Не понимаю, как решить разностное уравнение

[Kevsh]

svv
Мне кажется, я не совсем правильно выразился.
У нас есть разностное уравнение. Мы хотим найти его решение для $n\geq 0$ при $x[n]=\delta [n]$. Для этого мы сначала ищем общее решение, приняв $x[n]=0$. После того, как мы его нашли, мы задаём начальные условия, чтобы получить частное решение. В исходной задаче мы хотим получить реакцию именно на $x[n]=\delta [n]$. Чтобы это сделать, я просто вручную посчитал $y[0]$ и $y[1]$ при $x[n]=\delta [n]$ и подставил $n=0$, $y[0]$ и $n=1$, $y[1]$ в общее решение. Получилась система из двух уравнений, решение которой дало правильный результат.
Проблема в следующем: в данном случае $y[0]=0$, а $y[1]=2$ из-за того, что $\delta[-1]=0$ и $\delta[0]=1$. Но ведь $\delta [n]$ не является единственной функцией, которая в $-1$ и $0$ даёт $0$ и $1$ соответственно. Я думаю, что таких функций вообще можно придумать бесконечно много. Ну, допустим, функция $u[n]$, для которой $u[-1]=0$ и $u[0]=1$. Получается, что если придерживаться описанного мною алгоритма, то импульсная характеристика равна переходной характеристике, но ведь мы знаем, что это не так.

Вы пишете, что при $n\geq 1$ мы можем записать неоднородное уравнение и его решить. Можем. А почему раньше мы так не делали? На том же промежутке $\delta [n]=0$. Вот, даже однородное уравнение получается, неотличимое от того, что мы использовали для нахождения общего решения в прошлый раз . А как тогда, например, быть, когда $x[n]$ - это какой-нибудь синус?

Ответить на ваш вопрос, наверное, пока не смогу, потому что явно что-то не понимаю.

[TOTAL]

Kevsh в сообщении #1610370 писал(а):

А как тогда, например, быть, когда $x[n]$ - это какой-нибудь синус?

Я записал формулу для общего случая. Можете не разбираться, как она получена, но подстановкой в разностное уравнение убедитесь, что это решение уравнения.

$$y_{i} =8 \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2^k}- \frac{1}{4^k} \right)\sin(i-k)$$

[Kevsh]

TOTAL
Я попробовал поподставлять в ваше уравнение разные входные функции, вроде действительно сходится. Как вы это получили я, честно говоря, всё равно не понимаю. Уже на словосочетании "обратный оператор" я понял, что ничего не понял Мне просто хочется понять, как такие уравнения можно решать (в контексте цифровой обработки сигналов). Как решить это уравнение стандартным методом я, может, ещё смогу понять (хотя тут всё равно есть непонятные моменты, которые я описал в предыдущем предложении), но ваш метод для меня сложноват. Можно было бы, конечно, разобраться, но я тогда к 3-й главе подойду в следующем году

[TOTAL]

Kevsh в сообщении #1610397 писал(а):

Я попробовал поподставлять в ваше уравнение разные входные функции, вроде действительно сходится. Как вы это получили я, честно говоря, всё равно не понимаю. Уже на словосочетании "обратный оператор" ...

Ладно, тогда запишу про обратный оператор и закончу.

$$(E- \frac14 T_{-})(E+ \frac{1}{4} T_{-}+ \frac{1}{4^2} T_{-}^2 + \cdots) = E$$

[svv]

Kevsh в сообщении #1610370 писал(а):

Проблема в следующем: в данном случае $y[0]=0$, а $y[1]=2$ из-за того, что $\delta[-1]=0$ и $\delta[0]=1$. Но ведь $\delta [n]$ не является единственной функцией, которая в $-1$ и $0$ даёт $0$ и $1$ соответственно. Я думаю, что таких функций вообще можно придумать бесконечно много. Ну, допустим, функция $u[n]$, для которой $u[-1]=0$ и $u[0]=1$. Получается, что если придерживаться описанного мною алгоритма, то импульсная характеристика равна переходной характеристике, но ведь мы знаем, что это не так.

Вы для области $n>0$ пользовались представлением решения в виде $y[n]=Af[n]+Bg[n]$, где $f[n]=\frac 1{2^n}, g[n]=\frac 1{4^n}$ — два линейно независимых решения однородного уравнения. Хотя исходное уравнение неоднородное. Почему это допустимо? Потому что для $n>0$ выражение $\delta[n]$ даёт нуль. Если Вы возьмёте такое $x[n]$, для которого, например, $x[-1]=0, x[0]=1, x[1]=7, x[2]=-3$, и так далее, то в области $n>0$ решение исходного уравнения не будет совпадать ни с каким частным решением однородного уравнения $Af[n]+Bg[n]$.

