вопросы о dx и функ. от pi переменных

[Someone]

AD в сообщении #161413 писал(а):

Это что же, надо говорить, что "$F$ принадлежит неопределенному интегралу $f$"?

Нет, говорят, что $F$ является первообразной $f$.

AD в сообщении #161413 писал(а):

Вот никогда не понимал, зачем неопределенным интегралом называть множество всех первообразных функции.

А как же ещё назвать совокупность всех первообразных функции (на заданном промежутке)?

[ewert]

shwedka в сообщении #161373 писал(а):

Вот, наугад открыла

Ablowitz M., Fokas A. Complex variables. Introduction and applications. 2ed (CUP, 2003) там .

Greene R.E., Krantz S.G. Function theory of one complex variable (Wiley, 1997)(ISBN 0471804681)(600dpi)(T)(512s) то же самое

И даже в элементарном учебнике анализа

Blatter C., Analysis. tom1 und 2( Springer, 2003 ETHZ)

это не по-русски.

И даже не по-программистски. В Паскале, например, это -- именно $\ln$ (кажется, и в других универсальных языках, не помню, давно не пользовался). И в Маткаде. И даже в Экселе. (В Матлабе, правда, всё же $\log$ ...)

Добавлено спустя 7 минут 37 секунд:

AD писал(а):

Вот никогда не понимал, зачем неопределенным интегралом называть множество всех первообразных функции. Это что же, надо говорить, что "$F$ принадлежит неопределенному интегралу $f$"? И, вообще, зачем это надо?

А как иначе понять запись "$F$ плюс произвольная постоянная"? Это же, формально говоря, совсем бессмысленно. Вот только как множество функций, параметризуемых этой константой, и никак иначе.

Да, некоторые словосочетания при этом оказываются неуклюжими и потому не употребляются. Ну и кого это волнует?

[shwedka]

ewert в сообщении #161429 писал(а):

это не по-русски.

И даже не по-программистски. В Паскале, например, это -- именно $\ln$ (кажется, и в других универсальных языках, не помню, давно не пользовался). И в Маткаде. И даже в Экселе. (В Матлабе, правда, всё же $\log$ ...)

Про русский - иррелевантно, я ведь опровергаю Ваше утверждение

shwedka в сообщении #161366 писал(а):

В России натуральный логарифм как $\log$ отродясь не обозначался. И не только в России.

Но и по-русски, в особенности, в современной литературе, полно. Вот, к примеру, недавняя книжка.
Пеллер В.В. Операторы Ганкеля и их приложения. (первая, под мышку попавшаяся)

Если же вы за свое утверждение по-прежнему держитесь, попробуйте его доказать, хотя бы проведя статистику по какому-нибудь серьезному математическому журналу.

а программистский меня совсем не касается.

[ewert]

shwedka писал(а):

Про русский - иррелевантно, я ведь опровергаю Ваше утверждение

shwedka в сообщении #161366 писал(а):

В России натуральный логарифм как $\log$ отродясь не обозначался. И не только в России.

Ну и чем же Вы опровергаете, любопытно? тем, что названные Вами книги были изданы в России, на русском языке и для России типичны, да?

Хотя в одном Вы правы. Русский язык, безусловно, сильно портится. И русский математический -- тоже (хотя и в меньшей степени). Вот типичный пример:

shwedka писал(а):

- иррелевантно,

[shwedka]

ewertВы напоминаете Козачка.
Сначала пишете

Цитата:

отродясь не

,
а, получив контрпример, изменили модальность и заговорили о 'типичности'.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

а, получив контрпример, изменили модальность и заговорили о 'типичности'.

Зачем спорить?
Набираем в гугле "натуральный логарифм", видим $\ln$ - и делаем вывод, что, как мы и предполагали, по-прежнему живем в России.

[ewert]

shwedka писал(а):

ewertВы напоминаете Козачка.
Сначала пишете

Цитата:

отродясь не

,
а, получив контрпример, изменили модальность и заговорили о 'типичности'.

нет, всё же не могу удержаться.

Вот Вы постоянно боретесь за точность выражений, вот даже и сейчас -- и, в принципе, правильно. Однако!

1) зачем в опровержение тезиса приводить контрпримеры, не имеющие к этому тезису ни малейшего отношения?

