Не понимаю, как решить разностное уравнение

[Kevsh]

svv
Да, тут всё понятно

[svv]

Оператор $\mathsf B$ называется обратным к оператору $\mathsf A$ (обозначение $\mathsf B=\mathsf A^{-1}$), если
$\mathsf B\mathsf A=\mathsf A\mathsf B=\mathsf E$
Таким образом,
$\mathsf A^{-1}\mathsf A=\mathsf A\mathsf A^{-1}=\mathsf E$
Оператор $\mathsf A$, для которого существует обратный, называется обратимым. В этом случае $\mathsf A^{-1}$ единственный (двух различных обратных быть не может).

Свойства (в предположении, что все обратные операторы, записанные ниже, существуют):
$\bullet$ Если $\mathsf Ay=z$, то $\mathsf A^{-1}z=y$. Т.е. если $\mathsf A$ как-то преобразует последовательность, то применение $\mathsf A^{-1}$ к результату восстанавливает исходную последовательность.
$\bullet$ $(\mathsf A^{-1})^{-1}=\mathsf A$. Т.е. если $\mathsf B=\mathsf A^{-1}$, то $\mathsf A=\mathsf B^{-1}$. Т.е. если $\mathsf B$ — обратный к $\mathsf A$, то $\mathsf A$ — обратный к $\mathsf B$.
$\bullet$ $(\mathsf A_2\mathsf A_1)^{-1}=\mathsf A_1^{-1}\mathsf A_2^{-1}$. Неформально: чтобы "отменить" два (или больше) последовательных преобразования, нужно выполнить обратные им преобразования в обратном порядке. Например, обратным преобразованием к "зачерпнуть кастрюлей воду из реки и накрыть кастрюлю крышкой" будет "снять крышку с кастрюли и вылить воду в реку" (а не "вылить воду при закрытой крышке и потом снять крышку").

Примеры:
$\bullet$ $\mathsf E^{-1}=\mathsf E$
$\bullet$ Если $\mathsf A$ — оператор умножения последовательности на число $a\neq 0$, то $\mathsf A^{-1}$ — оператор умножения на число $a^{-1}$.
$\bullet$ Оператор $\mathsf T^{-1}$ сдвигает последовательность на один отсчёт в направлении, противоположном сдвигу $\mathsf T$.

Не всякий оператор обратим. Ясно, что оператор умножения последовательности на $0$ не имеет обратного.
Более сложный пример: $\mathsf A=\mathsf E-\mathsf T$. В терминах отсчётов, $(\mathsf Ay)_n=y_n-y_{n-1}$. Т.е. $\mathsf A$ вычисляет последовательные разности соседних отсчётов $y$.
Прибавим к каждому отсчёту $y$ константу $c\neq 0$, получится последовательность $\tilde y$:
$\tilde y_n=y_n+c$
Разности от прибавления константы не изменятся:
$\tilde y_n-\tilde y_{n-1}=(y_n+c)-(y_{n-1}+c)=y_n-y_{n-1}$
То есть $\tilde y\neq y$, но при этом $\mathsf A\tilde y=\mathsf Ay$. Покажем, что это фатально для существования обратного оператора.
Предположим, что $\mathsf A^{-1}$ существует. Тогда, применяя его к обеим частям $\mathsf A\tilde y=\mathsf Ay$, получим
$\mathsf A^{-1}\mathsf A\tilde y=\mathsf A^{-1}\mathsf Ay$,
откуда $\tilde y=y$, а это неверно. Противоречие показывает, что оператор $\mathsf E-\mathsf T$ необратим.

