Улучшить отображение из группы кос

[Nartu]

Работал с кое-чем и получил некоторое отображение из группы кос(с некоторыми добавками) на абелеву группу либо что-то типо модуля, об этом ниже.
Вопрос в том, можно ли его как-то улучшить? Сделать гомоморфизмом.
Я не буду описывать саму задачу/проблему, которая к этому привела, а попытаюсь сосредоточится на таком "концепте".

Так вот.
Под добавками я имею ввиду, что нити несут с собой переменную, но без утраты общности пока назовём это цветом.
Отображение делаю в 2 этапа:
— в каждом перекрёстке берут участие 2 нити, а значит и 2 цвета. Я буду отображать их на формальные разности цветов вида $\lambda_2-\lambda_1$ . Плюс у того, чья нить сверху;
— на втором этапе я беру сумму этих разностей по каждому генератору Артина , вот так:

$(\lambda_2-\lambda_1+\lambda_3-\lambda_2)\sigma_1+(\lambda_3-\lambda_1)\sigma_2+(\lambda_4-\lambda_1)\sigma_3 \quad(=f(\sigma_3\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ\sigma_1)\;)$

То есть, это типа модуля на $\left\lbrace\sigma_i\right\rbrace$ с коэффициентами из группы(модуля?) $\mathbb{Z}[ \lambda_{i+1}-\lambda_i \;]$ (свободной абелевой, порождённой разностями цветов). Я старался записать как-то по-понятней:

$f : B_n^{(\lambda_1,\lambda_2, \dots,\lambda_n)} \to \mathbb{Z}[ \lambda_{i+1}-\lambda_i \;][ \sigma_i]$

соотношения сохраняют его:

$f(\sigma_i\circ\sigma_{i+1}\circ\sigma_i)=f(\sigma_{i+1}\circ\sigma_i\circ\sigma_{i+1})$

$f(\sigma_i\circ\sigma_j)=f(\sigma_j\circ\sigma_i), |i-j|>1$

Но сразу на простых примерах видно, что оно не гомоморфизм . Можно было это понять на этапе определения, ибо на перекрёстки влияют предыдущие перекрёстки.. ну кроме случая, когда коммутирование, там очевидно всё работает.
Я думал исправить это путём учитывания вот этих взаимодействий, но как-то не вышло... а хочется. Зато есть такие тождества:

$f(\;(\sigma_2\circ\sigma_1)^2 ) = f(\sigma_2)+f(\sigma_1)$

$f(\;(\sigma_2\circ\sigma_1)^3 ) = \vec{0}$

нашел их когда игрался с $B_3$. Тут все нити разного цвета подразумеваются. Плюс нашел элемент "ядра", так что оно нетривиально.

Ну и что важно - "красить" нити можно по-разному. То есть, можно в одинаковые цвета. У меня было когда 1я и последняя нити были одноцветны. Тогда можно получать векторы со всеми ненулевыми и одинаковыми компонентами, на пример для 4 нитей:

$k(\lambda_2-\lambda_1, \lambda_2-\lambda_1, \lambda_2-\lambda_1) \;\forall k \in \mathbb{Z}$.

Только сейчас заметил, что в случае двух нитей в образе будет только 2 элемента, то есть фактически отображение будет на $\mathbb{Z}_2[ \lambda_2-\lambda_1\;][ \sigma_1]$. Теперь я сомневаюсь в суръективности $f$ .

[dgwuqtj]

Я не очень понял, как строится $f$, но похоже, что у вас получается скрещенный гомоморфизм. Если это так, то, может, вам полноценный гомоморфизм и не нужен?

[Nartu]

Я наконец почитал статью на двух языках и могу сказать, что если вы о $q(ab)=q(a)+aq(b)$ или даже $q(g)=gm-m$, то это что-то не то.. в первом получатся произведения цветов а во втором...
g может быть сложнее генератора, $+$ одно слагаемое свободное, а такого у меня не должно быть. Конечно было бы лучше, если бы подошло, но кажется, нет.
Проблема, которая привела к этому концепту довольно приземлённая, даже комбинаторная в "полевом" смысле. Для её объяснения надо написать немало текста, да и вряд ли поможет.
Грубо говоря - дело в поиске специальных линейных преобразований конечной последовательности точек, полученной как обобщённая арифм.прогрессия, с сохранением порядка. Но это уже к программированию сойдёт.
Мне хотелось попробовать путь через алгебру, что бы можно было искать Нужное как решения уравнений(и ещё одну причину). Ну и просто из интереса, ибо оно чувствуется...необычно.
Но я полистал ссылки по этой алгебре и начал думать, что закодить декларативно будет проще. Однако явно надо хорошо продумать эту программу... а опыта такого у меня нет.

dgwuqtj в сообщении #1615101 писал(а):

Я не очень понял, как строится $f$

Кажется, средствами XYpic я не смогу нарисовать косу с разноцветными нитями... По крайней мере, это будет куда сложнее и не так аккуратно. Тут наверное, лучше показать, чем объяснить, так что прийдётся отправлять картинку.
И проблема в том, что я её ещё не нарисовал!.. Будет в ближайшее время. Прийдётся мне ещё один пост сделать, так что хотел предупредить и спросить модераторов по картинкам.

