Отвечу пока на вопрос:
Также интересно, что это вообще за область математики (вот эти

,

и тому подобное), до этого момента я такого не видел.
Как помните, наша последовательность

(и аналогично

) — это
закон, по которому каждому целому числу

соответствует вещественное число
![$y[n]$ $y[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/3/a831570c6ea0ed26fbcbed704c6bdea882.png)
Иначе говоря,

— это функция из множества целых чисел

в множество вещественных чисел

. Запись:

Вы наверняка изучали линейную алгебру, и поэтому знаете определение
векторного пространства. Мы можем складывать две последовательности, получая третью. Мы можем умножать последовательность на число. Существует нулевая последовательность. Сложение последовательностей удовлетворяет свойству

... И так далее. Короче говоря, наши последовательности удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства. Они — векторы, т.е. элементы векторного пространства последовательностей. Тот факт, что последовательность мы определили как функцию, этому не мешает (найдите в начале определения слова "множество элементов произвольной природы").
Поскольку все отсчёты
![$y[n]$ $y[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/3/a831570c6ea0ed26fbcbed704c6bdea882.png)
последовательности (это, фактически, компоненты, или координаты вектора) независимы, ясно, что пространство, в котором живут наши последовательности, бесконечномерно. Обычно считается, что конечномерные пространства изучает линейная алгебра, а бесконечномерные —
функциональный анализ.
Оператор у нас понимается как отображение (=функция), которое ставит в соответствие одной последовательности другую. Это согласуется и с линейной алгеброй (оператор превращает вектор в вектор, например, оператор поворота), и с функциональным анализом (оператор превращает функцию в функцию, например, оператор дифференцирования). Цитата из Вики:
Цитата:
точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).
Действительно, говорить "функция

ставит в соответствие функции

функцию

" было бы ужасно. А "оператор

превращает последовательность

в последовательность

" — уже не так страшно. Хотя

— это всё функции.
Но говорить, что мы изучаем функциональный анализ, нельзя. Мы не определили пространство, в котором работаем. Мы в дальнейшем будем писать бесконечные суммы, но не будем уделять никакого внимания сходимости, и т.д. В итоге — мы используем некоторые термины из функционального анализа, не изучая саму теорию.