Имеет ли функция многих переменных локальные минимумы?

[Missiir]

Здравствуйте уважаемые участники, помогите пожалуйста разобраться с вопросом.
Есть функция многих переменных:

$$F(x_1,...x_n, y_1,...,y_m)=\sum\limits_{k=1}^{m}f_k(x_1,...x_n, y_k)$$

Известно, что при фиксированных $y_i$ в заданном диапазоне $[a;\infty)$ функция $F()$ является квадратичной, ограниченной снизу функцией. Также известно, что при любом фиксированном наборе $x_i$, все функции $f_k()$ являются выпуклыми вниз функциями, в диапазоне переменных $y_k \in [a; \infty)$.

Можно ли из этого сделать вывод, что функция $F()$ является выпуклой и в диапазоне переменных $y_k \in [a; \infty)$ она имеет единственный минимум?

[dgwuqtj]

С единственностью минимума точно могут быть проблемы, если взять $f_k(x_1, \ldots, x_n, y_k) = y_k^2$.

Ещё можно взять $f(x, y) = (x + y)^2 - y$, тогда всё будет плохо.

[Missiir]

dgwuqtj благодарю за ответ, но ведь крадратичнай функция ($y_k^2$) как раз и имеет единственный минимум, а сумма квадратичных функций тоже квадратичная функция. Или я не прав?

[dgwuqtj]

У неё минимум не единственный при $n > 0$, т.к. она не зависит от $x_i$.

[Missiir]

У функции $f_k(x_1, \ldots, x_n, y_k) = y_k^2$ единственный минимум в точке $y_k=0$.

$f(x, y) = (x + y)^2 - y$
у этой функции тоже только 1 минимум, т.к. её производные по x и y являются линейными функциями.

Хотелось бы действительно показательный контрпример

[dgwuqtj]

У функции $f(x, y) = (x + y)^2 - y$ вообще нет минимума, т.к. она принимает сколь угодно малые значения. Например, $f(-10, 10) = -10$, $f(-100, 100) = -100$, и т. д.

[Missiir]

но она не удовлетворяет условию задачи

Missiir в сообщении #1610325 писал(а):

все функции $f_k()$ являются выпуклыми вниз функциями, в диапазоне переменных $y_k \in [a; \infty)$.

хотя экстремум всё равно один, правда не минимум а максимум

[dgwuqtj]

Да ладно? Это многочлен второй стерени с положительным старшим членом при каждом конкретном $x$. И где этот ваш экстремум?

[Missiir]

по крайней мере в точке x=0, y=0 градиент у неё равен нулю, и какой смысл об этом рассуждать, если функция всё равно не подходит под условие

[dgwuqtj]

У неё везде градиент ненулевой. И я так и не понял, какое условие она нарушает. При каком-то $x$ она становится невыпуклой по $y$?

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610346 писал(а):

У неё везде градиент ненулевой

$$ \frac{\partial f}{dx}=2x+2y, \frac{\partial f}{dy}=2x+2y-1$$

[dgwuqtj]

Ага, поэтому не существует точки, в которой обе частные производные обнуляются.

[Missiir]

ну да, у неё вообще нет экстремумов

-- 18.09.2023, 18:39 --

с этим ясно, может быть такая функция вообще без экстремума, но вопрос немного в другом
могут ли появляться при указанных условиях локальные минимумы, т.е. может их быть больше одного?

-- 18.09.2023, 18:40 --

dgwuqtj
тема то называется именно так

-- 18.09.2023, 18:48 --

Для большей конкретики

$$f_k(x_1,...x_n, y_k)=\frac{g(x_1,...x_n)}{ y_k}+y_k$$

[dgwuqtj]

Missiir в сообщении #1610353 писал(а):

Для большей конкретики

$$f_k(x_1,...x_n, y_k)=\frac{g(x_1,...x_n)}{y_k}+y_k$$

Я не знаю насчёт нескольких локальных минимумов, но $\frac{x^2 - 1}y + y$ не является выпуклой при $y > 0$. У неё определитель матрицы Гессе равен $-\frac 4{y^4}$, ну и локальных минимумов вообще нет.

[Missiir]

dgwuqtj в сообщении #1610406 писал(а):

Я не знаю насчёт нескольких локальных минимумов, но $\frac{x^2 - 1}y + y$ не является выпуклой при $y > 0$. У неё определитель матрицы Гессе равен $-\frac 4{y^4}$, ну и локальных минимумов вообще нет.

именно при y>0 она является выпуклой, так как в этой области она будет проходить ниже отрезка, соединяющего две её любые точки. Возможно, Гессиан отрицательный из-за разрыва в нуле.

-- 18.09.2023, 21:54 --

локальных минимумов нет, но есть глобальный (правда комплексный), в точке:

$$y=\sqrt{-1}, x=0$$

-- 18.09.2023, 22:09 --

Ну и опять же, вопрос состоит в том, может ли быть 2 или более минимумов в таких условиях.

Для большей конкретики уточняю, что F() ограничена снизу положительным значением, так, что 1 минимум в области y>a у неё всё же есть. Но может ли быть второй?

-- 18.09.2023, 22:14 --

Я проводил численный эксперимент, запускал градиентный спуск из множества разных начальных точек. И всё время процесс достигал глобального минимума. Повторял очень много раз, но локального минимума ни разу не обнаружил. Но уверенности нет, что его не может быть. Нужны какие то теоретические обоснования.