не могли бы Вы уточнить, какое ограничение нужно наложить на старшие члены

, чтобы корень из них был строго выпуклым?
Я умею только при

. Обозначим через

однородные компоненты

степени 2, это квадратичные формы от

переменных. Пусть

- это ядро

, то есть

. Наложим условие

(если его не накладывать, то после замены переменных окажется, что какие-то

вообще не участвуют в уравнениях, так что минимумов будет точно много). Например, при

это в точности условие, что ранг

равен

.
Раз уж

, то

является выпуклой функцией (как я писал, это можно проверить, приведя

к каноническому виду). Если же

всюду, то

даже будет аналитической. Ясно, что функции вида

тоже являются выпуклыми (где

), так что множество тех

, где локальный минимум, является выпуклым (пустым или связным) множеством. В силу выпуклости значение

во всех таких точках одинаково. В аналитическом случае (когда все

) такое множество либо неограничено, либо является точкой, либо пусто.
Я утверждаю, что при условии

функция

возрастает с ростом

, даже

для каких-то констант

и

. Из этого будет следовать, что

имеет локальный минимум на непустом и ограниченном множестве (причём локальный минимум совпадает с глобальным). Давайте писать

, если

и существуют константы

,

такие, что

для всех

. Легко видеть, что

и

, где

- расстояние до подпространства. Так как

, то

.