(Оффтоп)

Я постоянно замечал у себя такое свойство, что когда кому-то объясняю что-либо на моё усмотрение понятное для собеседника, то чаще всего это было непонятно для него. Этот случай - не исключение Уж простите..

[Nartu]

dgwuqtj в сообщении #1615101 писал(а):

Я не очень понял, как строится $f$

Вот, как и обещал (кривовато, но всё-же):

У меня наконец сложилась картинка.
Я хотел как-то различать разложения элементов симметрической группы в произведение транспозиций, не только базисных(некого множества, содержащего их). Надо было действовать перестановками на строки/последовательности. А последние могут быть и с повторами. И если я так делаю несколько раз подряд, то в результате все действия соберутся в одно и всё! Даже тривиальную перестановку можно получить после сложной истории преобразований, а информация об этом исчезнет.
Вот так я мотивировался использовать косы.
Если меня спросят рассказать, для чего это всё - то я расскажу...но! если кто-то очень захочет.

Только сейчас увидел: зелёная нить $\lambda_2$ "выпала" из результата; и она единственная, которая пришла в строго нижнюю точку, как в "крашеных" косах. А значит, потому их подгруппа и отображается в ноль, - там каждая нить так себя убивает.
Так что это как-бы позволяет "понижать размерность" ибо 2 координаты совпадают, какая-то проэкция.. Читал о понижении в предоставленой статье.. может и в правду у меня скрещеный гомоморфизм, просто другой?

[dgwuqtj]

Судя по картинке, это точно скрещенный гомоморфизм. Для любых кос $\sigma, \tau$ выполняется $f(\sigma \circ \tau) = f(\sigma) \cdot \tau + f(\tau)$, где $p \cdot \tau$ - это действие косой $\tau$ перстановками цветов. Вроде как действие правое, вот я его и пишу $\tau$ справа. Такое тождество, конечно, отличается от обычного определения порядком сомножителей, но это решается заменой $f$ на $\sigma \mapsto f(\sigma^{-1})$.

[dgwuqtj]

Кажется, это даже кограница, то есть $f(\sigma) = p \cdot \sigma - p$, где $p = \sum_i (\lambda_1 + \ldots + \lambda_i) \sigma_i$.

[Nartu]

dgwuqtj в сообщении #1615379 писал(а):

...это решается заменой $f$ на $\sigma \mapsto f(\sigma^{-1})$.

Ну, если косы действуют перестановками, то $\sigma^{-1}$ даст ту же перестановку... не так ли? И условно говоря... я как-бы действую симметрической группой правда? И можно поменять косы на неё.

Я кажется, сам мог получить тождество $f(\sigma \circ \tau) = f(\sigma) \cdot \tau + f(\tau)$ но словил неправильную ассоциацию и думал, что надо к компоненте вектора прибавлять предыдущую компоненту, если она есть, ведь $\lambda_2-\lambda_1+\lambda_3-\lambda_2=\lambda_3-\lambda_1$ и как-то из этого переделать отображение..

dgwuqtj в сообщении #1615400 писал(а):

Кажется, это даже кограница, то есть $f(\sigma) = p \cdot \sigma - p$, где $p = \sum_i (\lambda_1 + \ldots + \lambda_i) \sigma_i$.

Да! Это действительно так! я проверил. Вот, то выражение:
$f(\sigma_3\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ\sigma_1)=[$$\lambda_1\sigma_1+(\lambda_2+\lambda_1)\sigma_2+(\lambda_3+\lambda_2+\lambda_1)\sigma_3]\bullet\sigma_3\sigma_1\sigma_2\sigma_1-$ $\lambda_1\sigma_1-(\lambda_2+\lambda_1)\sigma_2-(\lambda_3+\lambda_2+\lambda_1)\sigma_3$ $=\lambda_3\sigma_1+(\lambda_3+\lambda_2)\sigma_2+(\lambda_3+\lambda_2+\lambda_4)\sigma_3-\lambda_1\sigma_1-(\lambda_2+\lambda_1)\sigma_2-(\lambda_3+\lambda_2+\lambda_1)\sigma_3=$
$=(\lambda_3-\lambda_1)\sigma_1+(\lambda_3-\lambda_1)\sigma_2+(\lambda_4-\lambda_1)\sigma_3$
ибо коса $\sigma_3\sigma_1\sigma_2\sigma_1$ даёт перестановку цветов $(\lambda_3,\lambda_2,\lambda_4,\lambda_1)$

Теперь вполне можно красить вообще, как угодно... Взять любую строку из символов как "цветовой вектор" и ничего не сломается.
Значит можно продолжить: задать порядок на цветах/переменных(>0) и находить оптимальные косы/перестановки. Одно из условий - что-бы координаты полученых векторов гарантировано были одного "знака".
Но это приводит ко второй задаче: как можно доказать отрицательность или положительность суммы этих переменных, имея в распоряжении только порядок на них?
Это точно уже тема оддельного разговора. Пока я попробую спросить у Prolog-а или других оракулов.

