Задача о кратных прямоугольниках

[Ryzl]

Задача.

Можно ли из двух кратных прямоугольников собрать третий кратный прямоугольник. Кратный прямоугольник - это прямоугольник у которого основание кратно высоте.
Основания целые и взаимно простые. Основания не являются пифагоровыми тройками.

Получился странный результат. Где ошибка?
Получается что можно, только если $k=l$
Тогда если:
$k=x^{n-2}$
и
$l=y^{n-2}$
то сумма площадей двух кратных прямоугольников будет равна площади третьего кратного прямоугольника только при $n=2$.

Дано:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} kx^2+ly^2=mz^2 \\ x^2+y^2=z^2+b\\ mb=p\times (x^2+y^2)\\ k\le l\le m \end{array} \right.$$

Решение:
$z^2=x^2+y^2-b$
$kx^2+ly^2=m\times (x^2+y^2-b)$
$kx^2+ly^2=mx^2+my^2-mb$
$mb=mx^2+my^2-kx^2-ly^2$
$mb=x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)$

$p\times (x^2+y^2)=x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)$
$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{p\times (x^2+y^2)}$
$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$
$p=(m-k)\wedge p=(m-l)\implies (m-k)=(m-l)\implies k=l$

Если
$k=x^{n-2}\wedge l=y^{n-2}\implies n=2$
т.е.
$x^n+y^n=z^n \exists$
при:
$n=2$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).
- при изложении собственных попыток решения правильно наберите формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Null]

Ryzl в сообщении #1611966 писал(а):

$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$
$p=(m-k)\wedge p=(m-l)\implies (m-k)=(m-l)\implies k=l$

Не следует.

[Ryzl]

Null в сообщении #1612069 писал(а):

Ryzl в сообщении #1611966 писал(а):

$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$
$p=(m-k)\wedge p=(m-l)\implies (m-k)=(m-l)\implies k=l$

Не следует.

Дайте, пожалуйста, контрпример. И что не следует?

[Null]

Вообще говоря, вы должны сами давать полное доказательство. Если вам говорят, что не следует, надо доказывать этот переход, иначе доказательство не засчитывается.
$x=1,y=1,m-k=3,m-l=1,p=2$

[waxtep]

Ryzl в сообщении #1611966 писал(а):

Можно ли из двух кратных прямоугольников собрать третий кратный прямоугольник

Можно, если меньший из прямоугольников - квадрат с единичной стороной

[Ryzl]

x=1, y=1
не подходят по условию задачи.

[Andrey A]

waxtep в сообщении #1612141 писал(а):

Можно, если меньший из прямоугольников - квадрат с единичной стороной

Слишком частный случай. Так мы всё запутаем, а это ТС умеет и без нас. Прямоугольники предполагаются "монолитными", иначе хватило бы уравнения $kx^2+ly^2=mz^2.$ Чтобы из двух монолитных прямоугольников "собрать" третий, необходимо наличие общей стороны. Обозначим ее длину $abc$, длину оснований — $a,b.$ Поскольку основания взаимно просты (из условия), такое обозначение отражает общий случай, ясно также что $\gcd(ab,a+b)=1.$ Отсюда уже видны условия, при которых суммарный прямоугольник окажется "кратным". Например, из прямоугольников $(2,90)(3,90)$ можно "собрать" прямоугольник $(5,90)$, хотя лучше сказать "составить".
Уравнение $kx^2+ly^2=mz^2$ это теорема Лежандра.

[Null]

Ryzl в сообщении #1612145 писал(а):

x=1, y=1
не подходят по условию задачи.

Непонятно почему не подходит. И вообще я писал контрпример к переходу а не к задаче.
Повторю еще раз: Если переход не доказан - все доказательство неправильное. Можно неправильно доказать верное утверждение, соответственно контрпримера к нему не существует. Учитесь доказывать корректно.

[Ryzl]

Andrey A в сообщении #1612148 писал(а):

waxtep в сообщении #1612141 писал(а):

Можно, если меньший из прямоугольников - квадрат с единичной стороной

Слишком частный случай. Так мы всё запутаем, а это ТС умеет и без нас. Прямоугольники предполагаются "монолитными", иначе хватило бы уравнения $kx^2+ly^2=mz^2.$ Чтобы из двух монолитных прямоугольников "собрать" третий, необходимо наличие общей стороны. Обозначим ее длину $abc$, длину оснований — $a,b.$ Поскольку основания взаимно просты (из условия), такое обозначение отражает общий случай, ясно также что $\gcd(ab,a+b)=1.$ Отсюда уже видны условия, при которых суммарный прямоугольник окажется "кратным". Например, из прямоугольников $(2,90)(3,90)$ можно "собрать" прямоугольник $(5,90)$, хотя лучше сказать "составить".
Уравнение $kx^2+ly^2=mz^2$ это теорема Лежандра.

В вашем примере $k=45, l=30 и m=18$. А по условию $k \leqslant l \leqslant m$. Или я всё путаю? )). За ссылку на теорему большое спасибо. Но я не профи. Мне бы объяснить, что не так? Помимо необходимости доказать переход:
$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$
$p=(m-k)\wedge p=(m-l)\implies (m-k)=(m-l)\implies k=l$

[Andrey A]

Ryzl
Сложность в плохо сформулированном условии. Что такое "собрать" из двух прямоугольников третий? Если они сами "собраны" из единичных квадратов, это одна задача, если они "монолитны" — другая. В первом случае чтобы получить ответ "можно" вникать в теорему Лежандра излишне, достаточно на нее указать. Второй расклад Вам дан. Система из восьми переменных — верный способ поиметь ошибку, я в нее, простите, не вникал. А Null не поленился, вник, и ответить ему было бы вежливо с Вашей стороны. На мутный вопрос не бывает хороших ответов.

[Ryzl]

Благодарю Всех принявших участие в помощи.
Справедливо отмечено что есть неочевидный момент требующий доказательства.
Итак.
$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$
$x^2(m-k)+y^2(m-l)=px^2+py^2$
$x^2(m-k)+y^2(m-l)-px^2-py^2=0$
$mx^2-kx^2+my^2-ly^2-px^2-py^2=0$
$x^2(m-k-p)+y^2(m-l-p)=0$

Здесь два варианта.
1. Вариант. Оба слагаемых равны 0
т.к. $x\wedge y >0 \implies (m-k-p)\wedge (m-l-p)=0 \implies k=l$

2. Вариант. Оба слагаемых равны по модулю и имеют разные знаки. т.е.
$x^2(m-k-p)>0 \wedge y^2(m-l-p)<0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m-k-p>0\\ m-l-p<0\\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m-k>p\\ m-l<p\\ \end{array} \right.$$

Второй вариант не имеет решения.

Получается:
$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2} \implies k=l$

[Ryzl]

Фигню сморозил относительно системы. Наоборот имеет множество решений.
Может как то можно по четности посмотреть?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 10-5>4\\ 10-7<4\\ \end{array} \right.$$

если по условию $k \wedge m$ - нечетное, а $l$ - четное

[Null]

Ryzl в сообщении #1613858 писал(а):

$1=\frac{x^2\times (m-k)+y^2\times (m-l)}{px^2+py^2}$

Только из этого равенства вывести $k=l$ просто невозможно. Нужно использовать еще другие уравнения. Не знаю достаточно ли этого.