Бьют двое часов

[Gepidium]

Здраствуйте.
Решала интересную задачу из сборника. Вот оригинал:

Collection of problems in advanced mathematics, Technion, 2011 писал(а):

Problem 5.21
Two clocks began to strike simultaneously. The strikes of the first clock follow each other after $2$ seconds, and of the second after $3$ seconds. The merged strikes are perceived as one.
At what time has this happened, if a total of 18 strikes were heard?

Решила перебором, он здесь несложный. Использовала вот такую схемку:

удары:

1 ___ 2 ___ 3 ___ 4 ___ 5 ___ 6 ___ 7 ___ 8 ___ 9 __ 10 __ 11
1 ______ 2 _____ 3 ______ 4______ 5 ______ 6_____ 7 ______ 8 ______ 9 ______ 10 _____ 11


считаем:

1 ___ 2 _ 3 _ 4 _ 5 ___ 6 _ 7 _ 8 ___ 9 __ 10 11 12 _ 13 __ 14 15 _____ 16 ______ 17 _____ 18

Получилось, что это было в $11$ часов.
Но это решение какое-то корявое. Можно ли свести решение задачи, скажем к диофантовому уравнению или найти решение, не требующее перебора?

Пробовала решить задачу c помощью уравнения $2x - \left\lfloor {\dfrac{2x}{6}}\right\rfloor - 1 = 18$, где $x$ - количество ударов первых часов. Ho его решение $x=11$ нашла тоже перебором.
Подскажите, как обойтись без перебора?

[EUgeneUS]

Представим $x$, как $x = 3k +l$, где $k \in \mathbb{N} \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace, l \in \left\lbrace 0, 1, 2 \right\rbrace$

Тогда из Вашего уравнения следует:
$6k + 2l - k - \left\lfloor \frac{l}{3} \right\rfloor = 19$
слагаемое со скобками - ноль, тогда
$5k + 2l = 19$, откуда:

$k = 19 \mod 5 $
$l = (19 - 5 k)/2$

[Gepidium]

EUgeneUS в сообщении #1611204 писал(а):

$l \in \left\lbrace 0, 1, 2 \right\rbrace$

EUgeneUS
Этот момент непонятен. Как-то искусственно. Почему $l$ не может превышать $2$?

[Shadow]

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

Получилось, что это было в $11$ часов.

Я может неправильно интерпретирую условие, но по моему 18-ый удар был на 26-ой секунде. 14 четных (вкл. ноль) и 4 нечетных, кратных трем. Обобщенно:

$\left\lfloor \frac n 2\right \rfloor+\left\lfloor \frac n 3\right \rfloor-\left\lfloor \frac n 6\right \rfloor+1=18$

Gepidium в сообщении #1611210 писал(а):

Этот момент непонятен. Как-то искусственно. Почему $l$ не может превышать $2$?

$l$ - остаток от деления на $3$. Он не может превышать $2$

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

Пробовала решить задачу c помощью уравнения $2x - \left\lfloor {\dfrac{2x}{6}}\right\rfloor - 1 = 18$, где $x$ - количество ударов первых часов. Ho его решение $x=11$ нашла тоже перебором.
Подскажите, как обойтись без перебора?

Уравнение записано неправильно.
Надо $\left\lfloor {\dfrac{x-1}{3}}\right\rfloor = \dfrac{x-1}{3} - t, \;\; 0 \le t < 1$ - вот так будет без перебора

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1611204 писал(а):

откуда:
$k = 19 \mod 5 $

Досадная ошибка в записи Здесь должно быть целочисленное деление, а не взятие модуля.