[dgwuqtj]

Nartu в сообщении #1615522 писал(а):

Ну, если косы действуют перестановками, то $\sigma^{-1}$ даст ту же перестановку... не так ли? И условно говоря... я как-бы действую симметрической группой правда? И можно поменять косы на неё.

Коса $\sigma^{-1}$ даст обратную перестановку. А так, конечно, можно везде вместо кос использовать сразу перестановки. Можете непосредственно проверить, что $f(\sigma_i^2) = 0$.

[Nartu]

Однако, будут ли у меня разные образы для разных разложений одной перестановки на произведение транспозиций? (и не обязательно только генераторных). Да и число генераторов у перестановок на 1 больше... и образ будет иметь больше размерность/ранг

[dgwuqtj]

У группы перестановок образующие - это те же $\sigma_i$, их количество не меняется, просто добавляются соотношения $\sigma_i^2 = 1$. Отображение $f$, конечно, корректно определено на перестановках (то есть если две косы задают одинаковые перестановки нитей, то $f$ на них совпадает). Про образ вообще непонятно. У вас группа кос на $n$ нитях, $n - 1$ образующая и группа перестановок $\mathrm S_n$.

[Nartu]

А.... это три группы получается? симметрическая действует, косы дают те разности цветов и группа этих цветов... меня от бессонной ночи уже глючит...
Я подумал, что косы ушли и остались перестановки.
Если это так, то это как раз не то, чего я хотел. Мне надо удобно представлять и отличать разложения элементов симметрической группы в транспозиции, действующие на строке/последовательности и отображать это на аналогичные векторы аналогичным образом.
Но если я построил отображение, которое такого делать не может, то надо думать о другом.

[dgwuqtj]

Кажется, вам надо что-то почитать про представления и когомологии группы кос. Я в этом не разбираюсь и литературы не назову.

[Nartu]

Nartu в сообщении #1615559 писал(а):

Я подумал, что косы ушли и остались перестановки.

dgwuqtj в сообщении #1615560 писал(а):

Но если я построил отображение, которое такого делать не может

А знаете, можно даже вручную проверить, будет ли на результат отображения влиять вид косы при том, что она даёт ту же перестановку.
Возникла мысль, что вы мне сказали:

dgwuqtj в сообщении #1615549 писал(а):

можно везде вместо кос использовать сразу перестановки

имея ввиду что все нити разных цветов. И из-за повторений как раз всё изменится... Так что я попробую успеть дополнить это сообщение результатом. Будет или не будет.
Может, оставлю картинки.

Я проверил. И в самом деле всё совпадает! Даже повторы цветов не влияют, только коэфициенты будут из немного иной группы. Так что вправду можно симметрическую группу взять вместо кос и всё будет так же.

Я наконец вспомнил причину моих сомнений и странных предложений. Это из-за того, что я неверно использовал понятие совпадения цветов. Из головы вылетело, что я выполнял перестановки не просто строки, а зацикленой строки или ожерелья! И наверное по-тому и получались разные векторы при отображении. Ведь строка теперь как окружность, а у окружности нетривиальная фундаментальная группа..и может из-за этого все и было.. попробую нарисовать

[Nartu]

Я схемки нарисовал, но они очень большие. Сюда не влезут, так что будет текстом.
Что ж, я поработал с этим дополнительным условием. Почти ничего не изменилось: для одной и той же перестановки зацикленой строки из одного состояния в другой, - разные разложения действующей перестановки дают разные векторы в образе $\operatorname{Im}(f)$, однако они отличаются на $+(C\cdot(1,\dots,1)), \;C \in \mathbb{Z}[\lambda_{i+1}-\lambda_i]$. Но это работает, когда есть транспозиция, которая переставляет 1 и последний цвет/букву(которые замыкают строку в кольцо), в остальном всё так же как было.
На примере я даже увидел, что константа С будет равна сумме тех же разностей цветов(соотв. образов) вокруг "точки склеивания". Значит можно получать все образы вот таких "циркулярных" перестановок даже из того, что я уже определил в первом сообщении. Может быть, там не все элементы группы на цветах могут быть коэффициентами, но думаю, что это неверно, и всё хорошо.

Погуглил фразу "necklaces and crossed homomorphisms" и что б вы думали, - нашел статью о косах на ожерельях("The braid group of a necklace") - тех же моих зацикленых строках.
Там же были результаты:
"Generalized Rudakov-Shen-Larsson bifunctors and cohomologies of crossed homomorphisms"
"necklace Lie coalgebra and renormalization algebras"
Так что вроде как литература есть.

В общем, пока спасибо. Разобрались!