Получить формулу квадратного корня для элемента поля

[Rak so dna]

dgwuqtj в сообщении #1613569 писал(а):

Сам $x$ придётся искать неким перебором (ну или специальным арифметическим алгоритмом).

Если вы про Теорему Безу, то сложность поиска $x$ заключается не в переборе, а в факторизации (при больших числителях и/или знаменателях $a,b,c$ ). И сильно сомневаюсь, что есть какие-то методы, сильно быстрее или проще, чем предложенный, в особенности некая "формула".

[Утундрий]

В ролике, на который сослался pppppppo_98, рассматривается система

$$\left\{ {\begin{array}{l} x^2-y z=a\\ y^2-z x=b\\ z^2-x y=c\\ \end{array} } \right. $$

Финт ушами сводится к повторной итерации отображения $(x,y,z)\rightarrow(a,b,c)$, что приводит к равенствам

$$\dfrac{a^2-b c}{x}=\dfrac{b^2- c a}{y}=\dfrac{c^2-a b}{z}=x^3+y^3+z^3-3 x y z $$

уже легко допиливающимся до решения.

Похожие отношения можно составить и тут:

$$\dfrac{c_0^2-12 c_1 c_2}{a_0}, \quad \dfrac{c_1^2-4 c_0 c_2}{a_2}, \quad \dfrac{3 c_2^2-4 c_0 c_1}{a_1}$$

только они оказываются не равными друг другу.

[pppppppo_98]

StepV в сообщении #1613553 писал(а):

ы правы, нормы чисел тоже являются квадратами. Для первого $N=8880400$ $\sqrt{N}=2980$ , для второго $Т=166,2294$ .$\sqrt{N}=12,893$

Оговорка псевдонорма , ибо норма должна быть неотрицательна... условие точно необходимо ибо... сразу рассмотрим обобщенный случай поля над решением уравнения $t^3 = r, r\neq p^3, p\in \mathcal{Q}$, тоесть поля $\mathcal{Q}\left(\sqrt[3]{r}\right)$. Тогда пусть $\omega^3_i =1; i \in\{0,1,2\}$ - кубические корни из единицы и $\omega^2_1=\omega_2=\bar{\omega_1}=\omega^{-1}_1, \omega^2_2=\omega_1=\bar{\omega_2}=\omega^{-1}_2$. Выражение псевдонормы для $x=a_0 +a_1 \sqrt[3]{r} +a_2 \sqrt[3]{r^2}$ тогда получается из выражения

$$N(x)=\left(a_0 +a_1 \sqrt[3]{r} +a_2 \sqrt[3]{r^2}\right)\left(a_0 +a_1 \omega_1\sqrt[3]{r} +a_2 \omega^2_1\sqrt[3]{r^2}\right)\left(a_0 +a_1 \omega_2\sqrt[3]{r} +a_2 \omega^2_2\sqrt[3]{r^2}\right)=$$

$$=a^3_0 + r a^3_1 +r^2 a^3_2 -3 r a_0 a_1 a_2$$

Отсюда видно что отображение $x\rightarrow N(x)$ гомоморфизм в группе умножения этого поля в поле рациональны чисел. Стало быть, $x=s^2 \implies N(x)=N(s)^2$. Далее два последних члена в выражении псевдонормы комплексно сопряжены, стало быть их произведение положительно. И тогда знак псевдонормы равен знаку самого x. И тогда из этого необходимого условия вытекает , если псевдонорма меньше нуля - решений в этом поле нет, если таки положительно, но тоже не квадрат рационального числа , то решений в этом поле нет. Ну вот на счет достаточности я пока вообще не уверен. (что-то режет выражение нормы)

[Rak so dna]

pppppppo_98 в сообщении #1613580 писал(а):

И тогда из этого необходимого условия вытекает , если псевдонорма меньше нуля - решений в этом поле нет, если таки положительно, но тоже не квадрат рационального числа , то решений в этом поле нет. Ну вот на счет достаточности я пока вообще не уверен.

$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+6yz=a \\ y^2+2xz=b \\ 3z^2+2xy=c \end{array}\right\ \Rightarrow a^3+3c^3+9b^3-9abc=(x^3+3y^3+9z^3-9xyz)^2\geq0$

Совершенно понятно, что ваших условий недостаточно.

[StepV]

pppppppo_98 в сообщении #1613580 писал(а):

Оговорка псевдонорма , ибо норма должна быть неотрицательна...

Этот вопрос на форуме обсуждался https://dxdy.ru/topic154240.html. Ван Варден называет это регулярной нормой, другие нормой элемента конечного расширения. Вот термина псевдонорма не встречал. Путь будет по Ван Вардену регулярной нормой?

pppppppo_98 в сообщении #1613580 писал(а):

из этого необходимого условия вытекает , если псевдонорма меньше нуля - решений в этом поле нет, если таки положительно, но тоже не квадрат рационального числа , то решений в этом поле нет.

До этого результата я дошел чисто эмпирически через Exel. Но хорошо, что теперь есть и теоретическое обоснование.

