Получить формулу квадратного корня для элемента поля

[Rak so dna]

StepV какая перед вами задача? Если нужно провести кучу расчётов в промышленных масштабах, то лучше всего обратитесь к спецам, например к Dmitriy40, думаю он подскажет как и что выбрать.

[StepV]

Rak so dna в сообщении #1613615 писал(а):

какая перед вами задача?

Большое спасибо за помощь, но, как ответить на ваш вопрос, я не знаю. Чтобы было меньше тумана, можете посмотреть в моем профиле, там информация для общего сведения.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1613598 писал(а):

Круто. Это явно не Вольфрам, какой-то другой матпакет?

ну дак вотщем-то только записал без всяких водьфрамов , что если $с=a^2$, то $N(c)=N(a)^2$. Я вам ужо говорил, что необходимым условием вообще существования формулы является представимость в виде квадрата нормы

[StepV]

pppppppo_98 в сообщении #1613618 писал(а):

Я вам ужо говорил, что необходимым условием вообще существования формулы является представимость в виде квадрата нормы

Спасибо за помощь. Вы добавили мне значительно информации для понимания темы.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1613620 писал(а):

Спасибо за помощь. Вы добавили мне значительно информации для понимания темы.

уважаемый ... я уж не знаю насколько это вам поможет, но все пересказапнное мное мне кажется стандартная фича алгебраической теории чисел, которую я отчасти почерпнул читая вот этот фолиант http://libgen.li/ads.php?md5=945872C7D3 ... 39BBE9860D

ну и у постникова есть еще жва фолианта на туже тему
http://libgen.li/ads.php?md5=CEA047F1DE ... 45900F9F93
http://libgen.li/get.php?md5=b934890bb5 ... 3H62MJ1CBV

[dx_dyf]

StepV в сообщении #1613553 писал(а):

Тогда пару примеров:
$c=127+153\cdot\sqrt[3]{3}+23\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Корень равен числу: $t=\sqrt{c}=1+3\cdot\sqrt[3]{3}+7\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=6,01+5,12\cdot\sqrt[3]{3}+1,84\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Корень равен числу: $t=\sqrt{c}=0,5+0,8\cdot\sqrt[3]{3}+1,2\cdot\sqrt[3]{3^2}$

У вас есть еще примеры? Без ответов?

[StepV]

dx_dyf в сообщении #1614113 писал(а):

У вас есть еще примеры? Без ответов?

Не совсем понял вопрос. У меня уже все примеры с ответами. Но, если вам хочется самому поизвлекать корни, то могу напечатать несколько чисел без указания корней:
$c=-35+23\cdot\sqrt[3]{3}+10\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=-122+135\cdot\sqrt[3]{3}+37\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=441+291\cdot\sqrt[3]{3}+118\cdot\sqrt[3]{3^2}$

[dx_dyf]

StepV в сообщении #1614127 писал(а):

Не совсем понял вопрос. У меня уже все примеры с ответами. Но, если вам хочется самому поизвлекать корни, то могу напечатать несколько чисел без указания корней:
$c=-35+23\cdot\sqrt[3]{3}+10\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=-122+135\cdot\sqrt[3]{3}+37\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$c=441+291\cdot\sqrt[3]{3}+118\cdot\sqrt[3]{3^2}$

$\sqrt{-35+23\cdot\sqrt[3]{3}+10\cdot\sqrt[3]{3^2}}=1-2\cdot\sqrt[3]{3}+3\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$\sqrt{-122+135\cdot\sqrt[3]{3}+37\cdot\sqrt[3]{3^2}}=2-3\cdot\sqrt[3]{3}+7\cdot\sqrt[3]{3^2}$
$\sqrt{441+291\cdot\sqrt[3]{3}+118\cdot\sqrt[3]{3^2}}=3-8\cdot\sqrt[3]{3}+9\cdot\sqrt[3]{3^2}$
Правильно?

[StepV]

dx_dyf в сообщении #1614238 писал(а):

Правильно?

Первые два правильно. В последнем примере у вас скорей всего опечатка
$\sqrt{441+291\cdot\sqrt[3]{3}+118\cdot\sqrt[3]{3^2}}=3+8\cdot\sqrt[3]{3}+9\cdot\sqrt[3]{3^2}$

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1613612 писал(а):

Rak so dna в сообщении #1613608 писал(а):

Вы знаете как ищутся рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами?

Да. Они являются делителями свободного члена уравнения.

-- 16.10.2023, 19:43 --

dgwuqtj в сообщении #1613609 писал(а):

Скажем, есть Sage.

