Бьют двое часов

[EUgeneUS]

ozheredov в сообщении #1611240 писал(а):

Памагити, ибо туплю

Двое часов с боем. Каждые из них делают бом-бом однаковое количество раз - столько, сколько случилось часов (от 1 до 12 вообще-то).
Если бом-бом происходит в одну и ту же секунду у двух часов, то считается за один бом-бом. А если в разные - то каждый считается отдельно.

-- 25.09.2023, 12:48 --

Gepidium
Три варианта составления уравнения.

1.
а) Всего часы ударят $2x$ раз, где $x$ - количество часов.
б) Но с самого первого удара считать не удобно, будет считать со второго. ($2(x-1)$)
в) В таком случае нам нужно вычеркнуть каждый третий удар быстрых часов $3, 6, 9 .... 3k$
г) а потом не забыть добавить самый первый:

Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2(x-1) - \left\lfloor \frac{x-1}{3} \right\rfloor + 1$

2.
а) Всего часы ударят $2x$ раз
г) Но нам надо вычеркнуть удары быстрых часов с номерами $1, 4, 7, ... 3k+1$
в) Их можно вычернуть таким способом: $\left\lfloor \frac{x+2}{3} \right\rfloor$

Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2 x - \left\lfloor \frac{x+2}{3} \right\rfloor$

3.
а) Всего часы ударят $2x$ раз
г) Но нам надо вычеркнуть удары быстрых часов с номерами $1, 4, 7, ... 3k+1$
в) Удары с номерами $4, 7, ... 3k+1$ можно вычернуть таким способом: $\left\lfloor \frac{x-1}{3} \right\rfloor$
д) И еще нужно отнять единицу, чтобы вычесть самый первый удар.

Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2 x - \left\lfloor \frac{x-1}{3} \right\rfloor -1$

[ozheredov]

EUgeneUS

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

Two clocks began to strike simultaneously

То есть в нулевой момент времени уже произошел этот merged strike. Далее, как я понимаю, ситуация ветвится следующим образом: если now по крайней мере 4 часа, то следующий merged strike случится через 6 сек; если меньше, то не случится вообще. См. схему

CLOCK1: 1__2__4__6
CLOCK2: 1____3___6
PAIRED? y__n n n__y

При этом к шестой секунде мы услышим 3 неспаренных удара и два спаренных, т.е. 5. А по условию 18, с запасом. Что не так?

[EUgeneUS]

ozheredov в сообщении #1611247 писал(а):

А по условию 18, с запасом. Что не так?

Причем тут какой-то "запас"?
Насчитали 18 ударов (как считали - Вы, вроде бы, поняли правильно) и всё, бом-бом прекратился.
Вопрос - сколько время? То есть, который час отбили часы?

[ozheredov]

EUgeneUS

Пусть количество часов - $h$; первые часы отбили $h$ ударов, при этом внутри каждого 6-тисекундного сегмента слышно 3 удара от вторых часов. То есть

$$18 = h + 3\text{floor}(\frac{h}{6}) + \text{rem}(h, 6) - 1$$

floor - округление до целого снизу, rem - остаток от деления.

[EUgeneUS]

ozheredov
в четыре часа Ваша формула даёт ошибку. У Вас - семь ударов, а д.б. шесть.

-- 25.09.2023, 13:21 --

Кстати, Ваша формула немонотонна, что вообще ни в какие ворота

[ozheredov]

EUgeneUS в сообщении #1611255 писал(а):

Ваша формула немонотонна

Почему она немонотонна? (что неверна - согласен)

-- 25.09.2023, 14:04 --

EUgeneUS в сообщении #1611255 писал(а):

д.б. шесть

Должно быть разве не 5?

CLOCK1: 1__2__4__6
CLOCK2: 1____3___6
PAIRED? y__n n n__y

P.S. Допустим, после бесчисленных подталкиваний я получил правильное уравнение $f(h)=18$ и даже после према курса таблеток нашел из него $h$. Как это помогает понять условие задачи, которое я понял очевидно неверно.

[Gepidium]

Shadow в сообщении #1611258 писал(а):

Конечно, в $n$ часов общее число ударов будет $2n$. Из них "спаренные" будут бсе кратные шести, но только до окончание "быстрого": $\left\lfloor \dfrac{2(n-1)}{6}\right\rfloor+1$
Или
$2n-\left\lfloor \dfrac{n-1}{3}\right\rfloor-1=18$

Shadow
Точно, я разобралась. И из Вашей формулы получается $n=11$.
А если рассуждать так:
Пусть
x - время (и количество ударов);
у - количество пропущенных ударов (которые мы не слышали).

Тогда получаем $2x-y=18$.
Кроме того, мы знаем, что мы не слышим каждый 5-ый удар (начиная c первого). Это значит, что для 18 ударов мы не услышали 4 ударов (1-й, 6-й, 11-й и 16-й).

