Попытка доказательства теоремы ферма 3

[natalya_1]

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1613203 писал(а):

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

И о чем это говорит?

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1613222 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1613203 писал(а):

$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

И о чем это говорит?

если это верно, из этого следует рациональность $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$:
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$
$c-a_1-b_2-2h+a_2+b_1=0$
$\frac{(c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D})-(c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D})+(c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1})-(c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_1})}{2(cd-p)}=\frac{2cp-c^2d+cp}{cd-p}$
$\sqrt{D}-\sqrt{D_1}=3cp-c^2d$
$3cp-c^2d\not=0$, следовательно
$\sqrt{D}$, $\sqrt{D_1}$ -рациональные числа, следовательно
$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ --рациональные числа

[natalya_1]

Antoshka, это то, что я никак не могу доказать: рациональность $a_1$, $a_2$,
$b_1$, $b_2$, есть ли у меня получится это доказать, я докажу теорему.
я выложила очередную попытку доказательства этой рациональности.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1613280 писал(а):

Antoshka, это то, что я никак не могу доказать: рациональность $a_1$, $a_2$,
$b_1$, $b_2$, есть ли у меня получится это доказать, я докажу теорему.
я выложила очередную попытку доказательства этой рациональности.

А где начало?

[natalya_1]

Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b=c+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,
$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)

1.3. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$
$y'=3(cd-p)x^2-2c^2dx+c^2p$

$D=4c^4d^2-12(cd-p)c^2p=c^2(4c^2d^2-12cdp+12p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{c^2d-3cdp+3p^2}}}{3(cd-p)}$

$\frac{c^2d}{3(cd-p)}$ -
точка перегиба функции.




функция $y=(cd-p)x^{3}-c^{2}dx^{2}+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с, $0<b<h<a<c$,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$


Очевидно, что может существовать два варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$



рассмотрим на примере варианта $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$







4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $q$,
так, чтобы $f_2(0)=f(0)=f_2(c)=f(c)=f(h)=f_2(h_1)=0$
$f_2(x)=f_1(x-q)$
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.


$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.



$b+b_1+b_2=3k=\frac{c^2d}{(cd-p)}$.

$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{3c^2d-3cp-2c^2d}{3(cd-p)}=\frac{c^2d-3cp}{3(cd-p)}$.


5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
( $b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$)
и $a_2'$
($a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$)





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+2(k-h)+q$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=3k$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=3k+((2(k-h)+q))$.
$b'+(b_1'+(2(k-h)+q))+b_2'=3k+((2(k-h)+q))$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=a+a_1+a_2$


7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$


8. $a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a_1^3-c^2da_1^2+c^2pa_1$,
$(a-a_1)((a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p)=0$
$a_1^2(cd-p)-a_1(c^2d-a(cd-p))+(c^2p+a^2(cd-p)-c^2da)=0$
$D=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p)-c^2da)$, $D>0$
$a_1=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{D}}{2(cd-p)}$.

аналогично
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$.
$D_1=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p)-c^2db)$, $D_1>0$



9.$b_2'-b_1'=(a_2-a_1)+2(k-h)+(k-h)$,
$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,
$(b_2'-b_2)-(b_1'-b_1)=0$
$b_2'-b_2=b_1'-b_1$

10.$b_2'-b_2=b_1'-b_1$
$c-a_1-b_2-2h+a_2+b_1=0$
$\frac{(c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D})-(c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D})+(c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_1})-(c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_1})}{2(cd-p)}=\frac{2cp-c^2d+cp}{cd-p}$
$\sqrt{D}-\sqrt{D_1}=3cp-c^2d$
$3cp-c^2d\not=0$, следовательно
$\sqrt{D}$, $\sqrt{D_1}$ -рациональные числа, следовательно
$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ -рациональные числа

[Elfhybr]

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Здравствуйте, Наталья! Вы по-прежнему в боевом строю, в прекрасной форме! Великолепно!
Вопрос: разве в знаменитых заметках на полях "Арифметики" Диофанта Ферма пишет о рациональных числах?
В википедии, например, в формулировке идет речь о целых ненулевых числах...

[natalya_1]

Elfhybr в сообщении #1613354 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Здравствуйте, Наталья! Вы по-прежнему в боевом строю, в прекрасной форме! Великолепно!
Вопрос: разве в знаменитых заметках на полях "Арифметики" Диофанта Ферма пишет о рациональных числах?
В википедии, например, в формулировке идет речь о целых ненулевых числах...

добрый день, спасибо за прекрасные слова! чтобы доказать теорему для всех рациональных чисел, достаточно доказать ее для целых взаимно простых чисел.

[Elfhybr]

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков

Почему одинаковые значения, можете показать?

[natalya_1]

Rak so dna в очередной раз уважительно прошу вас проверить мое "доказательство". Если последний пост правильный, у меня есть разные варианты конца "доказательства". Это один из них:

11.1 $(a^3+b_1^3)(cd-p)-c^2d(a^2+b_1^2)+c^2p(a+b_1)=0$,
$(a^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a^2+b_2^2)-c^2p(a+b_2)=0$,
$b_1=\frac{q}{cd-p}$ , $b_2=\frac{v}{cd-p}$следовательно
$\frac{q^3+a^3(cd-p)^3}{c^2}$ - целое число
$\frac{v^3+a^3(cd-p)^3}{c^2}$- целое число.

