вопросы о dx и функ. от pi переменных

[Дмитрий-1980]

Гм, ну и как оно выглядит?

[Brukvalub]

Дмитрий-1980 в сообщении #161227 писал(а):

Гм, ну и как оно выглядит?

Это вопрос в раздел "помогите решить - разобраться".
Кстати, интересный у Вас, Дмитрий-1980, подход к делу: "а давайте поспорим о том, о чем я ничего не знаю"

[Дмитрий-1980]

Однако, меня это задело.

Привожу определения и теоремы из главы 8 Фихтенгольца т 2.

Опр.1 Функция F(x) в данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом.

Теорема. Если в некотором промежутке функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C так же будет первообразной. Каждая функция, первообразная для f(x), может быть представленна в виде F(x)+C.

Опр. 2. Выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается \int\ f(x) dx

Следствие \int\ dF(x) = F(x) +C

Далее из главы 10, параграф 4.

y' = f(x) => y = \int\ f(x) dx + C
Далее в сноске: под символом \int\ f(x)dx будем понимать определенную первообразную, так что символ интегрирования в этот символ не включаем и будем писать ее отдельно.
Рассмотрим выражение P(x)dx +Q(y)dy = 0 Первое слагаемое дифференциал функции \int\ P(x) dx, второе - дифференциал функции \int\ Q(x) dx. Таким образом, первоначальное выражение P(x)dx +Q(y)dy - есть диффференциал суммы этих двух функций. так как он равен нулю, то
\int\ P(x)dx+\int\ Q(x)dx = C.

Далее записано, что как правило при решении уравнений с разделяющимися переменными поступают так как было записано мной выше. при этом однако не выделяют подробно три константы, а сразу пишут одну суммарную.

И что же здесь неверно?

[Someone]

Дмитрий-1980 писал(а):

Однако, меня это задело.

Привожу определения и теоремы из главы 8 Фихтенгольца т 2.

Опр.1 Функция F(x) в данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом.

Теорема. Если в некотором промежутке функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C так же будет первообразной. Каждая функция, первообразная для f(x), может быть представленна в виде F(x)+C.

Опр. 2. Выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается \int\ f(x) dx

Другими словами: неопределённый интеграл функции $f(x)$ на некотором промежутке - это множество всех её первообразных на этом промежутке.

Дмитрий-1980 писал(а):

Далее из главы 10, параграф 4.

y' = f(x) => y = \int\ f(x) dx + C
Далее в сноске: под символом \int\ f(x)dx будем понимать определенную первообразную, так что символ интегрирования в этот символ не включаем и будем писать ее отдельно.

Вы пропустили часть текста сноски. Там написано

Цитата:

В этом параграфе под символом $\int f(x)dx$ мы будем разуметь хотя и произвольную, но определённую первообразную функцию, так что постоянную интегрирования мы в этот символ не включаем и будем писать отдельно.

В этом параграфе (и только в этом) принимается специальное соглашение, удобное для записи решений дифференциальных уравнений. Фактически в этом параграфе $\int f(x)dx$ - не неопределённый интеграл, а некоторая (не фиксированная заранее) первообразная функции $f(x)$.

Дмитрий-1980 писал(а):

И что же здесь неверно?

Ошибка состоит в том, что Вы смешали две разные вещи. Так уж исторически сложилось, что они обозначаются одинаково.

[AD]

Дмитрий-1980 в сообщении #161262 писал(а):

Следствие $\int\ dF(x) = F(x) +C$

В каком смысле тут понимается интеграл? Как интеграл Стилтьеса? Как интеграл дифференциальной формы?

Понимаете, вот я сам Фихтенгольца не читал, но по тем цитатам из него, которыми часто аргументируют свои ответы участники форума, у меня сложилось впечатление, что этот учебник писался еще в то время, когда в обучение студентов математике не входило обязательным образом представление о строгих логических рассуждениях. Так что уточните, пожалуйста, дано ли там ранее определение входящего в эту формулу символа?

[Someone]

AD, здесь $F(x)$ предполагается дифференцируемой функцией, $dF(x)$ - её дифференциал (поскольку ни в каком другом смысле этот символ не употреблялся), а интеграл - множество первообразных. Ничего другого здесь не ищите.

Трёхтомник Фихтенгольца - чрезвычайно подробный курс математического анализа, и этим он мне нравится, но особой строгости от него не требуйте. Чего стоит только понятие варианты, которое там используется...

[Brukvalub]

Почувствуйте разницу:

Дмитрий-1980 в сообщении #161219 писал(а):

Вас не устраивает, что неопределенные интегралы от равных функций равны между собой? Ну вообще-то они равны с точностью до константы

Дмитрий-1980 в сообщении #161262 писал(а):

Однако, меня это задело.

Привожу определения и теоремы из главы 8 Фихтенгольца т 2.

Опр.1 ФункцияF(x)в данном промежутке называется первообразной функцией для функцииf(x), если во всем этом промежуткеf(x) является производной для функцииF(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом.