В частности, при $x[n]=u[n]$ уже не получится $y[n]=Af[n]+Bg[n]$, см. ниже.

Kevsh в сообщении #1610370 писал(а):

Вы пишете, что при $n\geq 1$ мы можем записать неоднородное уравнение и его решить. Можем. А почему раньше мы так не делали? На том же промежутке $\delta [n]=0$. Вот, даже однородное уравнение получается, неотличимое от того, что мы использовали для нахождения общего решения в прошлый раз .

При $x[n]=\delta[n]$ и $n\geq 1$ для $y[n]$ сразу получается однородное уравнение, и мы просто взяли готовое решение $y[n]=Af[n]+Bg[n]$ и подобрали в нём константы, чтобы удовлетворить всем условиям.

При $x[n]=u[n]$ и $n\geq 1$ для $y[n]$ однородное уравнение не получается, но оно получается для новой зависимой переменной $z[n]=y[n]-C$ (где $C$ однозначно находится из условия, чтобы все неоднородные члены сокращались). Решив однородное уравнение для $z[n]$ (точнее, опять взяв готовое общее решение), мы потом возвращаемся к $y[n]$. Но раз $z=Af[n]+Bg[n]$, то $y[n]$ уже не $Af[n]+Bg[n]$, а $Af[n]+Bg[n]+C$.

[TOTAL]

Либо тут вы перемудрили, либо я не понимаю, что именно хотите. Из решения самой первой задачи (с одной ненулевой правой частью) ведь сразу можно записать общее решение.

На мой взгляд ситуация качественно такая. Решается система уравнений относительно вектора $y при известной правой части $x$ и известной матрице $A$

$Ay=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$
Решив три задачи $Au=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}, Av=\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}, Aw=\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}, $
получаем решение исходной задачи: $y = ux_1 + vx_2 + wx_3$

Вот аналогичным рассуждением и получаем

$$y_{i} =8 \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2^k}- \frac{1}{4^k} \right)x_{i-k}$$

[Kevsh]

svv
Я почти понял ваше решение, как мне кажется.
1)Мне не очень ясно, как выбирается условие на $n$ в ответе. То есть мы нашли формулу $y[n]$ и потом пишем, например, "для $n\geq 1$". В вашем позапрошлом сообщении вы решили данное разностное уравнение для $x[n]=u[n]$, при этом ответ верен для $n\geq -1$. Откуда берётся такое ограничение? При $n>0$ правая часть уравнения перестаёт изменяться, при $n=0$ и $n=-1$ правая часть равна 0, а не 1. На это ограничение влияет только вид входной функции, или тот факт, что в правой части именно $2x[n-1]$, а не $2x[n]$ тоже влияет?
2)Метод со сведением неоднородного уравнения к однородному - это метод неопределённых коэффициентов? Если да, то последующий вопрос снимается - я просто посмотрю в интернете несколько примеров и пойду дальше. Если нет, то что делать, если константы сокращаются? Допустим, уравнение $y[n]-y[n-1]=5x[n]$. Тут мы получим $(1-1)a=5$, уравнение так просто к однородному уже не сходится.

[Geen]

Kevsh в сообщении #1610833 писал(а):

уравнение так просто к однородному уже не сходится.

Скажите, а у вас какой-нибудь курс диффуров был?

[svv]

Kevsh
Пусть $f_n=\frac 1 {2^n}$ и $g_n=\frac 1 {4^n}$ — два линейно независимых решения однородного уравнения.

1) Возьмём сначала исходное уравнение. Правая часть отлична от нуля лишь при $n=1$. Значит, при $n\geqslant 2$ справедливо однородное соотношение
$y_n-\frac{3}{4}y_{n-1}+\frac{1}{8}y_{n-2}=0$
В это соотношение входят три последовательных отсчёта. Можно показать, что:
$\bullet$ если $y_n=Af_n+Bg_n$ и $y_{n-1}=Af_{n-1}+Bg_{n-1}$, то и $y_{n-2}=Af_{n-2}+Bg_{n-2}$ ;
$\bullet$ если $y_{n-2}=Af_{n-2}+Bg_{n-2}$ и $y_{n-1}=Af_{n-1}+Bg_{n-1}$, то и $y_n=Af_n+Bg_n$ .
Естественно, подразумевается, что для всех трёх отсчётов $A$ и $B$ одни и те же.