Пусть мы нашли оператор, обратный к $\mathsf L$ в нашем уравнении $\mathsf Ly=x$. Тогда он даёт решение уравнения:
$y=\mathsf L^{-1}x$
Очевидно, надо найти
$\mathsf L^{-1}=(\mathsf E-\frac 3 4\mathsf T+\frac 1 8\mathsf T^2)^{-1}$
Эту задачу мы пока не можем решить, но можем свести к более простой. Мы показали, что
$\mathsf L=(\mathsf E-\frac 1 4\mathsf T)(\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T)$
И если каждый из "сомножителей" композиции обратим, то в силу $(\mathsf A_2\mathsf A_1)^{-1}=\mathsf A_1^{-1}\mathsf A_2^{-1}$ получим
$\mathsf L^{-1}=(\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T)^{-1}(\mathsf E-\frac 1 4\mathsf T)^{-1}$

Итак, задача сводится к нахождению оператора, обратного к $\mathsf E-a\mathsf T$, для $a=\frac 1 2$ и $a=\frac 1 4$. Наверное, это проще, чем сразу искать обратный к
$\mathsf E-\frac 3 4\mathsf T+\frac 1 8\mathsf T^2$. Правда, мы не знаем, обратим ли $\mathsf E-a\mathsf T$. Выше мы показали, что в случае $a=1$ он необратим. Но в нашем случае надежда есть.

Всё ли понятно?

[svv]

svv в сообщении #1612636 писал(а):

Выше мы показали, что в случае $a=1$ он необратим. Но в нашем случае надежда есть.

Лучше сказать, в нашем частном случае есть нюансы.

[Kevsh]

svv
Все понятно, вот только есть один вопрос:
$L=(E-\frac{1}{4}T)(E-\frac{1}{2}T)$, но ведь и $L=(E-\frac{1}{2}T)(E-\frac{1}{4}T)$, тогда в нашем случае $L^{-1}=(E-\frac{1}{2}T)^{-1}(E-\frac{1}{4}T)^{-1}=(E-\frac{1}{4}T)^{-1}(E-\frac{1}{2}T)^{-1}$ и свойство $(\mathsf A_2\mathsf A_1)^{-1}=\mathsf A_1^{-1}\mathsf A_2^{-1}$ не играет роль, верно?

[svv]

Верно.
Просто свойство $(\mathsf B\mathsf A)^{-1}=\mathsf A^{-1}\mathsf B^{-1}$ справедливо независимо от того, коммутируют ли эти операторы (хотя требуется существование обратных операторов). Проверка:
$(\mathsf A^{-1}\mathsf B^{-1})(\mathsf B\mathsf A)=\mathsf A^{-1}(\mathsf B^{-1}\mathsf B)\mathsf A=\mathsf A^{-1}\mathsf E\mathsf A=\mathsf A^{-1}\mathsf A=\mathsf E$
$(\mathsf B\mathsf A)(\mathsf A^{-1}\mathsf B^{-1})=\mathsf B(\mathsf A\mathsf A^{-1})\mathsf B^{-1}=\mathsf B\mathsf E\mathsf B^{-1}=\mathsf B\mathsf B^{-1}=\mathsf E$
Везде использована ассоциативность композиции (которая есть всегда), но нигде — коммутативность (которая есть лишь если операторы коммутируют).

Естественно, свойство распространяется на большее число операторов: $(\mathsf C\mathsf B\mathsf A)^{-1}=\mathsf A^{-1}\mathsf B^{-1}\mathsf C^{-1}$.

-- Сб окт 07, 2023 11:30:37 --

В дополнение к примеру с кастрюлей можно привести пример с кубиком Рубика. Допустим, кубик собран. Ребёнок подошёл и повернул переднюю грань по часовой стрелке ($\mathsf F$), а потом правую по часовой стрелке ($\mathsf R$), то есть выполнил композицию $\mathsf R\mathsf F$.
Чтобы это исправить $(\mathsf R\mathsf F)^{-1}$, нужно повернуть правую грань против часовой стрелки $(\mathsf R)^{-1}$, а потом переднюю грань против часовой стрелки $(\mathsf F)^{-1}$, то есть выполнить композицию $(\mathsf F)^{-1}(\mathsf R)^{-1}$.

[Kevsh]

svv
Тогда пока что всё понятно

[svv]

Пусть нам нужно решить уравнение
$(\mathsf E-a\mathsf T)y=x$,
т.е. $y-a\mathsf Ty=x$,
т.е. $y_n-ay_{n-1}=x_n$ для всех $n$,
относительно последовательности $y$ для заданной правой части $x$.