-- 25.09.2023, 10:55 --

Shadow в сообщении #1611212 писал(а):

Я может неправильно интерпретирую условие, но по моему 18-ый удар был на 26-ой секунде. 14 четных (вкл. ноль) и 4 нечетных, кратных трем. Обобщенно:

$\left\lfloor \frac n 2\right \rfloor+\left\lfloor \frac n 3\right \rfloor-\left\lfloor \frac n 6\right \rfloor+1=18$

$11$ - это верный ответ, а в Вашу формулу он не подходит.
Видимо, Вы не учитываете, что когда "быстрые" часы уже прекратили бить, "медленные" - продолжают, и в этом "хвосте" удары не задваиваются.

-- 25.09.2023, 11:00 --

TOTAL в сообщении #1611213 писал(а):

Уравнение записано неправильно.
Надо $\left\lfloor {\dfrac{x-1}{3}}\right\rfloor = \dfrac{x-1}{3} - t, \;\; 0 \le t < 1$ - вот так будет без перебора

Это не уравнение, это тождество.
Определение округления вниз.

[TOTAL]

EUgeneUS в сообщении #1611215 писал(а):

Это не уравнение, это тождество.
Определение округления вниз.

Здесь указано, что в уравнении неправильно.

[EUgeneUS]

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

Пробовала решить задачу c помощью уравнения $2x - \left\lfloor {\dfrac{2x}{6}}\right\rfloor - 1 = 18$,

Уравнение всё таки записано неверно.
Если часы бьют четыре часа, то будет шесть ударов - четыре одинарных и два сдвоенных, а эта формула даёт ответ пять.

[dgwuqtj]

Можно просто заметить, что бои обоих часов периодичны с периодом $6$ секунд, за период слышно $4$ удара. Так что $n$ ударов будет слышно за $\frac 32 n + r$ секунд, где $r$ зависит только от $n \bmod 4$.

[EUgeneUS]

dgwuqtj
неверно.
Не учитывается, что быстрые часы прекращают быть раньше, чем медленные.

[Shadow]

EUgeneUS в сообщении #1611215 писал(а):

Видимо, Вы не учитываете, что когда "быстрые" часы уже прекратили бить, "медленные" - продолжают

А где в условии написано, что "медленные" останавливаются. Я понимаю условие так: Первые часы бьют каждую вторую секунду $(0,2,4,6\ldots)$, вторые - каждую третью $(0,3,6,9,\ldots)$. Одновременные удары считаются за один. В какой момент был слышен 18-ый удар.

Может кто нибудь переведет условие на русском?

[TOTAL]

Shadow в сообщении #1611224 писал(а):

Может кто нибудь переведет условие на русском?

Количеством ударов часы указывают время.

[Gepidium]

TOTAL в сообщении #1611213 писал(а):

Надо $\left\lfloor {\dfrac{x-1}{3}}\right\rfloor = \dfrac{x-1}{3} - t, \;\; 0 \le t < 1$ - вот так будет без перебора

TOTAL
Что такое $t$ в Вашей формуле?

Shadow в сообщении #1611224 писал(а):

А где в условии написано, что "медленные" останавливаются.

Shadow
Ну понятно же, что каждые часы бьют столько ударов, сколько сейчас времени.
То есть быстрые часы, пробив свои удары, прекращают бой, а медленные - продолжают до тех пор, пока не пробьют положенное количество ударов.

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1611232 писал(а):

TOTAL в сообщении #1611213 писал(а):

Надо $\left\lfloor {\dfrac{x-1}{3}}\right\rfloor = \dfrac{x-1}{3} - t, \;\; 0 \le t < 1$ - вот так будет без перебора

TOTAL
Что такое $t$ в Вашей формуле?

Там написано: $0 \le t < 1$ (дробная часть, если нужно название)

[ozheredov]

Памагити, ибо туплю

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

At what time has this happened

Что именно this должно happen? Merged strike случится ровно через $\text{leastCommonMultiple}(2,3)=6$ секунд. Это очевидно неверно, т.к. а) тривиально и б) не задействует условие

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

a total of 18 strikes were heard

И главное - все всё поняли одновременно и бодро начали решать, один я глазами хлоп-хлоп; вот что значит быть мной