Получить формулу квадратного корня для элемента поля

[StepV]

Подскажите, пожалуйста.
Необходимо для элемента поля $Q(\sqrt[3]{3})$, у которого все $a_i \in \mathbb{Q}$, найти формулу для извлечения квадратного корня. Элемент поля записывается в виде $t=a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Тогда, решая уравнение $t^2=c$
получаем систему уравнений для коэффициентов:
${a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2=c_0$
$3 \cdot {a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1=c_1$
${a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2=c_2$
Метод подстановки приводит к очень запутанным степенным выражениям, корни получить очень трудно. Может есть общие алгоритмы решения таких систем без использования метода подстановки?

[dgwuqtj]

Я не знаю насчёт формул, но есть такой алгоритм, вроде не сильно медленнее извлечения корней из целых чисел. Обозначим через $\mathcal O$ кольцо целых элементов в $\mathbb Q[\sqrt[3] 3]$, его можно явно найти. Так как квадратные корни из элементов $\mathcal O$ снова лежат в $\mathcal O$ (если они вообще попали в ваше поле), то достаточно научиться решать задачу для этого кольца.

Рассмотрим гомоморфизм $\mathcal O \to \mathbb R \times \mathbb C$, переводящий $\sqrt[3]3$ в $(\sqrt[3]3, \omega \sqrt[3]3)$, где $\omega$ - это нетривиальный кубический корень из 1 (любой на выбор). Этот гомоморфизм является вложением решётки в трёхмерное вещественное векторное пространство.

В кольце $\mathbb R \times \mathbb C$ квадратный корень легко извлечь с любой точностью. Так как $\mathcal O$ является там решёткой, то у значений корня можно посчитать коэффициенты, с которым он раскладывается по базису $\mathcal O$. Если они близки к целым, то можно округлить и проверить, что нашёлся корень.

Единственно, что в кольце $\mathbb R \times \mathbb C$ элемент общего вида имеет 4 квадратных корня, из которых подходят 0 или 2.

[dgwuqtj]

Вот если бы поле получено цепочкой квадратичных расширений, то там есть почти явные формулы, только с разбором случаев.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1612857 писал(а):

Обозначим через $\mathcal O$ кольцо целых элементов в $\mathbb Q[\sqrt[3] 3]$,

Вы имеете ввиду кольцо аналогичное кольцу гауссовых целых для комплексного поля? Т.е. элемент будет иметь тот же вид, что указан в первом сообщении: $t=a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Только $a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{Z}$.
Тогда я для этого элементу не могу понять, как построить гомоморфизм $\mathcal O \to \mathbb R \times \mathbb C$. Какой вид должен быть у элемента этого произведения $\mathbb R \times \mathbb C$, чтобы получился гомоморфизм? Можете подсказать?
Боюсь, что элемент окажется тоже длинным выражением, и для него опять придется вычислять систему уравнений, подобную указанной мной выше.

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1612887 писал(а):

Вы имеете ввиду кольцо аналогичное кольцу гауссовых целых для комплексного поля? Т.е. элемент будет иметь тот же вид, что указан в первом сообщении: $t=a_0+a_1\cdot\sqrt[3]{3}+a_2\cdot\sqrt[3]{3^2}$. Только $a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{Z}$.
Тогда я для этого элементу не могу понять, как построить гомоморфизм $\mathcal O \to \mathbb R \times \mathbb C$. Какой вид должен быть у элемента этого произведения $\mathbb R \times \mathbb C$, чтобы получился гомоморфизм? Можете подсказать?
Боюсь, что элемент окажется тоже длинным выражением, и для него опять придется вычислять систему уравнений, подобную указанной мной выше.

Я имею в виду кольцо всех элементов $\mathbb Q[\sqrt[3] 3]$, целых над $\mathbb Z$. Хотя в данном случае $\mathcal O = \mathbb Z[\sqrt[3] 3]$, нам повезло. Гомоморфизм устроен как $a_0 + a_1 3^{1/3} + a_2 3^{2/3} \mapsto (a_0 + a_1 3^{1/3} + a_2 3^{2/3}, a_0 + \omega a_1 3^{1/3} + \omega^2 a_2 3^{2/3})$, где $a_i \in \mathbb Z$. И внутри $\mathbb R \times \mathbb C$ я предлагал не решать систему руками, а просто численно считать корни. Над комплексными числами квадратные корни же легко извлекаются, либо с помощью тригонометрической формы, либо несколькими извлечениями вещественных квадратных корней.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1612890 писал(а):

Гомоморфизм устроен как

Спасибо. Здесь понятно.

dgwuqtj в сообщении #1612890 писал(а):

внутри $\mathbb R \times \mathbb C$ я предлагал не решать систему руками, а просто численно считать корни.

Ваше предложение понятно, но мне надо получить формулы. Значит буду думать над системой уравнений. Не могу найти подход, чтобы не множились степени.

