Бьют двое часов

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1611301 писал(а):

И все три это $n(x)$, а надо бы $x(n)$

И что?
"Записать уравнение" не равно "решить уравнение"

[Ende]

ozheredov в сообщении #1611284 писал(а):

Ваш перевод на русский никому не сдался

ozheredov, предупреждение за личные выпады.

[Gagarin1968]

EUgeneUS в сообщении #1611244 писал(а):

Три варианта составления уравнения.
1.
Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2(x-1) - \left\lfloor \frac{x-1}{3} \right\rfloor + 1$

2.
Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2 x - \left\lfloor \frac{x+2}{3} \right\rfloor$

3.
Тогда количество посчитанных ударов:
$n = 2 x - \left\lfloor \frac{x-1}{3} \right\rfloor -1$

EUgeneUS
Блестяще! Все Ваши 3 варианта при $n=18$ дают одно и то же решение $x=11$. 3 разных подхода к решению задачи - чистая педагогика!
ТС должна быть довольна.

[wrest]

$n = \left\lfloor \dfrac53t \right\rfloor$

[Gepidium]

wrest в сообщении #1611330 писал(а):

$n = \left\lfloor \dfrac53t \right\rfloor$

wrest
Как Вы вышли на такую простую форму?

[wrest]

Gepidium в сообщении #1611335 писал(а):

Как Вы вышли на такую простую форму?

"Медленные" часы пробивают $t$ ударов, "быстрые" тоже пробивают $t$ ударов, но треть из них совпадает с ударами "медленных". Это значит, что две трети НЕ совпадают, так что выходит, что всего ударов $n=t+\left \lfloor \dfrac23t \right \rfloor=\left \lfloor\ \dfrac53t \right \rfloor$

Несовпадающие удары "быстрых" часов помечены красными точками, видно что их 2/3 от всех ударов "быстрых" часов.

Ну то есть если вместо того, чтобы вычитать из общей суммы в $2t$ ударов треть тех, что совпали, а пойти другим путём и прибавить к $t$ ударам те две трети что НЕ совпали, то получаются эти пять третей.

P.S. При вычитании надо быть очень аккуратным, т.к. $\lfloor -x\rfloor=-\lceil x \rceil$ и наоборот $-\lfloor x \rfloor=\lceil -x \rceil$, а сложение более "безопасно", т.к. $n+\lfloor x \rfloor=\lfloor n+x \rfloor$ для натурального $n$ и положительного $x$

P.P.S. Хозяйке на заметку. В случае натуральных $k,m$, запись $\lfloor k/m \rfloor$ означает целочисленное деление. Во многих языках программирования эта операция обозначается обратным слешем \ или словом div.

[Gepidium]

wrest, спасибо, всё понятно.

wrest в сообщении #1611336 писал(а):

В случае натуральных $k,m$, запись $\lfloor k/m \rfloor$ означает целочисленное деление.

Вы имеете в виду деление с остатком?

[wrest]

Gepidium в сообщении #1611342 писал(а):

Вы имеете в виду деление с остатком?

Да, при [целочисленном] делении с остатком получается результат из двух чисел: неполное частное и остаток. Так вот $\lfloor k/m \rfloor$ - неполное частное.

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1611335 писал(а):

wrest в сообщении #1611330 писал(а):

$n = \left\lfloor \dfrac53t \right\rfloor$

wrestКак Вы вышли на такую простую форму?

Шли бы своим путём, получили бы явную простую формулу.
$2t - \left\lfloor {\dfrac{t-1}{3}}\right\rfloor - 1 = n \rightarrow 2t - \dfrac{t-1}{3}+ \varepsilon - 1 = n \rightarrow t = \left\lfloor {\dfrac{3n+2}{5}}\right\rfloor$

[Shadow]

wrest в сообщении #1611330 писал(а):

$n = \left\lfloor \dfrac53t \right\rfloor$

Получается верное, но не совсем очевидное тождество:

$t=1+\left\lfloor\dfrac{2t}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{t-1}{3}\right\rfloor$

[Gepidium]

TOTAL в сообщении #1611345 писал(а):

Шли бы своим путём, получили бы явную простую формулу.
$2t - \left\lfloor {\dfrac{t-1}{3}}\right\rfloor - 1 = n \rightarrow 2t - \dfrac{t-1}{3}+ \varepsilon - 1 = n \rightarrow t = \left\lfloor {\dfrac{3n+2}{5}}\right\rfloor$

TOTAL
Так ведь я дошла до этой формулы, но тут появился поручик Ржевский EUgeneUS и увлек меня своей логикой. Нет, она безупречна.
Но, TOTAL, Ваша первоначальная подсказка

TOTAL в сообщении #1611213 писал(а):

Gepidium в сообщении #1611203 писал(а):

Пробовала решить задачу c помощью уравнения $2x - \left\lfloor {\dfrac{2x}{6}}\right\rfloor - 1 = 18$, где $x$ - количество ударов первых часов. Ho его решение $x=11$ нашла тоже перебором.
Подскажите, как обойтись без перебора?

Уравнение записано неправильно.
Надо $\left\lfloor {\dfrac{x-1}{3}}\right\rfloor = \dfrac{x-1}{3} - t, \;\; 0 \le t < 1$ - вот так будет без перебора

показалась мне малопонятной и туманной. И только сейчас я понимаю, что в этой подсказке заключалось все решение целиком.
Спасибо всем.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1611345 писал(а):

получили бы явную простую формулу.
$2t - \left\lfloor {\dfrac{t-1}{3}}\right\rfloor - 1 = n \rightarrow 2t - \dfrac{t-1}{3}+ \varepsilon - 1 = n \rightarrow t = \left\lfloor {\dfrac{3n+2}{5}}\right\rfloor$

Наконец-то прямая формула!
Хорошо бы её доделать так, чтобы по результату было понятно, корректны ли исходные данные (т.е. корректное ли задано число $n$). Ну не знаю, чтобы например формула возвращала отрицательное число если $n$ некорректное, или возвращала нецелое, или типа того.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1611359 писал(а):

Хорошо бы её доделать так, чтобы по результату было понятно, корректны ли исходные данные (т.е. корректное ли задано число $n$).

Некорректные $n$ имеют остатки $2,4$ по модулю $5$.
Можно сгородить функцию, которая будет возвращать $-1$, если $n$ имеет такие остатки и $1$, в других случаях.
И умножить на неё результат.
Но нужно ли?

[TOTAL]

wrest в сообщении #1611359 писал(а):

Хорошо бы её доделать так, чтобы по результату было понятно, корректны ли исходные данные (т.е. корректное ли задано число $n$). Ну не знаю, чтобы например формула возвращала отрицательное число если $n$ некорректное, или возвращала нецелое, или типа того.

$t = \dfrac{\left\lfloor {\dfrac{3n+2}{5}}\right\rfloor }{1 - \left|n - \left\lfloor \dfrac53\left\lfloor {\dfrac{3n+2}{5}}\right\rfloor \right\rfloor}\right|$

Просто явную формулу подставили в неявную. Если несовпадение входа с выходом, то в помойку результат.

[Doctor Boom]

Gepidium
Если все понятно, вот вам немного усложненная задача. Пусть показаниями часов может быть любое натуральное число. У нас есть 4 часов с периодами 2,3,5 и 7 секунд соответственно. Вы услышали 357 ударов. Сколько сейчас часов (пусть еще время на часах останавливается, пока не пробьют все часы)