Попробуем взять в качестве решения
$y=\mathsf Bx$, где $\mathsf B=\mathsf E+a\mathsf T+a^2\mathsf T^2+a^3\mathsf T^3+...\;,$ т.е.
$y_n=x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...\quad {\color{magenta}(*)}$
Предположим, что ряд в правой части $(*)$ сходится для всех $n$. Тогда это выражение определяет некоторую последовательность $y$. Более того, сравнивая
$\begin{array}{lcr}y_n&=&x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...\\ay_{n-1}&=&ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...\end{array}$
видим, что действительно $y_n-ay_{n-1}=x_n$.

Сходимость ряда $(*)$ зависит от последовательности $x$ и числа $a$. При $a=0$ ряд всегда сходится, но тогда уравнение тривиально: $y=x$, так что далее считаем $a\neq 0$. Рассмотрим несколько случаев.

1) Если разрешено выбирать правую часть $x$ совершенно произвольно, то при любом $a$ нет никаких гарантий сходимости ряда $(*)$: достаточно подставить в него $x_n=a^n$, и получится расходящийся ряд
$a^n+aa^{n-1}+a^2a^{n-2}+... = a^n+a^n+a^n+...$

2) Теперь пусть $x$ — ограниченная последовательность, т.е. существует такое число $A$, что
$|x_n|\leqslant A$ для всех $n$
Тогда можно гарантировать, что ряд $(*)$ сходится при $|a|<1$. Однако при $|a|\geqslant 1$ найдётся такая $x$, что ряд будет расходящимся. Например, он расходится при $a=1$ и $x_n=1$.

3) Очень хороший случай — когда у последовательности $x$ существует "критическое значение индекса" $N$, ниже которого все её члены нулевые:
$x_k=0$ при $k<N\quad {\color{magenta}(**)}$
Тогда ряд $(*)$ сходится при любых $a$ и $n$, потому что он всегда содержит лишь конечное число ненулевых членов.

Можно рассмотреть линейное пространство $U$ последовательностей, обладающих свойством $(**)$. Уточню, что у каждой входящей в $U$ последовательности "критическое значение индекса" $N$ своё, но оно должно существовать. И в этом пространстве $U$ оператор $\mathsf E-a\mathsf T$ уже обратим при любом $a$.
Например, при $a=1$ уравнение $y_n-y_{n-1}=x_n$ имеет единственное решение
$y_n=\sum\limits_{k=-\infty}^n x_k$
Несмотря на бесконечный нижний предел, реально эта сумма конечная, т.к. $x_k=0$ при $k<N$ (где $N$ зависит от выбора последовательности $x$).

Вопрос: а как же доказательство необратимости $\mathsf E-\mathsf T$ отсюда? Ответ: а мы теперь не можем сделать вот этот шаг:

svv в сообщении #1612636 писал(а):

Прибавим к каждому отсчёту $y$ константу $c\neq 0$, получится последовательность $\tilde y$:
$\tilde y_n=y_n+c$

Потому что из двух последовательностей $y,\tilde y$ по крайней мере одна не будет иметь "критического значения индекса" и потому не будет принадлежать пространству $U$.

В этом и заключается тот нюанс, о котором я говорил: наши правые части $x$ взяты автором задачи из "хорошего" пространства $U$. И в этом же пространстве мы должны искать решение $y$ по условию
$y_n=0$ при $n<0$.

[Kevsh]

svv
Как я понял, сходимость правой части влияет на наличие обратного оператора. Только я не понимаю, почему это так. Также не очень понятно, почему при наличии критического значения индекса $N$ ряд начинает сходиться при любых $a$ и $n$. Тут именно $n$? Не $x_n$? В первом случае мне даже не понятен смысл этого утверждения. Во втором случае мне не ясно, как бесконечный расходящийся ряд при "удалении" его элементов после какого-то номера может стать сходящимся. Допустим, при $x_n=a^n$ и при $x_n=0$ с критическим значением индекса, равным нулю, мы всё равно получаем, как мне кажется, расходящийся ряд. Допустим, $a=10$, тогда мы получаем сумму $1+10+100+1000+10000$ и т.д.