2) зачем приводить современные контрпримеры, когда речь шла именно о традиции? (и попробуйте доказать, что Вы слова "отродясь" не заметили!)

Ну это так, к слову.

[shwedka]

ewert
\отродясь' заметила. Означает с 'давних времен и поныне'. Так что именно опровергается этот тезис. книжка Пеллера написана русским автором и напечатана в России.

кроме того, при всей критике мoих контрпримеров, собственной аргументации вы не дали. я же, наравне с гуглом, дам цитату из википедии

Bases

The most widely used bases for logarithms are 10, the mathematical constant e ≈ 2.71828... and 2. When "log" is written without a base (b missing from logb), the intent can usually be determined from context:

* natural logarithm (loge, ln, log, or Ln) in mathematical analysis, statistics, economics and some engineering fields. The reasons to consider e the natural base for logarithms, though perhaps not obvious, are numerous and compelling.
* common logarithm (log10 or simply log; sometimes lg) in various engineering fields, especially for power levels and power ratios, such as acoustical sound pressure, and in logarithm tables to be used to simplify hand calculations
* binary logarithm (log2; sometimes lg, lb, or ld), in computer science and information theory
* indefinite logarithm (Log or [log ] or simply log) when the base is irrelevant, e.g. in complexity theory when describing the asymptotic behavior of algorithms in big O notation.

To avoid confusion, it is best to specify the base if there is any chance of misinterpretation.

Но я сужу по употреблению в математической литературе, которую я читаю, и там log заметно преобладает. Более того, тому есть разумное объяснение. Попробуйте вслух по4итать формулы, содержащие ln . А теперь замените на log Где язык легче двигается?

[ewert]

shwedka в сообщении #161495 писал(а):

. я же, наравне с гуглом, дам цитату из википедии

Bases

The most widely used bases for logarithms are 10, the mathematical constant e ≈ 2.71828... and 2. When "log" is written without a base (b missing from logb), the intent can usually be determined from context:

* natural logarithm (loge, ln, log, or Ln) in mathematical analysis, statistics, economics and some engineering fields. The reasons to consider e the natural base for logarithms, though perhaps not obvious, are numerous and compelling.

* common logarithm (log10 or simply log; sometimes lg) in various engineering fields, especially for power levels and power ratios, such as acoustical sound pressure, and in logarithm tables to be used to simplify hand calculations

* binary logarithm (log2; sometimes lg, lb, or ld), in computer science and information theory

* indefinite logarithm (Log or [log ] or simply log) when the base is irrelevant, e.g. in complexity theory when describing the asymptotic behavior of algorithms in big O notation.

To avoid confusion, it is best to specify the base if there is any chance of misinterpretation.

"Это просто праздник какой-то" $\copyright$, ну да ладно

[AD]

ewert в сообщении #161429 писал(а):

А как иначе понять запись "$F$ плюс произвольная постоянная"? Это же, формально говоря, совсем бессмысленно. Вот только как множество функций, параметризуемых этой константой, и никак иначе.

Ну а что вам мешает проинтерпретировать фразу как "для любого неопределенного интеграла от $f$ существует константа $C$ такая, что $\int f(x)\,dx=F(x)+C$" ? Ну и вообще - представляете, чтобы физик сказал, что, скажем, потенциал поля - это множество функций? Физику нужен какой-нибудь один потенциал. Не понимаю.

[ewert]

физик -- ёж, и ему абсолютно привычно, что потенциал определяется с точностью до константы, а как там это официально оформляется -- ему до лампочки, был бы результат.

Математику же -- наоборот, пока фраза не приобретёт формально точный смысл, она ему отвратительна. И -- тоже правильно отвратительна.

И это -- нормально. Физики с математиками взаимодополняемы.

А вот

Цитата:

проинтерпретировать фразу как "для любого неопределенного интеграла от $f$ существует константа $C$ такая, что $\int f(x)\,dx=F(x)+C$"

я уж никак не могу. Ни с физической, ни с математической точки зрения. Уж извините.