Исходя из этих результатов мы из нормы числа (если она больше нуля и квадрат) можем вычислить значение нормы для числа, представляющего корень квадратный (пусть будет $N$) . Тогда получаем уже систему из четырех уравнений:

$$\left\{ {\begin{array}{l} x^2-y z=a\\ y^2-z x=b\\ z^2-x y=c\\ x^3+3 y^3+9 z^3-9 x y z=N \end{array} } \right. $$

Подставляя первые 3 уравнения в выражение для регулярной нормы получим модифицированное четвертое уравнение:
$-27x y z = N -ax-3 c z -3 b y$

[Rak so dna]

StepV вот ваша система:

StepV в сообщении #1612853 писал(а):

получаем систему уравнений для коэффициентов:
${a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2=c_0$
$3 \cdot {a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1=c_1$
${a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2=c_2$

Из неё, просто подстановкой, получаем:

$c_0^3+3c_1^3+9c_2^3-9c_0c_1c_2=(a_0^3+3a_1^3+9a_2^3-9a_0a_1a_2)^2$

Откуда сразу следуют условия pppppppo_98. Эти условия не добавляют никакой новой информации к вашей системе. Поэтому добавление ещё одного уравнения в систему ничего не даст. Можете сразу вычислить ваше $N=\pm\sqrt{c_0^3+3c_1^3+9c_2^3-9c_0c_1c_2}$, только какой в этом смысл?

[Утундрий]

Rak so dna в сообщении #1613590 писал(а):

Можете сразу вычислить ваше $N=\pm\sqrt{c_0^3+3c_1^3+9c_2^3-9c_0c_1c_2}$, только какой в этом смысл?

Например такой: если получится иррациональное число, то корень не извлекается.

[StepV]

Утундрий в сообщении #1613595 писал(а):

если получится иррациональное число, то корень не извлекается.

Да, хороший критерий для такого использования.

Rak so dna в сообщении #1613590 писал(а):

Из неё, просто подстановкой, получаем:
$c_0^3+3c_1^3+9c_2^3-9c_0c_1c_2=(a_0^3+3a_1^3+9a_2^3-9a_0a_1a_2)^2$

Круто. Это явно не Вольфрам, какой-то другой матпакет?

[Rak so dna]

StepV в сообщении #1613598 писал(а):

Да, хороший критерий для такого использования.

Зачем вам какие-то критерии, когда вот готовое решение, по вычислительной сложности сопоставимое с этим критерием:

Null в сообщении #1613567 писал(а):

Берем по очереди рациональные корни
$(x^2-a)\left(729x^8-972ax^6+54(12bc+5a^2)x^4-4(48c^3-36abc+144b^3+7a^3)x^2+(12bc-a^2)^2\right)=0$
Подставляем их в систему, ищем $y$ и $z$. Если нашли рациональное $x,y,z$ - вот он корень. Ничего не нашли - в $Q\left(\sqrt[3]{3}\right)$ корней нет.

Скажите, вы его понимаете или подробней расписать?

[StepV]

Rak so dna в сообщении #1613600 писал(а):

Скажите, вы его понимаете или подробней расписать?

Что и как делать полностью понятно, кроме того, как само уравнение получилось.

Rak so dna в сообщении #1613600 писал(а):

Зачем вам какие-то критерии, когда вот готовое решение, по вычислительной сложности сопоставимое с этим критерием

Не согласен. Если берем за основу ручной счет плюс Exel, то проще сначала вычислить норму. Если сразу посчитать коэффициенты уравнения и забросить в Вольфрам, то сразу получим все корни, тогда так проще.

[Rak so dna]

StepV в сообщении #1613605 писал(а):

Если сразу посчитать коэффициенты уравнения и забросить в Вольфрам, то сразу получим все корни, тогда так проще.

Вы знаете как ищутся рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами?

[dgwuqtj]

Rak so dna в сообщении #1613572 писал(а):

Если вы про Теорему Безу, то сложность поиска $x$ заключается не в переборе, а в факторизации (при больших числителях и/или знаменателях $a,b,c$ ). И сильно сомневаюсь, что есть какие-то методы, сильно быстрее или проще, чем предложенный, в особенности некая "формула".

ТС, конечно, вообще хотел явную формулу в радикалах. А так я предложил способ быстрее, чем через факторизацию, с помощью вычислений с плавающей запятой произвольной точности (кажется, это $O(N \log^k N)$ времени для некоторого $k$, где $N$ - длина исходных чисел). Если считать руками, то, конечно, через факторизацию приятнее.

Может, стоит рассмотреть бесплатные системы компьютерной алгебры вместо Вольфрама? Скажем, есть Sage.

[Rak so dna]

dgwuqtj в сообщении #1613609 писал(а):

ТС, конечно, вообще хотел явную формулу в радикалах.

Поскольку система решается в радикалах — то можно и в радикалах. Вопрос в том, как ТС будет потом упрощать те самые радикалы.

[StepV]

Rak so dna в сообщении #1613608 писал(а):

Вы знаете как ищутся рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами?

Да. Они являются делителями свободного члена уравнения.

-- 16.10.2023, 19:43 --

dgwuqtj в сообщении #1613609 писал(а):

Скажем, есть Sage.

Хотел бы с ней познакомиться. Ее надо скачивать или есть доступ через интернет?

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1613612 писал(а):

Хотел бы с ней познакомиться. Ее надо скачивать или есть доступ через интернет?

Я в CAS плохо разбираюсь, но Sage точно скачивается. Она вроде больше заточена на алгебру и теорию чисел, то есть всякие численные решения дифференциальных уравнений не для неё.