Чему равен sqrt(-256)? +-16i или 16i?

[toreto]

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, а чему равен $\sqrt{-256}$? Можно ли сказать, что $\sqrt{-256}=16i$ или правильным вариантом будет $\sqrt{-256}=\pm 16i$? Или обе записи допустимы?

[mihaild]

Зависит от точного определения $\sqrt$. В большинстве случаев лучше либо писать $\pm 16 i$, либо не писать таких выражений вообще.

[toreto]

Спасибо за ответ. А можно сказать, что назовем $\sqrt{-256}$ такое число $x$ (то есть $\sqrt{-256}=x$), что $x^2=-256$, потому нам подойдет $x=\pm 16i$, а значит $\sqrt{-256}=\pm 16i$ или это будет все-таки неверно?

[Утундрий]

toreto
За семь лет не дойти от комбинаторики до комплексных чисел - это ещё суметь надо. Поделитесь опытом?

[Mikhail_K]

toreto в сообщении #1612806 писал(а):

А можно сказать, что назовем $\sqrt{-256}$ такое число $x$ (то есть $\sqrt{-256}=x$), что $x^2=-256$, потому нам подойдет $x=\pm 16i$, а значит $\sqrt{-256}=\pm 16i$

Да, так и есть.

[toreto]

Утундрий в сообщении #1612807 писал(а):

Поделитесь опытом?

Учиться я перестал, но любопытство осталось=)

-- 07.10.2023, 12:57 --

Mikhail_K в сообщении #1612811 писал(а):

Да, так и есть.

Спасибо

[Rak so dna]

toreto в сообщении #1612794 писал(а):

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, а чему равен $\sqrt{-256}$? Можно ли сказать, что $\sqrt{-256}=16i$ или правильным вариантом будет $\sqrt{-256}=\pm 16i$? Или обе записи допустимы?

ИМХО лучше так не писать, поскольку знак радикала используется для обозначения арифметических корней, а они являются однозначными функциями. Иначе под записью $\sqrt[3]{-1}$ вам придётся понимать три числа (две записи): $-1,~\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$. И скорее всего возникнет путаница, особенно когда вы захотите использовать знак радикала в его привычном смысле.

[Ende]

Утундрий в сообщении #1612807 писал(а):

За семь лет не дойти от комбинаторики до комплексных чисел - это ещё суметь надо. Поделитесь опытом?

Давайте без личных выпадов. Каждый, кто знакомится с математикой в свое личное время, имеет право делать это в любом объеме и порядке.

[toreto]

Rak so dna в сообщении #1612840 писал(а):

Иначе под записью $\sqrt[3]{-1}$ вам придётся понимать три числа (две записи): $-1,~\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$. И скорее всего возникнет путаница, особенно когда вы захотите использовать знак радикала в его привычном смысле.

А как тогда правильно обозначить комплексный корень без использования знака радикала? $(-256)^{\frac12}$? Но ведь можно сказать, что $a^p$ определено только для неотрицательных чисел, а потому нельзя использовать такую запись. Да и будет ли выполняться равенство такого вида $(-1)^{\frac13}=(-1)^{\frac26}$?

[Rak so dna]

В вашем случае, если вы решаете уравнение $x^2+256=0,$ каждая ветвь квадратного корня выражается через арифметический квадратный корень: $x_{1,2}=\pm i\sqrt{256}.$

В некоторых случаях, например как в формуле Кардано, конечно можно использовать радикалы в смысле комплексных корней, но тогда нужно строго отдавать себе отчёт, что, например, запись $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ обозначает сразу $9$ чисел. Ну и всякие полезные упрощения типа $\sqrt[3]{1}=1$ уже перестают быть корректными. В общем, без крайней необходимости (опять же ИМХО), лучше не использовать радикалы для обозначения многозначных функций.

[Mikhail_K]

Rak so dna в сообщении #1612840 писал(а):

ИМХО лучше так не писать, поскольку знак радикала используется для обозначения арифметических корней, а они являются однозначными функциями.

В комплексном анализе знак радикала используется для обозначения комплексного корня (многозначного), а не для арифметического. Так что писать так можно.

Rak so dna в сообщении #1612840 писал(а):

Иначе под записью $\sqrt[3]{-1}$ вам придётся понимать три числа (две записи): $-1,~\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$.

Да, так и есть. Из контекста чаще всего понятно, имеется ли в виду арифметический корень или комплексный.

[Rak so dna]

Mikhail_K в сообщении #1612861 писал(а):

Так что писать так можно.

Можно. Людям которые чётко понимают что делают. Иначе можно получить нечто подобное: $\sqrt{2}=\pm\sqrt{2}$

[Dedekind]

Rak so dna в сообщении #1612859 писал(а):

В общем, без крайней необходимости (опять же ИМХО), лучше не использовать радикалы для обозначения многозначных функций.

Я думаю, вопрос был в том, а что же тогда использовать вместо радикалов?

[Doctor Boom]

toreto
Кстати, в комплескном случае нельзя из двух корней выделить условно "положительный" и "отрицательный", в отличии от вещественного случая (но если очень хочется, можно сделать разрез, обычно по отриц. вещ. оси, но тогда теряется непрерывность)

Mikhail_K в сообщении #1612861 писал(а):

Из контекста чаще всего понятно, имеется ли в виду арифметический корень или комплексный

Да ладно, а если там мешанина из ариф. и алг. корней?

-- 07.10.2023, 17:49 --

Dedekind в сообщении #1612865 писал(а):

Я думаю, вопрос был в том, а что же тогда использовать вместо радикалов?

Дык уже ответили, степени

[toreto]

Doctor Boom в сообщении #1612866 писал(а):

Дык уже ответили, степени

Степени такого вида?))) $(-1)^{\frac13}=(-1)^{\frac26}$?