Возьмём какое-то частное решение $y$ исходного уравнения (как последовательность) и в нём два соседних члена, например, $y_4$ и $y_3$. Их можно представить в виде
$y_4=Af_4+Bg_4$,
$y_3=Af_3+Bg_3$,
потому что система из этих двух уравнений относительно коэффициентов $A,B$ имеет единственное решение.
Поскольку
$y_4-\frac{3}{4}y_3+\frac{1}{8}y_2=0$,
то в том же виде (с теми же $A,B$, это важно!) представляется и $y_2$. А поскольку
$y_3-\frac{3}{4}y_2+\frac{1}{8}y_1=0$,
$y_2-\frac{3}{4}y_1+\frac{1}{8}y_0=0$,
в том же виде представляются и $y_1, y_0$. А вот $y_{-1}$ — уже нет, потому что
$y_1-\frac{3}{4}y_0+\frac{1}{8}y_{-1}\neq 0$
Зато, идя вверх, можно представить в том же виде $y_5,y_6,...$ до бесконечности.

Вывод: для всей области $n\geqslant 0$ справедлива формула $y_n=Af_n+Bg_n$.

Рассуждая аналогично, получим, что для области $n\leqslant 0$ тоже справедлива аналогичная формула. Вот только $A,B$ в этих двух областях разные:
$y_n=A_1f_n+B_1g_n, \quad n\leqslant 0$
$y_n=A_2f_n+B_2g_n, \quad n\geqslant 0$
Так как $y_0$ входит в обе области, справедливо
$A_1f_0+B_1g_0=A_2f_0+B_2g_0$
Т.к. $f_0=g_0=1$, и из условия $y_n=0,n<0$ ясно, что $A_1=B_1=0$, то $A_2=B_2$.

Одно-единственное значение $n$, при котором однородное соотношение несправедливо, приводит к тому, что $A_1\neq A_2, B_1\neq B_2$. То есть области $n\leqslant 0$ и $n\geqslant 0$ не сливаются в одну, с едиными $A,B$ для всех целых $n$.

[svv]

Kevsh в сообщении #1610833 писал(а):

2)Метод со сведением неоднородного уравнения к однородному - это метод неопределённых коэффициентов?

Нет, это частный приём для уравнения
$a_0y_n+a_1y_{n-1}+...+a_ky_{n-k}=b$,
где коэффициенты и правая часть — константы (хотя бы для некоторого диапазона $n_1\leqslant n\leqslant n_2$).

Kevsh в сообщении #1610833 писал(а):

Если нет, то что делать, если константы сокращаются? Допустим, уравнение $y[n]-y[n-1]=5x[n]$. Тут мы получим $(1-1)a=5$, уравнение так просто к однородному уже не сходится.

Пусть у нас есть уравнение
$a_0y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}=b$
Подстановкой $y_n=z_n+c$ мы сведём его к однородному, но только, как Вы заметили, если $a_0+a_1+a_2\neq 0$.

Если же $a_0+a_1+a_2=0$, подставим $y_n=z_n+cn$. Получим
$a_0z_n+a_1z_{n-1}+a_2z_{n-2}+\bigl(a_0cn+a_1c(n-1)+a_2c(n-2)\bigr)=b$
В больших скобках остаётся только $-(a_1+2a_2)c$, не зависящее от $n$, и это надо приравнять к $b$, тогда найдём $c$, при котором неоднородные члены уничтожатся.

Но и это не сработает, если $a_1+2a_2=0$. Тогда подставим $y_n=z_n+cn^2$. Получим
$a_0z_n+a_1z_{n-1}+a_2z_{n-2}+\bigl(a_0cn^2+a_1c(n-1)^2+a_2c(n-2)^2\bigr)=b$
В больших скобках получится
$(a_0+a_1+a_2)cn^2-2(a_1+2a_2)cn+(a_1+4a_2)c=(a_1+4a_2)c$
Это опять не зависит от $n$ и даёт возможность найти $c$. И так далее.

Такие подстановки дают частное решение неоднородного уравнения для постоянной правой части. Та или иная подстановка — не просто технический приём, ей соответствует "физика" конкретной системы. Например, для уравнения $y_n+ay_{n-1}=b$, где $b\neq 0$, частное решение $y_n=\operatorname{const}$ существует всегда, кроме случая $a=-1$, но как раз в этом случае имеется частное решение $y_n=bn$.