[svv]

Kevsh в сообщении #1613377 писал(а):

Также не очень понятно, почему при наличии критического значения индекса $N$ ряд начинает сходиться при любых $a$ и $n$. Тут именно $n$? Не $x_n$? В первом случае мне даже не понятен смысл этого утверждения.

Да, именно $n$. Ведь нам надо, чтобы формула
$y_n=x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...\quad {\color{magenta}(*)}$
позволяла вычислить и $y_5$, и $y_{-7}$, и $y_{22}$. То есть чтобы она была применима для $n=5$, для $n=-7$, для $n=22$, и вообще для любого $n$. А для этого надо, чтобы ряд
$x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...$
сходился для $n=5$, для $n=-7$, для $n=22$, и вообще для любого $n$.

Kevsh в сообщении #1613377 писал(а):

Как я понял, сходимость правой части влияет на наличие обратного оператора. Только я не понимаю, почему это так.

Не совсем так. Выбор пространства последовательностей влияет и на наличие обратного оператора, и на сходимость ряда $(*).$

Пусть $\mathsf L=\mathsf E-\mathsf T$ (даёт последовательность из разностей соседних элементов исходной последовательности). Если пространство включает последовательность
$u=(...,1,1,1,...)$ ($u$ от слова unit)
то $\mathsf Lu=0$ (разности соседей равны нулю). Поэтому для любой $y$ добавление к ней $u$ с любым коэффициентом не влияет на $\mathsf Ly$:
$\mathsf Ly=\mathsf L(y+u)=\mathsf L(y+2.8831u)=\mathsf L(y-1.7493u)=\text{один и тот же результат}$
и оператор $\mathsf L$ необратим.
В таком пространстве и ряд $(*)$ при $a=1$ и $x=u=(...,1,1,1,...)$ расходится:
$x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...=1+1+1+1+...$

А в пространстве $K$ последовательностей с критическим индексом это рассуждение уже не проходит, потому что $u\notin K$. Оператор $\mathsf L$ уже обратим, а уравнение $\mathsf Ly=x$ имеет единственное решение
$y_n=x_n+x_{n-1}+x_{n-2}+...$
Тут в сумму входит лишь конечное число ненулевых членов, потому что в пространстве $K$ все члены $x$ с индексами, меньшими некоторого, равны нулю. И этот ряд сходится.

Kevsh в сообщении #1613377 писал(а):

Во втором случае мне не ясно, как бесконечный расходящийся ряд при "удалении" его элементов после какого-то номера может стать сходящимся. Допустим, при $x_n=a^n$ и при $x_n=0$ с критическим значением индекса, равным нулю, мы всё равно получаем, как мне кажется, расходящийся ряд. Допустим, $a=10$, тогда мы получаем сумму $1+10+100+1000+10000$ и т.д.

Погодите, давайте уточним два момента. Во-первых, в уравнение $(\mathsf E-a\mathsf T)y=x$ тоже входит $a$. Чему оно равно? Давайте не путать его с тем $a$, которое в $x_n=a^n$.
Во-вторых, что это за сумма, какому $y_n$ она соответствует? У Вас $x_n$ растут с ростом $n$, но в моем ряде
$y_n=x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...$
индексы при $x$ уменьшаются. Допустим, критический индекс $N=0$ (как в условии Вашей задачи). Тогда, начиная с некоторого члена, индекс у $x$ станет отрицательным и дальше будет только отрицательным. А $x_n$ с отрицательными индексами равны нулю. В результате сумма ряда будет конечной для любого $n$. Она, возможно, будет расти с ростом $n$, но при любом конкретном $n$ будет конечной.
Если же ряд расходится, мы эту сумму даже вычислить не можем для конкретного $n$.

