Полиномиальный алгоритм для определителя кубической матрицы

[0101]

Многоуважаемые.
Существует ли полиномиальный алгоритм для определителя кубической матрицы, например типа приведения к треугольному виду методом Гаусса? В https://arxiv.org/pdf/2307.00775.pdf определитель кубической матрицы 3-го порядка описывается так
$\det(A_{3\times3\times3})=$
$a_{111}\, (a_{222}\, a_{333}\, -\, a_{232}\, a_{323}\, -\, a_{223}\, a_{332}\, +\, a_{233}\, a_{322})+ a_{112}\, (-\,a_{221}\, a_{333}\, +\, a_{223}\, a_{331}\, +\, a_{231}\, a_{323}\, -\, a_{233}\, a_{321})+ a_{113}\, (a_{221}\, a_{332}\, -\, a_{222}\, a_{331}\, -\, a_{231}\, a_{322}\, +\, a_{232}\, a_{321})+ a_{121}\, (-\,a_{212}\, a_{333}\, +\, a_{213}\, a_{332}\, +\, a_{232}\, a_{313}\, -\, a_{233}\, a_{312})+ a_{122}\, ( a_{211}\, a_{333}\, -\, a_{213}\, a_{331}\, -\, a_{231}\, a_{313}\, +\, a_{233}\, a_{311})+ a_{123}\, (-\,a_{211}\, a_{332}\, +\, a_{212}\, a_{331}\, +\, a_{231}\, a_{312}\, -\, a_{232}\, a_{311})+ a_{131}\, (a_{212}\, a_{323}\, -\, a_{213}\, a_{322}\, -\, a_{222}\, a_{313}\, +\, a_{223}\, a_{312})+ a_{132}\, (-\,a_{211}\, a_{323}\, +\, a_{213}\, a_{321}\, +\, a_{221}\, a_{313}\, -\, a_{223}\, a_{311})+ a_{133}\, (a_{211}\, a_{322}\, -\, a_{212}\, a_{321}\, -\, a_{221}\, a_{312}\, +\, a_{222}\, a_{311}) $

[dgwuqtj]

Вот я открыл статью и не понял, почему уже для матриц $2 \times 2 \times 2$ все 6 определений в духе Лапласа совпадают. Должна же быть формула, симметричная относительно перестановок индексов. В формуле (3), скажем, первое слагаемое как будто должно быть отрицательным.

-- 03.10.2023, 11:05 --

К тому же они всё это определяют только для порядков 2 и 3. Для таких штук определитель, как бы его не определили, находится за ограниченное количество арифметических действий. Это лучше полиномиальности!

[0101]

Получение определителя для обычной квадратной матрицы после приведения к треугольному виду можно ведь проиллюстрировать на матрице 3-го порядка? А почему нельзя это сделать для кубической матрицы, если такое есть? А статья хотя бы некоторую наглядность предоставляет, литератураы мало нашлось.

[Geen]

0101 в сообщении #1612611 писал(а):

А почему нельзя это сделать для кубической матрицы

А необходимые для этого свойства этого "определителя" выполняются?

[0101]

Так в том и вопрос, если ли что-то аналогичное полиномиальному алгоритму получения определителя квадратной матрицы для кубической матрицы. А иллюстрировать наверное удобнее на малом порядке.

[Geen]

0101 в сообщении #1612613 писал(а):

Так в том и вопрос

Ну так проверьте эти свойства.

[dgwuqtj]

Вопрос в том, что такое вообще определитель кубической матрицы. У квадратных есть несколько равносильных определений с хорошими свойствами. А для кубических я ни одного не видел, не важно, с хорошими свойствами или не очень.

[worm2]

Нашёл статью об определителях кубических матриц:
http://hypercomplex.info/articles/752/ru/pdf/01_hngp22_galmak.pdf

Как интересно: есть несколько разных определений определителей, но ни словом не сказано о том, как можно было бы определить умножение кубических матриц.
У меня тоже ничего не получилось.

Ну и, конечно, вопрос о "физическом смысле" всего этого встаёт. Всё-таки квадратные матрицы весьма серьёзно обоснованы физически.

[Geen]

worm2 в сообщении #1612666 писал(а):

как можно было бы определить умножение кубических матриц.

Поэлементно

worm2 в сообщении #1612666 писал(а):

Ну и, конечно, вопрос о "физическом смысле" всего этого встаёт.

Ну я бы переформулировал: а зачем это ТС?

[mihaild]

Может быть тут нужно говорить не о многомерных матрицах, а о тензорах? Тензоры типа $(r, r)$ понятно как умножать. Будет определение по крайней мере для четного ранга.

[Утундрий]

Geen в сообщении #1612667 писал(а):

зачем это ТС?

И это заодно: «Сумма всех определителей порядка mxm матрицы mxn, m<n»

[0101]

worm2 в сообщении #1612666 писал(а):

Нашёл статью об определителях кубических матриц:
http://hypercomplex.info/articles/725/ru/pdf/01_hngp22_galmak.pdf

Там упоминается хорошая книжка Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения М., Наука, 1960 http://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Sokolov1960ru.pdfТам на стр. 20 определение кубического детерминанта сигнатуры - это оно. А у Гальмака нечто иное

Цитата:

Сравнивая приведенные выше определения определителей из [1] с определением кубических детерминантов из [2, 3], видим, что определители из [1] и кубические детерминанты из [2, 3] – это совершенно разные понятия.

[Geen]

0101 в сообщении #1612775 писал(а):

определение кубического детерминанта сигнатуры - это оно.

А как Вы узнали, что это оно?
И приведите, пожалуйста, это определение здесь.

[0101]

Определение можно в книге Соколова прочитать.http://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Sokolov1960ru.pdf
Похоже, по поводу полиномиального алгоритма получения определителя (согласно книге Соколова) кубической матрицы в общем виде трудно выразить оптимизм. Однако полиномиальный алгоритм проверки на равенство 0 вышеупомянутого определителя скорее всего существует.

Цитата:

Свойство IX. Если одно из сечений (простых) какой-нибудь ориентации в многомерным детерминанте есть линейная комбинация его других сечений той же ориентации, то детерминант будет равен нулю, если ориентация - альтернативная, и не будет необходимо равным нулю, если ориентация - неальтернативная.