11.2 $c^3=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Найдем общий множитель $q+a(cd-p)$ и $a+b$:
$(q+a(cd-p))-(b(cd-p)+a(cd-p))=q-b(cd-p)$.
$(q-b(cd-p))^2=q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$
$(q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)-c^2d(q+b(cd-p))+c^2p(cd-p)=0$следовательно
$\frac{q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2}{c^2}$-целое число

11.3 Найдем общий множитель
$q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$ и $q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2$:
$(q^2-2qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)-(q^2+qb(cd-p)+b^2(cd-p)^2)=-3qb(cd-p)$* следовательно, $a+b$и $q+a(cd-p)$ не имеют общего множителя, аналогично
$a+b$ и $v+a(cd-p)$ не имеют общего множителя.

(*$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{c^4d^2-3b^2(cd-p)^2+2c^2b(cd-p)-4c^2p(cd-p)}}{2(cd-p)}$,
$c$ не делится на $3$)
11.4 Найдем общий множитель $q+b(cd-p)$, $v+b(cd-p)$ и $c$:
$(q+a(cd-p))-(v+a(cd-p))=q-v$, $(q-v)^2=q^2-2qv+v^2$.
$\frac{q^2+qv+v^2}{c^2}$ -целое число,
$(q^2-2qv+v^2)-(q^2+qv+v^2)=-3qv$ следовательно $q+a(cd-p)$ и $v+a(cd-p)$ не имеют общего множителя одновременно друг с другом и с $c$.

12.1$(a+b_1)(a^2-ab_1+b_1^2)(cd-p)-c^2d(a^2+b_1^2)+c^2p(a+b_1)=0$,
$(a+b_2)(cd-p)(a^2-ab_2+b_2^2)(cd-p)-c^2d(a^2+b_2^2)-c^2p(a+b_2)=0$, следовательно
$\frac{c^2d(cd-p)}{q+a(cd-p)}$ -целое число,
$\frac{c^2d(cd-p)}{v+a(cd-p)}$ -целое число.

12.2$c^2d=(a+b)(c^2-(a^2+b^2)+ab)$, $a^2+b^2>c^2$,
$q+a(cd-p)$ и $v=a(cd-p)$ не имеют общего множителя с $a+b$, следовательно
$\frac{(c^2-(a^2+b^2)+ab)(cd-p)^2}{(q+a(cd-p))(v+a(cd-p))}$ -целое число, следовательно
$(q+a(cd-p))(v+a(cd-p))<a(cd-p)b(cd-p)$.

но $a(cd-p)<q+a(cd-p)$, $b(cd-p)<a+v(cd-p)$ -


Мы пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах
Теорема доказана.

[пианист]

(Оффтоп)

natalya_1 в сообщении #1613630 писал(а):

прошу вас проверить мое "доказательство"

Если что, форум для переписки между двумя пользователями поддерживает механизм отправки личных сообщений. Нажимаете кнопочку с надписью "ЛС" под любым сообщением того пользователя, мнение которого Вас интересует, дальше там все понятно.

[Elfhybr]

natalya_1 в сообщении #1613630 писал(а):

Мы пришли к противоречию.
Значит, наше первоначальное предположение было ошибочно. уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах
Теорема доказана.

Наталья, а на второй степени вы не пробовали своё доказательство?

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$

Мне кажется, вы запутались в собственных обозначениях. Должно быть:

$a_2'=2h-b_1$, $b_1'=2h-a_2$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b=c-a'$, $b'=c-a$

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,

Почему $(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$ ?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1613744 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

7. $a_2=2h-b_1$, $a_2'=2h-b$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b_1=c-a'$, $b_1'=c-a$

Мне кажется, вы запутались в собственных обозначениях. Должно быть:

$a_2'=2h-b_1$, $b_1'=2h-a_2$,
$b_2=c-a_1'$, $b_2'=c-a_1$,
$b=c-a'$, $b'=c-a$

вы, как всегда, правы, это я проверяла другой вариант и ошибочно его записала

Rak so dna в сообщении #1613744 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1613300 писал(а):

$(b_2'-b_1')-(b_2-b_1)=a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$,

Почему $(a_2+b_1-2h)-(a_1+b_2-c)=0$ ?

потому что я опять ошиблась, а вы опять быстро нашли ошибку....
$a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=a_2-a_1+3k-3h-c+a_1'+2h-a_2'=(a_1'-a_1)-(a_2'-a_2)$
я опять не доказала то, что мне надо

[Elfhybr]

natalya_1 в сообщении #1613746 писал(а):

потому что я опять ошиблась, а вы опять быстро нашли ошибку....
$a_2-a_1+3k-3h-b_2+b_1=a_2-a_1+3k-3h-c+a_1'+2h-a_2'=(a_1'-a_1)-(a_2'-a_2)$
я опять не доказала то, что мне надо

Наталья, мне кажется, вы зря не прислушиваетесь к моему совету попробовать свой метод на второй степени, там будет всё попроще и понятнее в том ли направлении вы идете..