Следовательно, в нашем случае $y=4$, и значит $x = 11$
Так правильно?

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1611267 писал(а):

Тогда получаем $2x-y=18$.
Кроме того, мы знаем, что мы не слышим каждый 5-ый удар (начиная c первого). Это значит, что для 18 ударов мы не услышали 4 ударов (1-й, 6-й, 11-й и 16-й).

Следовательно, в нашем случае $y=4$, и значит $x = 11$
Так правильно?

Да, для Вашего частного случая формула верна.
Но... маленькая поправка. Примите во внимание, что $y$ принимает значение не более $4$, т.e. 21-й удар мы уже слышим, т.e. для времени $x=12$ Ваша формула не работает.

[EUgeneUS]

ozheredov в сообщении #1611262 писал(а):

Почему она немонотонна?

Такова природа вещей.

ozheredov в сообщении #1611262 писал(а):

Должно быть разве не 5?

Нет. Вы не досчитали. Если часы бьют 4 часа, то каждые часы из двух бьют четыре раза. А Вы посчитали четыре удара у одних и три удара у других (два сдвоенных).

-- 25.09.2023, 14:38 --

Gepidium в сообщении #1611267 писал(а):

Кроме того, мы знаем, что мы не слышим каждый 5-ый удар (начиная c первого). Это значит, что для 18 ударов мы не услышали 4 ударов (1-й, 6-й, 11-й и 16-й).

Удобнее рассуждать так: удары медленных часов мы слышим все, а удары быстрых часов не слышим, если они совпадают с ударами медленных.
Тогда получается, что мы не слышим каждый третий удар быстрых часов. Остаётся только аккуратно учесть сдвиг: если нумеровать удары быстрых часов мы не слышим удары с номерами $1, 4, 7, ... 3k+1$, нужно аккуратно посчитать их количество для $3k+1 \le x$

[Gepidium]

EUgeneUS в сообщении #1611273 писал(а):

Удобнее рассуждать так: удары медленных часов мы слышим все, а удары быстрых часов не слышим, если они совпадают с ударами медленных.
Тогда получается, что мы не слышим каждый третий удар быстрых часов.

Согласна.
TOTAL, Shadow, EUgeneUS, огромное спасибо.
Вроде с виду простая задачка, а вон сколько времени потратили на обсуждение!

-- 25.09.2023, 15:02 --

Shadow в сообщении #1611224 писал(а):

Может кто нибудь переведет условие на русском?

Я думаю, что условие уже все поняли, но если у кого-то остались непонятки, перевожу на русский.
Имеются двое часов. Они начали бить одновременно.
Удары первых часов следуют друг за другом через 2 секунды, а вторых - через 3 секунды.
Сливающиеся удары обоих часов воспринимаются как один удар.
В котором часу это произошло, если всего послышалось 18 ударов.

[Doctor Boom]

У меня вышло 27 секунд. Действительно, каждые 4 услышанных удара отмеряют 6 секунд, а каждый второй после серии из четырех 3 секунды

-- 25.09.2023, 15:15 --

Ой, там немного другое найти надо

[ozheredov]

EUgeneUS

Ой, внезапно меня торкнуло:

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

At what time has this happened, if a total of 18 strikes were heard?

В задаче спрашивается, который был час, если мы услышали 18 ударов. То есть случилось не совпадение 2-х ударов, а появление всех 18-ти.

Gepidium в сообщении #1611278 писал(а):

огромное спасибо

Вам тоже спасибо, что в будущем перестанете игнорить просьбы прояснить условие собственной задачи.

Gepidium в сообщении #1611278 писал(а):

перевожу на русский

Ваш перевод на русский никому не сдался - как не было понятно в оригинале, что именно ЭТО должно произойти: появиться сливающаяся пара ударов или наступить час, в начале которого мы услышим 18 ударов, так и осталось непонятным в переводе.

[Doctor Boom]

Можно вообще устно. Первый общий удар выносим за скобку, т.е. имеем 17 ударов + каждый третий удар быстрых неслышым. Первое приближение - пусть все удары слышны, тогда округляя до 18 быстрые и медленные отбили бы по 9 ударов, но т.к. каждый третий неслышим, то мы бы насчитали 15 ударов. Как 15 дополнить до 17? Добавить по одному удару быстрым (он будет сдышимым) и соответственно медленным. Тогда имеем, что каждые часы отбили по 10 ударов + 1 вынесенный за скобку удар. Итого 11 часов

[Doctor Boom]

А можно еще проще. При увеличении значения времени на один час общее число ударов меняется как $1+2+2+1+2+2+1+...$, т е. первый удар за скобку, имеем $17=3\cdot 5 +2$, а значит сейчас $1+3\cdot 3+1=11$ часов

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1611244 писал(а):

Три варианта составления уравнения.

И все три это $n(x)$, а надо бы $x(n)$