[mihiv]

Может быть, выразить все неизвестные через $a_0$?
Из первого уравнения:$a_2=\dfrac {c_0-a_0^2}{6a_1}=\dfrac m{a_1}.$Подставляя во 2_е и 3-е уравнения, получим в итоге необходимое условие: $a_1$ должно быть рациональным корнем квадратного уравнения с рациональными параметрами$a_0,c_0,c_1,c_2:$$$c_1a_1^2-2a_0c_2a_1+4ma_0^2-3m^2=0$$
Но, видимо, это не легче, чем решать исходную систему.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1612890 писал(а):

я предлагал не решать систему руками, а просто численно считать корни.

mihiv в сообщении #1613139 писал(а):

Но, видимо, это не легче, чем решать исходную систему.

Посчитал численно на Вольфраме. Вольфрам дает пять корней для системы. Причем два корня в поле и эти решения с плюсом и минусом относительно друг друга. Т.е полная аналогия корню из действительных чисел. Еще три корня в зависимости от подаваемых чисел принадлежат $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
Но сам расчет в Вольфраме мне не доступен.

[mihiv]

Отдельные примеры корней можно найти, например:

$$\sqrt {6q_1q_2+3q_1^2\sqrt[3] {3}+q_2^2\sqrt[3] {3^2}}=\pm (q_1\sqrt[3] {3}+q_2\sqrt[3] {3^2}), q_1,q_2 \in \mathbb{Q}, q_1,q_2>0$$

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1613192 писал(а):

Посчитал численно на Вольфраме. Вольфрам дает пять корней для системы. Причем два корня в поле и эти решения с плюсом и минусом относительно друг друга. Т.е полная аналогия корню из действительных чисел. Еще три корня в зависимости от подаваемых чисел принадлежат $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
Но сам расчет в Вольфраме мне не доступен.

У вас конкретное число, что ли? Если коэффициенты $a_i$ не слишком большие, то можно на любом калькуляторе посчитать. Лишь бы погрешность вычислений не помешала. И должно быть 4 корня: 2 варианта для вещественной части и 2 для комплексной.

[StepV]

mihiv в сообщении #1613331 писал(а):

Отдельные примеры корней можно найти

Спасибо. До этой формуле не додумался. Хотя для коротких чисел, представляющих сумму двух компонент, я тоже отдельные формулы вычвел. Но общая формула загадка.

dgwuqtj в сообщении #1613338 писал(а):

И должно быть 4 корня: 2 варианта для вещественной части и 2 для комплексной.

Я тоже так думал. Но Вольфрам железно, расчитывая данную систему, дает 5 корней. При чем, как я написал, два в поле $\mathbb Q[\sqrt[3] 3]$ и еще три корня с двумя вариантами: либо два действительных и один комплексный, либо два комплексных и один действительный.

dgwuqtj в сообщении #1613338 писал(а):

У вас конкретное число, что ли?

Нет, у меня конкретная проблем . Получить общую формулу. Искал другие варианты и нашел интересную связь для этого поля между числом, его сопряженными и его квадратом:
$ a_0\cdot t+a_1\cdot t^{*}+a_2\cdot t^{**}=t^2=c $
где $t^{*}$ и $t^{**}$ - сопряженные значения и $t^{***}=3t$
Попробую поискать через векторное пространство.

[mihiv]

StepV в сообщении #1612853 писал(а):

Необходимо для элемента поля $Q(\sqrt[3]{3})$, у которого все $a_i \in \mathbb{Q}$, найти формулу для извлечения квадратного корня.

Уже в поле $\mathbb {Q}$ операция извлечения квадратного корня не всегда выполнима. Поэтому "найти формулу" должно означать в этом случае, видимо: указать множество чисел, для которых эта операция выполнима. Это , очевидно числа вида $q=r^2,r\in \mathbb {Q}$.
Аналогично этому в поле $Q(\sqrt[3] {3})$ числа, для которых выполняется извлечение корня, имеют вид:

$$({a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2)+({a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1)\sqrt[3] {3}+({a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2)\sqrt[3] {3^2}, a_i\in \mathbb {Q}$$

Они зависят от трех произвольных рациональных параметров $a_i$.

[Утундрий]

Что возвращает нас к стартовому сообщению.

[mihiv]

Утундрий в сообщении #1613380 писал(а):

Что возвращает нас к стартовому сообщению.

Оно так, конечно, но с другой стороны понятно, что любой элемент поля $Q(\sqrt[3] {3})$ является квадратным корнем некоторого элемента этого же поля, и у нас есть 3-параметрическое описание множества всех таких элементов(тех из которых извлекается квадратный корень).

[Утундрий]

mihiv в сообщении #1613385 писал(а):

понятно, что любой элемент поля $Q(\sqrt[3] {3})$ является квадратным корнем некоторого элемента этого же поля

Это так, если система

StepV в сообщении #1612853 писал(а):

${a_0}^2+6 \cdot a_1 \cdot a_2=c_0$
$3 \cdot {a_2}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_1=c_1$
${a_1}^2+2 \cdot a_0 \cdot a_2=c_2$

разрешима для любых $c$, чего пока что никто не показал.