Ориентируемость гиперповерхности

[Gg322]

Пусть $S$ гладкая гиперповерхность в $\mathbb{R}^n$ и на $S$ задано непрерывное поле нормалей, тогда $S$ ориентируема(атлас согласованный, т.е. якобиан перехода между любыми картами положительный).
Как можно доказать это утверждение?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- а что предлагается обсудить? Доказать приведенное утверждение? Проверить Ваше доказательство? Еще что-то?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: не указана.

[пианист]

Задайте карты координатами из $\mathbb{R} ^n$, посмотрите, как выглядит склеивание нормали на пересечении карт, и как выглядит склеивание ориентации.

[svv]

Gg322 в сообщении #1613469 писал(а):

Пусть $S$ гладкая гиперповерхность в $\mathbb{R}^n$ и на $S$ задано непрерывное поле нормалей, тогда $S$ ориентируема (атлас согласованный, т.е. якобиан перехода между любыми картами положительный).

Уточню, тогда существует согласованный атлас на $S$ (а не любой атлас $S$ согласован). Это надо доказать.

[Gg322]

В каждой точке поверхности карты определяют касательное пространство. Сделаем так, чтобы система векторов $(n,\xi_{1},...,\xi_{n-1})$ была положительно ориентирована(меняя местами порядок если нужно), где $n$ - нормаль к поверхности, $\xi_{i}$ - касательные единичные векторы к координатной кривой в точке.Система $(\xi_{1},...,\xi_{n-1})$ тоже положительно ориентирована(вроде можно так сделать), т.е. карта задающая эту систему имеет положительный Якобиан. Из этих измененных карт получим новый атлас. В этом атласе все карты имеют положительный Якобиан, поэтому они согласованы.

[svv]

Да, верно (я сам рассуждал точно так же).