[Kevsh]

svv
Это понял

[svv]

Комбинируем

svv в сообщении #1612636 писал(а):

Пусть мы нашли оператор, обратный к $\mathsf L$ в нашем уравнении $\mathsf Ly=x$. Тогда он даёт решение уравнения:
$y=\mathsf L^{-1}x$
Очевидно, надо найти
$\mathsf L^{-1}=(\mathsf E-\frac 3 4\mathsf T+\frac 1 8\mathsf T^2)^{-1}$
Эту задачу мы пока не можем решить, но можем свести к более простой. Мы показали, что
$\mathsf L=(\mathsf E-\frac 1 4\mathsf T)(\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T)$
И если каждый из "сомножителей" композиции обратим, то в силу $(\mathsf A_2\mathsf A_1)^{-1}=\mathsf A_1^{-1}\mathsf A_2^{-1}$ получим
$\mathsf L^{-1}=(\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T)^{-1}(\mathsf E-\frac 1 4\mathsf T)^{-1}$

Итак, задача сводится к нахождению оператора, обратного к $\mathsf E-a\mathsf T$, для $a=\frac 1 2$ и $a=\frac 1 4$.

и

svv в сообщении #1613025 писал(а):

Пусть нам нужно решить уравнение
$(\mathsf E-a\mathsf T)y=x$,
т.е. $y-a\mathsf Ty=x$,
т.е. $y_n-ay_{n-1}=x_n$ для всех $n$,
относительно последовательности $y$ для заданной правой части $x$.

Попробуем взять в качестве решения
$y=\mathsf Bx$, где $\mathsf B=\mathsf E+a\mathsf T+a^2\mathsf T^2+a^3\mathsf T^3+...\;,$ т.е.
$y_n=x_n+ax_{n-1}+a^2x_{n-2}+a^3x_{n-3}+...\quad {\color{magenta}(*)}$

То есть надо перемножить (в смысле композиции) два операторных ряда:
$\mathsf L^{-1}=(\mathsf E-a\mathsf T)^{-1}(\mathsf E-b\mathsf T)^{-1}=(\mathsf E+a\mathsf T+a^2\mathsf T^2+...)(\mathsf E+b\mathsf T+b^2\mathsf T^2+...)$
где в нашем случае $a=\frac 1 2, b=\frac 1 4$. В первом сомножителе члены вида $a^i\mathsf T^i$, во втором $b^j\mathsf T^j$, произведение будет состоять из членов $a^ib^j\mathsf T^{i+j}$, где $i\geqslant 0, j\geqslant 0$. Сгруппируем их по одинаковым степеням $\mathsf T^k$ (сделав замену $j=k-i$), получим
$\mathsf L^{-1}=c_0\mathsf E+c_1\mathsf T+c_2\mathsf T^2+...\,,$
где $c_k=\sum\limits_{i=0}^k a^i b^{k-i}=a^0b^k+a^1b^{k-1}+...+a^kb^0$
Это сумма геометрической прогрессии, она равна
$c_k=\frac{a^{k+1}-b^{k+1}}{a-b}$

Если тут всё понятно, перечитайте это и это сообщения TOTAL.

[Kevsh]

svv
Ну, вроде теперь мне понятно, о чём писал TOTAL. Сложновато это всё для введения в ЦОС . Тем не менее, буду держать этот способ решения подобных уравнений как альтернативный. Большое спасибо!

[svv]

Kevsh, хорошо.
Для примера получим решение исходного уравнения с правой частью $x_n=2\delta(n-1)$. Итак,
$y=\mathsf L^{-1}x=\left(\sum\limits_{k=0}^\infty c_k\mathsf T^k\right)x$, где $c_k=\frac{a^{k+1}-b^{k+1}}{a-b},\;a=\frac 1 2, b=\frac 1 4$.
Значит,
$y_n=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x_{n-k}$
Единственным ненулевым является $x_1=2$. Входит ли оно в эту сумму? Если $n\leqslant 0$, то нет, и тогда $y_n=0$.
Если $n\geqslant 1$, то да. Это происходит, когда $n-k=1$. Оставляя в сумме единственное слагаемое с $k=n-1$, получим
$y_n=c_{n-1}x_1=2\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b}=8\left(\frac 1{2^n}-\frac 1{4^n}\right)$