Хотел бы с ней познакомиться. Ее надо скачивать или есть доступ через интернет?

https://www.sagemath.org/

-- Вт окт 24, 2023 18:33:30 --

ИМХО... все сводится к задаче поиска некотрой квадратчной системы... По идее методами алгебраической геометрии наверное можно спострить соостветствующее решение (найти идеал)... На этом хорошая часть заканчивается... Но вычислительная сложность поиска корней может оказаться грандиозной, ибо уже в куда более простой задаче Пеля возникают огромадные числа и избежать перебора там не удается ... Тогда интересно подумать о такой задаче как основе для криптографии (по крайне мере доквантовой)

[Rak so dna]

pppppppo_98 в сообщении #1614499 писал(а):

ИМХО... все сводится к задаче поиска некотрой квадратчной системы... По идее методами алгебраической геометрии наверное можно спострить соостветствующее решение (найти идеал)... На этом хорошая часть заканчивается... Но вычислительная сложность поиска корней может оказаться грандиозной, ибо уже в куда более простой задаче Пеля возникают огромадные числа и избежать перебора там не удается ... Тогда интересно подумать о такой задаче как основе для криптографии (по крайне мере доквантовой)

Издеваетесь? Задайте любые три (с не слишком большими числителями и знаменателями) рациональных числа $a_0,a_1,a_2$ и я сразу же определю, извлекается ли корень из $a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$ в этом же поле, и если извлекается — предъявлю его вам.

[pppppppo_98]

Rak so dna в сообщении #1614591 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1614499 писал(а):

ИМХО... все сводится к задаче поиска некотрой квадратчной системы... По идее методами алгебраической геометрии наверное можно спострить соостветствующее решение (найти идеал)... На этом хорошая часть заканчивается... Но вычислительная сложность поиска корней может оказаться грандиозной, ибо уже в куда более простой задаче Пеля возникают огромадные числа и избежать перебора там не удается ... Тогда интересно подумать о такой задаче как основе для криптографии (по крайне мере доквантовой)

Издеваетесь? Задайте любые три (с не слишком большими числителями и знаменателями) рациональных числа $a_0,a_1,a_2$ и я сразу же определю, извлекается ли корень из $a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$ в этом же поле, и если извлекается — предъявлю его вам.

а мне не нравится не слишком большие, мне хочется принципиальный подход и любые - как видимо изначально и хотел автор (я в его голову конечно не влезу, но сужу по общению с ним), и тогда ваша факторизация ляжет, а если имеется какой-то алгоритм полиинмиального класса - то это другой антидругин...дык вот я и сомневаюсь в его наличии - но доказать не могу,и думаю что как раз задача к подобной факторизации по вычислительной сложности.

ЗЫ

А кстати никто теорию не знает - кольцо $Z[\sqrt[3]{3}]$ евклидово?

[Rak so dna]

pppppppo_98 не, ну это просто гениально! Построить шифрование на задаче, которая гарантированно быстро решается, если мы умеем быстро факторизовать (т.е. такое шифрование заведомо не лучше, чем, например, RSA), но, вдобавок, может иметь потенциальную уязвимость, если вдруг существует некий другой быстрый способ её решения...

[dgwuqtj]

Так есть же полиномиальный алгоритм, даже с почти линейной сложностью. Если верить Википедии, кольцо $\mathbb Z[\sqrt[3]3]$ является областью главных идеалов, насчёт евклидовости не знаю.

[pppppppo_98]

Rak so dna в сообщении #1614615 писал(а):

pppppppo_98 не, ну это просто гениально! Построить шифрование на задаче, которая гарантированно быстро решается, если мы умеем быстро факторизовать (т.е. такое шифрование заведомо не лучше, чем, например, RSA), но, вдобавок, может иметь потенциальную уязвимость, если вдруг существует некий другой быстрый способ её решения...

а вы умеете быстро факторизовать... Дык вам тогда уважаемый не здесь об этом рассказывать, вам в АНБ на место наначльника департамента подавать резюме... Только вот прошу в отповеди не надо мне читать лекцию об Алгоритме Шора...

-- Ср окт 25, 2023 15:31:32 --

dgwuqtj в сообщении #1614617 писал(а):

Так есть же полиномиальный алгоритм, даже с почти линейной сложностью. Если верить Википедии, кольцо $\mathbb Z[\sqrt[3]3]$ является областью главных идеалов, насчёт евклидовости не знаю.

а в более расширенной версии $Z[\sqrt[3]{p}]$? , p - не куб , но не обязательно простое. А ссылку дайте?