[AGu]

ewert писал(а):

А вот

Цитата:

проинтерпретировать фразу как "для любого неопределенного интеграла от $f$ существует константа $C$ такая, что $\int f(x)\,dx=F(x)+C$"

я уж никак не могу. Ни с физической, ни с математической точки зрения. Уж извините.

По-моему, Вы зря не верите в собственные силы. Вполне можно считать, что неопределенный интеграл и первообразная -- это (в определенном смысле) одно и то же. Было бы желание.

Предлагаю (чиста ради фана) рассмотреть следующее формальное определение.

Будем говорить, что
функция $F:\mathbb R\to\mathbb R$ является неопределенным интегралом функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$,
и писать $F=\int f(x)\,dx$,
если функция $F$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$ для всех $x\in\mathbb R$.

При таком подходе, строго говоря, не вводится термин "неопределенный интеграл" для какого-либо конкретного объекта (множества), но определяется понятие "являться неопределенным интегралом" как некоторое отношение между функциями. Аналогично, здесь не вводится самостоятельный терм $\int f(x)\,dx$, но определяется формула $F=\int f(x)\,dx$. Конечно, это может слегка запутать, так как в последней формуле знак равенства своеобразно интерпретируется, но привыкнуть вполне можно. Многие ведь привыкают к записям вида $f(x) = g(x) + o(1)$, хотя это тоже, строго говоря, не "равенство", а некоторое отношение между функциями $f$ и $g$.

[AD]

AGu в сообщении #161891 писал(а):

По-моему, Вы зря не верите в собственные силы.

Так, меня поддержали, можно троллить дальше

Ну мне на самом деле больше нравится вот такой подход. Первообразная - это функция достаточной гладкости, у которой производная похожа на данную функцию (скажем, всюду равна ей, или почти всюду ...), а неопределенный интеграл - это выражение вида

$$\int\limits_{x_0}^xf(t)\,dt+C$$

,
где $x_0$ и $C$ фиксированы и в известной степени произвольны. А потом всю оставшуюся жизнь доказывать, что если есть первообразная, то функция интегрируема, и неопределенный интеграл - это как раз примерно эта самая первообразная, а если функция интегрируема, то неопределенный интеграл как раз будет первообразной.

[AGu]

AD писал(а):

Ну мне на самом деле больше нравится вот такой подход. Первообразная - это функция достаточной гладкости, у которой производная похожа на данную функцию (скажем, всюду равна ей, или почти всюду ...), а неопределенный интеграл - это выражение вида

$$\int\limits_{x_0}^xf(t)\,dt+C$$

,
где $x_0$ и $C$ фиксированы и в известной степени произвольны.

Э, не! Мне этот подход категорически не нравится. Более того, если воспринимать цитированное определение буквально и не искать в нем некий неявно предполагаемый завуалированный формализм, то я склонен считать это определение, мягко говоря, некорректным, а строго говоря, бессмысленным. К сожалению, чтобы четко объяснить свою позицию мне придется погрузиться в логические (а точнее, формально языковые) дебри метатеории и теории, метаутверждений и утверждений, метаопределений и определений. Но погружаться туда в этом топике -- это уже будет не трол, а прям метатрол какой-то. Да и влом, откровенно говоря. За чашкой кофею -- еще куда ни шло, но вколачивать все это в edit-контрол... нетушки. Так что я ограничусь безапелляционно наглым заявлением: цитированное определение некорректно и даже бессмысленно, так как в нем смешиваются теория и метатеория: определение первообразной (как "функции") в нем является определением, а определение неопределенного интеграла (как "выражения") -- метаопределением. Что суть $x_0$ и $C$ в последнем определении -- буковки или числа? Раз это "выражение", значит, буковки. А функции и буковки (в данном контексте) -- объекты разных миров, первые живут в теории, а вторые -- в метатеории. И баста! И не ждите от меня участия в дальнейшей дискуссии. (Хотя, если вдруг станет не влом... Хотя и не обещаю, что... Хотя и не обещаю, что не...)

[AD]

Не-не-не, никаких формальных выражений я не имел ввиду. Здесь всё достаточно топорно: все функции $F(x)$, для которых существуют $x_0$ и $c$ такие, что $F(x)\equiv\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt+C$, называются неопределенными интегралами, вот и всё. Хотя спасибо за предупреждение, буду иметь ввиду.