Равномерная сходимость несобств. интеграла

[artempalkin]

Доказать равномерную сходимость

$\int\limits_0^{\infty}\frac x{1+(x-\alpha)^4}dx$ на множестве $\alpha\in(-\infty,a)$, $a>0$.

Тут по идее нужно по признаку Вейерштрасса, то есть оценкой (задача в такой категории живет, хотя точно это не указано).

Чтобы оценить, я пытаюсь сравнить:

$$\frac x{1+(x-\alpha)^4}\leqslant\frac x{1+(x-a)^4},$$

что приводит к:

$$(\alpha-a)(2x-a-\alpha)\leqslant0.$$

Очень бы хотелось, чтобы было $2x\geqslant \alpha+a$, чтобы упростить все это. Тогда я говорю, что на сходимость интеграла не влияет, с какой точки его брать, и будем рассматривать интеграл от $a$ до $+\infty$ (вот здесь я к своему стыду не совсем уверен... вроде из определения очевидно следует, что слева можно интеграл как угодно обрезать, как с рядами, условно говоря; но что-то меня эти задачи исторически обошли стороной и я сомневаюсь). Получается, что для такого интеграла можно оценить подынтегральное выражение сверху $\frac x{1+(x-\alpha)^4}dx\sim\frac1{x^3}$, а интеграл от такой функции в заданных пределах сходится.

Вопрос, правилен ли мой подход и можно ли сделать проще и очевиднее?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1612526 писал(а):

на сходимость интеграла не влияет, с какой точки его брать

На сходимость не влияет, а вот на равномерную сходимость влияет - Ваши рассуждения сразу доказывают равномерную сходимость на $\alpha \in \mathbb R$, которой нет.

Но да, рассуждения примерно такие. $\int_0^\infty \frac{x}{1 + (x - \alpha)^4}\, dx = \int_0^{2 a} \frac{x}{1 + (x - \alpha)^4}\, dx + \int_{2 a}^\infty \frac{x}{1 + (x - \alpha)^4}\, dx < 4a^2 + \int_{2 a} ^\infty \frac{x}{1 + (x / 2)^4}\, dx$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1612531 писал(а):

На сходимость не влияет, а вот на равномерную сходимость влияет - Ваши рассуждения сразу доказывают равномерную сходимость на $\alpha \in \mathbb R$, которой нет.

Да, я привык к некоторым неожиданностям, поэтому себя обезопасил, но все же я не до конца понял, почему влияет...

То есть я не могу сказать, что вот эти интегралы: $\int\limits_0^{\infty}\frac x{1+(x-\alpha)^4}dx$ и $\int\limits_{2a}^{\infty}\frac x{1+(x-\alpha)^4}dx$ на $\alpha\in(-\infty,a)$ либо оба одновременно равномерно сходятся, либо оба одновременно сходятся неравномерно?

[mihaild]

А, пардон, у Вас обрезание не зависит от параметра. Так можно, да. Потому что в равномерной сходимости требуется, чтобы интеграл по достаточно далекому лучу был равномерно мал, а для этого достаточно ограничиться лучами, которые полностью попадают в обрезанную часть.