Доказать равномерную сходимость

на множестве

,

.
Тут по идее нужно по признаку Вейерштрасса, то есть оценкой (задача в такой категории живет, хотя точно это не указано).
Чтобы оценить, я пытаюсь сравнить:

что приводит к:

Очень бы хотелось, чтобы было

, чтобы упростить все это. Тогда я говорю, что на сходимость интеграла не влияет, с какой точки его брать, и будем рассматривать интеграл от

до

(вот здесь я к своему стыду не совсем уверен... вроде из определения очевидно следует, что слева можно интеграл как угодно обрезать, как с рядами, условно говоря; но что-то меня эти задачи исторически обошли стороной и я сомневаюсь). Получается, что для такого интеграла можно оценить подынтегральное выражение сверху

, а интеграл от такой функции в заданных пределах сходится.
Вопрос, правилен ли мой подход и можно ли сделать проще и очевиднее?