для другого.

[NikolayTishakin]

iifat в сообщении #1615707 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1615561 писал(а):

как факт того что мой способ доказательства не работает для произвольного n означает что он не работает для конкретно этой задачи тоесть для 2

Чтобы правильное доказательство работало для 2, но не для 27, в нём должно использоваться некое свойство числа 2, которого не имеет 27. Если такое свойство не оговорено, доказательство либо работает и для 2, и для 27, либо ни для того, ни для другого.

Понял, действительно

в этом решении https://dodem.ru/tasks/12/ пункт B перестанет выполнятся если 27 вместо 2 использовать
Спасибо!