Еще раз об аксиоме выбора

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]»

mihaild в сообщении #1613683 писал(а):

И не получится - возможность сравнивать мощности это довольно сложный результат (и при некоторых сравнительно естественных на первый взгляд предположениях вообще неверный - в стандартной теории множеств Цермелло-Френкеля как раз могут существовать множества, которые нельзя сравнить по мощности, т.е. ни одно из них не вкладывается инъективно в другое;

Забавно, насколько разными могут быть представления о естественности. Я бы наоборот сказал, что при некотором (одном) очень естественном предположении любые два множества сравнимы.
mihaild, чем Вам аксиома выбора не нравится?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613701 писал(а):

чем Вам аксиома выбора не нравится?

А чем Вам аксиома детерменированности не нравится?)

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613703 писал(а):

А чем Вам аксиома детерменированности не нравится?)

Мы это уже вроде бы проходили

Я не понимаю, почему надо ограничиваться только детерминированными множествами. Для меня-то существуют недетерминированные множества, я считаю их абсолютно корректно определенными. Аргумент (который как раз Вы и приводили), что нам хочется находится в таком универсуме множеств, для элементов которого выполняется приятное теоретико-игровое свойство: для игры с полной информацией существует выигрышная стратегия. Но это же как-то странно... Моя интуиция сильно протестует против этого. Мне в таком универсуме очень некомфортно. Но если с теорией игр я бы еще готов смириться, то с отсутствием неизмеримых множеств - это уже слишком. Тут у меня уже интуиция стопроцентная - неизмеримые множества быть обязаны. Что мы вообще хотим, когда измеряем множества? Мы хотим каждому подмножеству $\mathbb{R}$ однозначно поставить в соответствие неотрицательное число, так, что мера единичного отрезка равна 1, мера инвариантна относительно трансляций и еще и сигма-аддитивна. Я когда про это в первый раз услышал, мне казалось, что с таким набором условий мы вообще толком ничего померять не сможем. Это уже только потом оказалось, что меры на самом деле не такие беспомощные, как я думал. (хотя, конечно же, померять все подмножества $\mathbb{R}$ никакой такой мерой мы не сможем).

В общем, я понимаю, что тут любая аргументация может быть чисто интуитивной. Но у меня вот так сложилось, что формулировка аксиомы выбора мне нравится, следствия нравятся (ну в самом деле, очевидно же, что декартово произведение непустых множеств должно быть непусто; а это эквивалентно аксиоме выбора). И вдобавок аргументы про игры и меры.

-- 17.10.2023, 23:28 --

Это кстати явления одного поля с конструктивизмом. Зачем объявлять недетерминированные множества несуществующими, если их можно просто называть... недетерминированными?... Конструктивисты же тоже любят все неконструктивное объявлять несуществующим (хотя гораздо логичнее было бы просто использовать "существующие" и "существующие в конструктивном смысле"). Но это, кажется, тоже Вы впервые упомянули, а у меня эта мысль просто очень сильно отрезонировала.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1613732 писал(а):

Мы хотим каждому подмножеству $\mathbb{R}$

Каждому ограниченному конечно же.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1613732 писал(а):

Это кстати явления одного поля с конструктивизмом. Зачем объявлять недетерминированные множества несуществующими, если их можно просто называть... недетерминированными?... Конструктивисты же тоже любят все неконструктивное объявлять несуществующим

Что за странная аналогия с конструктивизмом? Конструктивисты не принимают некоторые аксиомы, потому что они сводятся к утверждениям чистого существования: Это когда утверждается существование чего-то такого, пример которого невозможно привести. Но чтобы что-то не принять, нужно это что-то хотя бы сформулировать. А что такое "недетерминированное множество"?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1613802 писал(а):

А что такое "недетерминированное множество"?

Я понимаю следующим образом.

Рассмотрим отрезок $[0, 1]$ вещественных чисел. Множество $M \subset [0, 1]$ называется детерминированным, если для него у некоторого игрока ("Б" или "М") существует выигрышная стратегия в игре Банаха-Мазура.

Аксиома детерминированности
$(\forall A \subset [0, 1])$ $A$ детерминировано.


Я, разумеется, считаю это утверждение неверным. В качестве примера недетерминированного множества можно взять, например, множество Витали. Но для его построения нужна аксиома выбора.

Таким образом, я понимаю все это дело следующим образом:
1) Действительно существуют детерминированные множества (ну хотя бы множества первой категории Бэра - для них всегда существует выигрышная стратегия игрока, делающего второй ход).
2) Есть множества, про которые мы доказали, что они не являются детерминированными (т.е. определяют недетерминированную игру). Пример: множество Витали.
3) Есть те, про которые мы не знаем, детерминированные они или нет.

Поэтому, вместо того, чтобы запрещать существование недетерминирванных множеств (то, что делает AD), гораздо логичнее использовать слова "существует" (для произвольного подмножества), "детерминировано" (для тех, про которые мы доказали, что они детерминированные), "недетерминировано" (для тех, про которые мы доказали, что они недетерминированные).

