fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение10.10.2023, 23:54 


29/08/09
691
Изображение

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение11.10.2023, 09:37 


13/05/16
362
Москва
natalya_1 в сообщении #1613203 писал(а):
Изображение

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

И о чем это говорит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение11.10.2023, 16:10 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1613222 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1613203 писал(а):
Изображение

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

И о чем это говорит?

если это верно, из этого следует рациональность $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$:
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$
$c-a_1-b_2-2h+a_2+b_1=0$
$\frac{(c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D})-(c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D})+(c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1})-(c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_1})}{2(cd-p)}=\frac{2cp-c^2d+cp}{cd-p}$
$\sqrt{D}-\sqrt{D_1}=3cp-c^2d$
$3cp-c^2d\not=0$, следовательно
$\sqrt{D}$, $\sqrt{D_1}$ -рациональные числа, следовательно
$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ --рациональные числа

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение11.10.2023, 17:46 


29/08/09
691
Antoshka, это то, что я никак не могу доказать: рациональность $a_1$, $a_2$,
$b_1$, $b_2$, есть ли у меня получится это доказать, я докажу теорему.
я выложила очередную попытку доказательства этой рациональности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение11.10.2023, 21:12 


13/05/16
362
Москва
natalya_1 в сообщении #1613280 писал(а):
Antoshka, это то, что я никак не могу доказать: рациональность $a_1$, $a_2$,
$b_1$, $b_2$, есть ли у меня получится это доказать, я докажу теорему.
я выложила очередную попытку доказательства этой рациональности.

А где начало?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение11.10.2023, 22:13 


29/08/09
691
Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b=c+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,
$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)

1.3. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$
$y'=3(cd-p)x^2-2c^2dx+c^2p$

$D=4c^4d^2-12(cd-p)c^2p=c^2(4c^2d^2-12cdp+12p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{c^2d-3cdp+3p^2}}}{3(cd-p)}$

$\frac{c^2d}{3(cd-p)}$ -
точка перегиба функции.




функция $y=(cd-p)x^{3}-c^{2}dx^{2}+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с, $0<b<h<a<c$,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$


Очевидно, что может существовать два варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$



рассмотрим на примере варианта $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$



Изображение



4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $q$,
так, чтобы $f_2(0)=f(0)=f_2(c)=f(c)=f(h)=f_2(h_1)=0$
$f_2(x)=f_1(x-q)$
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.


$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.



$b+b_1+b_2=3k=\frac{c^2d}{(cd-p)}$.

$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{3c^2d-3cp-2c^2d}{3(cd-p)}=\frac{c^2d-3cp}{3(cd-p)}$.


5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
( $b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$)
и $a_2'$
($a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$)





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+2(k-h)+q$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=3k$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=3k+((2(k-h)+q))$.
$b'+(b_1'+(2(k-h)+q))+b_2'=3k+((2(k-h)+q))$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=a+a_1+a_2$


7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$


8. $a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a_1^3-c^2da_1^2+c^2pa_1$,
$(a-a_1)((a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p)=0$
$a_1^2(cd-p)-a_1(c^2d-a(cd-p))+(c^2p+a^2(cd-p)-c^2da)=0$
$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)-c^2da)$, $D>0$
$a_1=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

аналогично
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$.
$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)-c^2db)$, $D_1>0$



9.$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

10.$b_2'-b_2=b_1'-b_1$
$c-a_1-b_2-2h+a_2+b_1=0$
$\frac{(c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D})-(c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D})+(c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1})-(c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_1})}{2(cd-p)}=\frac{2cp-c^2d+cp}{cd-p}$
$\sqrt{D}-\sqrt{D_1}=3cp-c^2d$
$3cp-c^2d\not=0$, следовательно
$\sqrt{D}$, $\sqrt{D_1}$ -рациональные числа, следовательно
$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ -рациональные числа

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.10.2023, 20:03 


15/10/20
64
natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Здравствуйте, Наталья! Вы по-прежнему в боевом строю, в прекрасной форме! Великолепно!
Вопрос: разве в знаменитых заметках на полях "Арифметики" Диофанта Ферма пишет о рациональных числах?
В википедии, например, в формулировке идет речь о целых ненулевых числах...

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.10.2023, 00:08 


29/08/09
691
Elfhybr в сообщении #1613354 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Здравствуйте, Наталья! Вы по-прежнему в боевом строю, в прекрасной форме! Великолепно!
Вопрос: разве в знаменитых заметках на полях "Арифметики" Диофанта Ферма пишет о рациональных числах?
В википедии, например, в формулировке идет речь о целых ненулевых числах...

добрый день, спасибо за прекрасные слова! чтобы доказать теорему для всех рациональных чисел, достаточно доказать ее для целых взаимно простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение16.10.2023, 21:24 


15/10/20
64
natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков

Почему одинаковые значения, можете показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение17.10.2023, 00:20 


29/08/09
691
Rak so dna в очередной раз уважительно прошу вас проверить мое "доказательство". Если последний пост правильный, у меня есть разные варианты конца "доказательства". Это один из них:

11.1 $(a^3+b_1^3)(cd-p)-c^2d(a^2+b_1^2)+c^2p(a+b_1)=0$,
$(a^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a^2+b_2^2)-c^2p(a+b_2)=0$,
$b_1=\frac{q}{cd-p}$ , $b_2=\frac{v}{cd-p}$следовательно
$\frac{q^3+a^3(cd-p)^3}{c^2}$ - целое число
$\frac{v^3+a^3(cd-p)^3}{c^2}$- целое число.