Теорема. Если в некотором промежутке функцияF(x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C так же будет первообразной. Каждая функция, первообразная дляf(x), может быть представленна в видеF(x)+C.

Опр. 2. ВыражениеF(x)+C называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается\int\ f(x) dx
Следствие \int\ dF(x) = F(x) +C

Вы даже про промежуток в своих рассуждениях не упомянули, не говоря уж о том, что нигде не разъяснили Вашего понимания неопределенного интеграла...

[Дмитрий-1980]

Someone писал

Цитата:

Фактически в этом параграфе - не неопределённый интеграл, а некоторая (не фиксированная заранее) первообразная функции

Другими словами, он взял частный случай неопределенного интеграла с константой равной нулю, правильно?

Объясните, если не затруднит, как фихтенгольц получил формулу (2): (стр.244)
y=\int\ f(x)dx + c
Почему в одном случае он рассматривает множество первообразных, а в другом явно выделяет константу. Странно это! Все должно быть одинаково: если слева выделели константу, то и справа выделили константу.

Вот рассмотрим общий вид неопределенного интеграла.
\int\ dy = y-c_1, \int\ f'(x)dx = f(x)+c_2, y-c_1 = f(x) +c_2

Против этой записи я вижу два возражения: имеются две произвольные константы, которые в принципе могут быть такими, что равенство не выполняется. Более того, нет, мне кажется, никаких дополнительных возможностей, типа начальных условий в дифференциальных уравнениях, определить эти две константы по отдельности .

Но зачем их рассматривать по отдельности. Можно положить c_1 = 0 или перейти к третьей константе c_3 = c_2+c_1.

Хотя конечно самое нормальное доказательство - на стр 246 гл10 п358.

Добавлено спустя 17 минут 3 секунды:

To Brukvalub
мда пожалуй я погоричился! [/math][/b]

[shwedka]

Вот для размышления пример, которым я своих шведских студентов обескураживаю.
возьмем $f(x)=\frac{1}{x}$ на множестве (-1,1) .
если посчитать по-честному, то получается что первообразная будет зависить от ДВУХ !!! произвольных констант,
$\int f(x)dx=\log |x|+C_+,\, x>0$, $\int f(x)dx=\log |x|+C_-,\, x<0$.
фишка здесь, конечно, в том, что подынтегральная функция и первообразная не определены в точке ноль, поэтому у нас не один, а два интервала, $(-1,0)\cup(0,1)$,со своими константами. Серьезные учебники, Фихтенгольц, скажем, не забывают указать на то, что формулы для первообразной верны для ОДНОГО интервала, а не для нескольких. Студенты, однако, на это внимание не обращают. Гораздо безнадежнее ситуация в нерусскоязычном преподавании. Скажем, по-шведски
в соответствующей формулировке пишется ett intervall, и словечко ett может вольным образом интерпретироваться как неопределенный артикль со смыслом 'некоторый', так и как числительное 1. Если студенту не подсказать, то он числительное значение не заметит. Подобные безобразия имеют место и по-немецки, и по-французски. По-английски, к счастью, числительное с артиклем не совпадают, но студенты с тем же успехом на требование ОДНОГО интервала внимания не обращают.

[arqady]

shwedka, у Вас в Швеции десятичный и натуральный логарифм обозначаются одинаково?

[shwedka]

нет. обозначения как в России.
в жизни не писала и не применяла десятичного логарифма.

[ewert]

В России натуральный логарифм как $\log$ отродясь не обозначался. И не только в России.

[shwedka]

ewert
ошибаетесь, коллега! В научных книгах чаще всего именно $\log$.
И даже в учебниках. Вот, наугад открыла
Ablowitz M., Fokas A. Complex variables. Introduction and applications. 2ed (CUP, 2003) там $\log$.
Greene R.E., Krantz S.G. Function theory of one complex variable (Wiley, 1997)(ISBN 0471804681)(600dpi)(T)(512s) то же самое

И даже в элементарном учебнике анализа
Blatter C., Analysis. tom1 und 2( Springer, 2003 ETHZ)
только $\log$.

Принцип такой. Как только доходит дело до более высокого анализа, то никакой логарифм кроме натурального не нужен (о статистике, информации и т п я не говорю, другой предмет), и $\log$. употребляется вовсю. В статьях Вы редко ln увидите

[Someone]

Дмитрий-1980 в сообщении #161316 писал(а):

Другими словами, он взял частный случай неопределенного интеграла с константой равной нулю, правильно?

Нет. Он специально для данного параграфа переопределил символ $\int f(x)dx$. В этом параграфе данный символ обозначает не неопределённый интеграл, а любую (однако раз и "навсегда" выбранную) первообразную.
Я понимаю, что по отношению к студентам это выглядит нечестным, но так уж сложилось исторически. Не переписывать же из-за этого всю литературу по дифференциальным уравнениям.

[AD]

Вот никогда не понимал, зачем неопределенным интегралом называть множество всех первообразных функции. Это что же, надо говорить, что "$F$ принадлежит неопределенному интегралу $f$"? И, вообще, зачем это надо?