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613822 писал(а):

Поэтому, вместо того, чтобы запрещать существование недетерминирванных множеств

Аксиомы ничего не запрещают, они наоборот только разрешают. В частности AD разрешает детерменировать (построить выигрышную стратегию) для любого множества. AC разрешает построить функцию выбора для любого множества. Мне очень хочется и того и другого, но увы нельзя (хотя может быть стоит просто выкинуть аксиому бесконечности?).

EminentVictorians в сообщении #1613732 писал(а):

Зачем объявлять недетерминированные множества несуществующими, если их можно просто называть... недетерминированными?

А зачем объявлять несуществующими аморфные множества?)

EminentVictorians в сообщении #1613732 писал(а):

Я когда про это в первый раз услышал, мне казалось, что с таким набором условий мы вообще толком ничего померять не сможем

Я думаю что к тому моменту уже что-то про эту область слышали. Потому что сам Лебег изначально надеялся, что все множества измеримы.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613829 писал(а):

Аксиомы ничего не запрещают, они наоборот только разрешают. В частности AD разрешает детерменировать (построить выигрышную стратегию) для любого множества.

Я это понимаю, но с AD это уже не множества, а фигня какая-то. Вот AC - это то, что множествам присуще. Я смотрел на детерминированные множества из своей призмы (в которой аксиома выбора есть).

mihaild в сообщении #1613829 писал(а):

А зачем объявлять несуществующими аморфные множества?)

Ну это можно все-таки доказать (по крайней мере, такой как я это доказательство примет). Да и вообще. Я смотрю на ZF, вижу, что в ней могут быть конечные по Дедекинду, но бесконечные в обычном смысле множества. Ну это же явно дичь. Это может говорить лишь о том, что ZF рождает не множества, а что-то другое. Ну, точнее, лучше наверное сказать так: в нее не попали многие нормальные множества (типа функций, существование которых обеспечивается аксиомой выбора).

mihaild в сообщении #1613829 писал(а):

Я думаю что к тому моменту уже что-то про эту область слышали.

Я просто видел примеры замороченных подмножеств действительных чисел, поэтому как-то очень легко воспринял существование неизмеримых множеств. Хотя, наверное, все примеры, которые я видел, как раз таки были измеримы

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613833 писал(а):

Ну, точнее, лучше наверное сказать так: в нее не попали многие нормальные множества (типа функций, существование которых обеспечивается аксиомой выбора).

Так говорить нельзя. Потому что любая модель ZFC является и моделью ZF.
Можно сказать, что у ZF есть модели, в которых бывают странные множества. И тут я соглашусь, неизмеримые множества это странно:)
(на самом деле я не то чтобы предпочитаю AD, мне они обе не особо нравятся)

[EminentVictorians]

mihaild

Когда я занимаюсь обычной математикой, я почему-то не сомневаюсь, что есть один единственный универсум множеств, в котором я нахожусь. Все множества, которые я строю, получаются из пустого множества. Ну т.е. я, допустим, рассматриваю какой-нибудь оператор, пусть одномерного интегрирования по Риману. Я понимаю, что это функция, которая каждой паре вида (отрезок, интегрируемая на этом отрезке функция) ставит в соответствие действительное число. Я понимаю, что такое отрезок - это подмножество $\mathbb R$. Я понимаю, что такое действительная функция. Я понимаю, что такое действительное число - это множество из рациональных. Рациональное - множество пар целых. Целые тоже понятно как построены с помощью натуральных. Натуральные числа все построены из пустого множества и фигурных скобок. Я к тому, что я могу распотрошить таким образом любой объект, которым я оперирую (ну разве что большие категории тут не впишутся, но я предлагаю пока про них не говорить).

Это ведь и называют "стандартной моделью ZFC"? Просто я как бы знаю, что есть, например, счетная модель ZFC. Ну а мне-то что с того должно быть? Можно ведь взять какую-нибудь другую теорию с равенством и сконструировать ее ненормальную модель (т.е. такую модель, где равенство будет интерпретироваться не как тождественное совпадение). Но если мы доказываем внутри этой теории какие-то содержательные теоремы, какая нам разница, что есть такие ненормальные модели. Мы находимся в стандартной модели, т.е. в той модели, ради которой мы, собственно, и создавали нашу теорию.

Если можно, можете ли сказать, вот Вы сами когда математикой занимаетесь, так же смотрите на тот универсум множеств, в котором Вы находитесь, или как-то по-другому?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1613842 писал(а):

Я к тому, что я могу распотрошить таким образом любой объект, которым я оперирую (ну разве что большие категории тут не впишутся, но я предлагаю пока про них не говорить).

Да ладно категории, в существование недостижимых кардиналов Вы тоже не верите?

EminentVictorians в сообщении #1613842 писал(а):

Это ведь и называют "стандартной моделью ZFC"?