11.2 $c^3=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Найдем общий множитель $q+a(cd-p)$ и $a+b$:
$(q+a(cd-p))-(b(cd-p)+a(cd-p))=q-b(cd-p)$.
$(q-b(cd-p))^2=q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$
$(q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)-c^2d(q+b(cd-p))+c^2p(cd-p)=0$следовательно
$\frac{q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2}{c^2}$-целое число

11.3 Найдем общий множитель
$q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$ и $q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$:
$(q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)-(q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)=-3qb(cd-p)$* следовательно, $a+b$и $q+a(cd-p)$ не имеют общего множителя, аналогично
$a+b$ и $v+a(cd-p)$ не имеют общего множителя.

(*$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{c^4d^2-3b^2(cd-p)^2+2c^2b(cd-p)-4c^2p(cd-p)}}{2(cd-p)}$,
$c$ не делится на $3$)
11.4 Найдем общий множитель $q+b(cd-p)$, $v+b(cd-p)$ и $c$:
$(q+a(cd-p))-(v+a(cd-p))=q-v$, $(q-v)^2=q^2-2qv+v^2$.
$\frac{q^2+qv+v^2}{c^2}$ -целое число,
$(q^2-2qv+v^2)-(q^2+qv+v^2)=-3qv$ следовательно $q+a(cd-p)$ и $v+a(cd-p)$ не имеют общего множителя одновременно друг с другом и с $c$.

12.1$(a+b_1)(a^2-ab_1+b_1^2)(cd-p)-c^2d(a^2+b_1^2)+c^2p(a+b_1)=0$,
$(a+b_2)(cd-p)(a^2-ab_2+b_2^2)(cd-p)-c^2d(a^2+b_2^2)-c^2p(a+b_2)=0$, следовательно
$\frac{c^2d(cd-p)}{q+a(cd-p)}$ -целое число,
$\frac{c^2d(cd-p)}{v+a(cd-p)}$ -целое число.

12.2$c^2d=(a+b)(c^2-(a^2+b^2)+ab)$, $a^2+b^2>c^2$,
$q+a(cd-p)$ и $v=a(cd-p)$ не имеют общего множителя с $a+b$, следовательно
$\frac{(c^2-(a^2+b^2)+ab)(cd-p)^2}{(q+a(cd-p))(v+a(cd-p))}$ -целое число, следовательно
$(q+a(cd-p))(v+a(cd-p))<a(cd-p)b(cd-p)$.

но $a(cd-p)<q+a(cd-p)$, $b(cd-p)<a+v(cd-p)$ -


Мы пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах
Теорема доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение17.10.2023, 05:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2338
МО

(Оффтоп)

natalya_1 в сообщении #1613630 писал(а):
прошу вас проверить мое "доказательство"

Если что, форум для переписки между двумя пользователями поддерживает механизм отправки личных сообщений. Нажимаете кнопочку с надписью "ЛС" под любым сообщением того пользователя, мнение которого Вас интересует, дальше там все понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение17.10.2023, 19:59 


15/10/20
64
natalya_1 в сообщении #1613630 писал(а):
Мы пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах
Теорема доказана.

Наталья, а на второй степени вы не пробовали своё доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение18.10.2023, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
572
so dna
natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$
Мне кажется, вы запутались в собственных обозначениях. Должно быть:

$a_2'=2h-b_1$, $b_1'=2h-a_2$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b=c-a'$, $b'=c-a$

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
Почему $(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение18.10.2023, 10:45 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1613744 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$
Мне кажется, вы запутались в собственных обозначениях. Должно быть:

$a_2'=2h-b_1$, $b_1'=2h-a_2$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b=c-a'$, $b'=c-a$

вы, как всегда, правы, это я проверяла другой вариант и ошибочно его записала
Rak so dna в сообщении #1613744 писал(а):


natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
Почему $(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$ ?
потому что я опять ошиблась, а вы опять быстро нашли ошибку....
$a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=a_2-a_1+3k-3h-c+a_1'+2h-a_2'=(a_1'-a_1)-(a_2'-a_2)$
я опять не доказала то, что мне надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение18.10.2023, 21:49 


15/10/20
64
natalya_1 в сообщении #1613746 писал(а):
потому что я опять ошиблась, а вы опять быстро нашли ошибку....
$a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=a_2-a_1+3k-3h-c+a_1'+2h-a_2'=(a_1'-a_1)-(a_2'-a_2)$
я опять не доказала то, что мне надо

Наталья, мне кажется, вы зря не прислушиваетесь к моему совету попробовать свой метод на второй степени, там будет всё попроще и понятнее в том ли направлении вы идете..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group