Если я правильно понял, эта задача давалась в книге до изучения каких-либо общих методов решения линейных неоднородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому я показал несложные частные приёмы для конкретной задачи. Я бы советовал не застревать на этом этапе и переходить к более общей теории.

[Kevsh]

Geen
Ну как вам сказать. У нас был курс, который назывался "Математический анализ. Часть 2". Там были дифференциальные уравнения. Разностных уравнений там не было. Сам курс длился семестр, была одна практика раз в две недели. Весил этот курс 2 зачётных единицы, как, например, иностранный язык (допустим, курс электроники весил 6 зачётных единиц, для сравнения). Я всё время хочу подтянуть свои знания диффуров (тут можно было бы написать "чтобы они появились"), но вот прямо сейчас мне нужно разбираться в ЦОСе. Была бы какая-нибудь книга "Диффуры для чайников", я бы с радостью прочитал - но её нет, как я понял (по крайней мере, я не нашёл).

[Kevsh]

svv
Большое вам спасибо, теперь всё понятно

[Kevsh]

svv
Я уже ничего не понимаю. Информации про эти разностные уравнения в интернете примерно ноль. Уже кучу времени потратил - в итоге какие-то решения правильные, какие-то нет, а закономерности я какой-то до сих пор не вижу Ещё чуть-чуть и я начну себе репетитора подыскивать.
Вот, есть у нас уравнение: $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$. Нужно найти решение для $x[n]=\delta [n]$. Все старые условия выполнены, уравнение является однородным для $n>2$ без всяких замен. Общее решение: $y_h[n]=A\cdot \frac{1}{2^n}$. Вот раньше наше уравнение становилось однородным при $n>1$, а теперь становится при $n>2$. Ну, значит решаем как раньше. И получаем неправильный ответ
Подставлять в это общее решение $n=0$ бессмысленно. Мы найдём решение уравнения $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$. Я подумал - логично будет подставить $n=3$, ведь наше уравнение становится однородным на промежутке $n>2$. Подставил и получил $y_h[n]=\frac{9}{2^n}$. И это уравнение действительно является решением для области $n>2$ (на самом деле даже для $n=2$). Но нас интересует уравнение, которое описывает реакцию системы на $\delta [n]$ при $n\geq 0$, это же импульсная характеристика. Мы имеем:
$y[0]=1$
$y[1]=\frac{5}{2}$
$y[2]=\frac{9}{4}$
при
$y_h[0]=9$
$y_h[1]=\frac{9}{2}$
$y_h[2]=\frac{9}{4}$
Если представлять итоговое решение как $y[n]=y_h[n]+y_p[h]$, где $y_p[n]$ - функция, которая влияет на поведение выходной функции на том участке, где уравнение не является однородным, то получим следующее:
$y_p[0]=-8$
$y_p[1]=-2$
$y_p[2]=0$ (и дальше все нули)
Я не могу вспомнить функцию, которая резко даёт ноль на каком-то участке, и так до бесконечности. Как решить уравнение в таком случае?

[svv]

Kevsh, не волнуйтесь, всё будет хорошо.

Бесконечная (в обе стороны) последовательность $y$ — это функция, которая для любого целочисленного индекса $n$ выдаёт значение отсчёта $y[n].$
Примеры: последовательность $x$ — "вход", правая часть разностного уравнения; последовательность $y$ — "выход", решение уравнения; последовательность $\delta,$ для которой $\delta[0]=1$, остальные отсчёты равны нулю.

Последовательности можно складывать: $z=x+y$ означает $z[n]=x[n]+y[n]$ для всех $n$.
Последовательность можно умножить на число: $z=ay$ означает $z[n]=ay[n]$ для всех $n$.
Тождественный оператор $\mathsf E$ по определению не меняет последовательность: $\mathsf Ez=z$.