Нет, стандартная модель - это такая, в которой отношение принадлежности унаследовано из моделирующего юниверсума.

EminentVictorians в сообщении #1613842 писал(а):

Но если мы доказываем внутри этой теории какие-то содержательные теоремы, какая нам разница, что есть такие ненормальные модели

Когда мы доказываем теоремы, нам вообще не нужны модели, нам нужны аксиомы.

EminentVictorians в сообщении #1613842 писал(а):

Если можно, можете ли сказать, вот Вы сами когда математикой занимаетесь, так же смотрите на тот универсум множеств, в котором Вы находитесь, или как-то по-другому?

Я вообще не думаю, что эти модели "существуют" в каком-то интересном смысле, кроме как "можно по определенным правилам получить определенную строчку, которую мы называем утверждением о существовании моделей". Т.е. настоящая математика - это доказательства, а разговоры о моделях в неформальном смысле нужны только для упрощения понимания (потому что человеческий мозг плохо понимает формализмы). Штуки вроде "если существует модель ZF, то существует модель ZFC" - это просто теоремы ZF.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1613822 писал(а):

Рассмотрим отрезок $[0, 1]$ вещественных чисел. Множество $M \subset [0, 1]$ называется детерминированным, если для него у некоторого игрока ("Б" или "М") существует выигрышная стратегия в игре Банаха-Мазура.

Понятно, неконструктивные заморочки. Игра математичекой фантазии. Хочешь - будут тебе множества неизмеримой кардинальности, а хочешь - будут тебе недетерминированные множества и нелинейные аддитивные функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

EminentVictorians в сообщении #1613842 писал(а):

Когда я занимаюсь обычной математикой, я почему-то не сомневаюсь, что есть один единственный универсум множеств, в котором я нахожусь.

Ха, Платоновский мир абсолютных истин? А я почему-то не сомневаюсь, что "множества" и все их свойства - совершенно воображаемы, продукт нашей фантазии, в реальности не существующий. И хорошо, если части из этих фантазий хоть в каком-то смысле можно сопоставить хоть что-то реальное. Те же фантазии, которым в принципе невозможно сопоставить ничего реального (ввиду отсутствия способа сопоставления), заведомо бесполезны.

[mihaild]

epros в сообщении #1613862 писал(а):

Понятно, неконструктивные заморочки

А это уже более интересный вопрос. Т.к. AD не противоречит ZF, то для любого множества, которое можно построить средствами ZF, доказать недетерменированность не получится. А можно ли любое конструктивное множество конструктивно детерменировать? Мне ответ сходу не очевиден.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1613847 писал(а):

Да ладно категории, в существование недостижимых кардиналов Вы тоже не верите?

Сам не знаю. Давайте разбираться.

Я верю в существование универсума $U$ такого что:

1)$\varnothing \in U$
2)$x \in u$ и $u \in U$ $\Rightarrow$ $x \in U$
3)$u \in U$, $v \in U$ $\Rightarrow$ $\{u, v\} \in U$
4) $x \in U$ $\Rightarrow$ $2^x \in U$ и $\cup x \in U$
5) есть схема выделения
6) если $a \in U$ и мы поставили в соответствие каждому $x \in a$ некоторый единственный $y_x \in U$, то $\{y_x| x \in X\}$ будет множеством (т.е., грубо говоря, образ функционального суждения (которое само не обязательно является функцией) является множеством). (схема преобразования)
7) аксиома выбора
8)* если очень надо, можно и аксиому регулярности добавить, а можно и не добавлять


Понятно, что этот универсум замкнут относительно основных теоретико-множественных операций типа взятия упорядоченной пары, образования декартова произведения и всего такого.

Я допускаю, что здесь могут быть избыточные требования, но у меня не очень много энтузиазма их сейчас здесь отыскивать. Я просто примерно описал, в каком универсуме я нахожусь.

Теперь что касается недостижимых кардиналов. Я просто не очень хорошо с ними в ладах, там довольно сложная теория.
Но если коротко, я придерживаюсь такой позиции: если они в этом универсуме есть, я в них верю. Если нету - не верю.

А учитывая, что я описал что-то типа универсума ZFC, то их там быть не должно.

mihaild в сообщении #1613847 писал(а):

Нет, стандартная модель - это такая, в которой отношение принадлежности унаследовано из моделирующего юниверсума.

А можно поподробнее, что это в точности означает?

[epros]

mihaild в сообщении #1613882 писал(а):

А это уже более интересный вопрос. Т.к. AD не противоречит ZF, то для любого множества, которое можно построить средствами ZF, доказать недетерменированность не получится. А можно ли любое конструктивное множество конструктивно детерменировать? Мне ответ сходу не очевиден.

Насколько я понимаю (хотя я могу понимать неправильно), сама постановка задачи игры Банаха-Мазура конструктивно бессмысленна. Причём не только на отрезке действительных чисел, но и на отрезке конструктивных действительных чисел.