Введём оператор сдвига $\mathsf T$, который произвольную последовательность $y$ сдвигает на один отсчёт, давая новую последовательность $z$:
$z=\mathsf T y$ означает, что для любого $n$ справедливо $z[n]=y[n-1]$
(Из формулы ясно, в какую сторону сдвигается последовательность.) Оператор сдвига, повторённый $k$ раз, обозначается $\mathsf T^k$:
$z=\mathsf T^k y$ означает, что для любого $n$ справедливо $z[n]=y[n-k]$

В этих обозначениях исходное уравнение запишется так:
$y-\frac 3 4\mathsf T y+\frac 1 8 \mathsf T^2 y=2\mathsf T\delta$,
или
$(\mathsf E-\frac 3 4\mathsf T+\frac 1 8 \mathsf T^2)y=2\mathsf T\delta$,
или
$\mathsf Ly=x$, где
$\mathsf L=\mathsf E-\frac 3 4\mathsf T+\frac 1 8 \mathsf T^2$
$x=2\mathsf T\delta$
(У меня множитель $2$ входит в состав $x$, так лучше.)
Разберём подробно:

$$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c} &... & $n=-1$ & $n=0$ & $n=1$ & $n=2$ & ...\\\hline $y$ &... & $y_{-1}$ & $y_{0}$ & $y_{1}$ & $y_{2}$ & ...\\ $\mathsf T y$ &... & $y_{-2}$ & $y_{-1}$ & $y_{0}$ & $y_{1}$ & ...\\ $\mathsf T^2 y$ &... & $y_{-3}$ & $y_{-2}$ & $y_{-1}$ & $y_{0}$ & ...\\ $\mathsf L y$ &... & $y_{-1}-\frac 3 4 y_{-2}+\frac 1 8 y_{-3}$ & $y_{0}-\frac 3 4 y_{-1}+\frac 1 8 y_{-2}$ & $y_{1}-\frac 3 4 y_{0}+\frac 1 8 y_{-1}$ & $y_{2}-\frac 3 4 y_{1}+\frac 1 8 y_{0}$ & ...\\\hline $\delta$ &... & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & ...\\ $x=2\mathsf T\delta$ &... & $0$ & $0$ & $2$ & $0$ & ...\\ \end{tabular}$$

У конкретного оператора $\mathsf L$ (и многих других аналогичных) есть два важных свойства. Пусть $y_1,y_2,y_3$ — последовательности, $a_1,a_2,a_3$ — числа.
1) $\mathsf L(a_1y_1+a_2y_2+a_3y_3)=a_1\mathsf Ly_1+a_2\mathsf Ly_2+a_3\mathsf Ly_3$ (линейность)
2) $\mathsf L\mathsf Ty=\mathsf T\mathsf Ly$
Словами:
1) Если $y_1,y_2,y_3$ — решения для правых частей $x_1,x_2,x_3$, то $y=a_1y_1+a_2y_2+a_3y_3$ — решение для правой части $x=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3$.

(Проверка)

$\mathsf Ly=\mathsf L(a_1y_1+a_2y_2+a_3y_3)=a_1\mathsf Ly_1+a_2\mathsf Ly_2+a_3\mathsf Ly_3=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=x$

2) Если $y_0$ — решение для правой части $x_0$, то $y=\mathsf Ty_0$ — решение для правой части $x=\mathsf Tx_0$.

(Проверка)

$\mathsf Ly=\mathsf L\mathsf Ty_0=\mathsf T\mathsf L y_0=\mathsf T x_0=x$

Более того, $\mathsf T^k y$ — решение для $\mathsf T^k x$. То есть "для сдвинутой правой части подойдёт сдвинутое решение".

Kevsh в сообщении #1611021 писал(а):

Вот, есть у нас уравнение: $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$. Нужно найти решение для $x[n]=\delta [n]$.

Прежде всего, изменим обозначения (мои лучше!):

Цитата:

Вот, есть у нас уравнение: $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$. Нужно найти решение для $x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]+\delta[n-2]$.

Итак!
$\mathsf Ly=x$, где
$\mathsf L=\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T,\quad x=\delta+\mathsf T\delta+\mathsf T^2\delta$

Из вышесказанного следует, что достаточно решить уравнение $\mathsf Lz=\delta$
Тогда решением для правой части
$x=\delta+2\mathsf T\delta+\mathsf T^2\delta$
будет
$y=z+2\mathsf Tz+\mathsf T^2z$

Кстати, теперь Вам будет намного легче понять то, о чём говорил TOTAL.

[svv]

Двоечку потерял вот тут:

svv в сообщении #1611052 писал(а):

Итак!
$\mathsf Ly=x$, где
$\mathsf L=\mathsf E-\frac 1 2\mathsf T,\quad x=\delta+{\color{magenta}2}\mathsf T\delta+\mathsf T^2\delta$