Парадокс лжеца

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1609771 писал(а):

И что с этим делать?

Для начала, формально записать "утверждение А".
А если не получится, то перестать парить всем мозг.

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1609771 писал(а):

утверждение А="Это утверждение ложно"

Это ведь то же самое, что и А = "Утверждение А ложно". А раз так, значит определение утверждения А просто некорректно, потому что в определении содержится порочный круг. Нельзя определять сущность А через нее саму. Я как-то так на это смотрю.

Вообще, вопрос интересный. Его можно сформулировать и в терминах множеств на примере с расселовским множеством. А потом задать вопрос: "где гарантия, что те множества, которые вы считаете существующими, действительно существуют?". И по-моему, так даже симпатичнее было бы.

Я для себя выбрал такой стиль жизни, при котором есть деление на множества (которые можно называть малыми) и классы. Так же есть как минимум один универсум. Каждое малое множество является элементом некоторого универсума. Универсум замкнут относительно всех стандартных теоретико-множественных конструкций. Так же выполняется свойство: $x \in u \in U \Rightarrow x \in U$.

Как только речь заходит о собственном (или "потенциально-собственном" - т.е. таком, что я не знаю, собственный он или нет) классе, я сразу начинаю напрягать свое внимание и следить, чтобы он не был элементом какого-то другого класса.

На данный момент времени я ни разу не встречался с множествами, которые бы не принадлежали универсуму $U_\varnothing$ (универсуму, содержащему пустое множество; очевидно такой универсум существует, т.к $\varnothing$ является малым множеством). Поэтому может быть достаточно одного вот этого универсума $U_\varnothing$ на все случаи жизни.

[Утундрий]

Кстати, подумалось: а множество ли $\varnothing$? Ведь, если считать множествами такие совокупности элементов, относительно которых можно утверждать, что данные элементы принадлежат упомянутой совокупности, то $\varnothing$ - не множество, так как ему ничего не принадлежит.

P. S. И поэтому натуральные числа начинаются с единицы.

[epros]

Doctor Boom в сообщении #1609771 писал(а):

Собственно, утверждение А="Это утверждение ложно"

Если "это" утверждение ложно, то утверждение А, понятное дело, истинно. Вопрос в том, что это за "это" утверждение.

Суть в том, что нормальная формализация логики не позволяет в рамках теории упоминать "утверждения теории". Равно как не позволяет идентифицировать утверждающего субъекта (исходное утверждение, кажется, звучало как: "Все критяне лжецы").

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1610234 писал(а):

Ведь, если считать множествами такие совокупности элементов, относительно которых можно утверждать, что данные элементы принадлежат упомянутой совокупности, то $\varnothing$ - не множество, так как ему ничего не принадлежит.

Лучше так: "... что данные элементы принадлежат или не принадлежат упомянутой совокупности...". Тогда с такой точки зрения пустое множество является нормальным множеством: для любого множества $m$ мы можем утверждать, что $m \notin \varnothing$.

[realeugene]

epros в сообщении #1610248 писал(а):

Суть в том, что нормальная формализация логики не позволяет в рамках теории упоминать "утверждения теории".

Но начиная с введения аксиом арифметики появляется возможность это счётное число логических формул перечислить, и делать логические утверждения о предикатах на номерах логических формул.

[epros]

realeugene в сообщении #1610293 писал(а):

и делать логические утверждения о предикатах на номерах логических формул.

Только это не "логические утверждения о предикатах", а чисто арифметические утверждения о натуральных числах. То, что эти утверждения можно интерпретировать как "логические утверждения о предикатах", знает только метатеория, которая нумерует формулы и доказательства теории.

[Doctor Boom]

Тут дело не в том, в чем проблема парадокса лжеца (проблема в самоинтерференции), а в том, почему другие утверждения не могут иметь подобную проблему? Что из "неА влечет противоречие" не следует, что А истинно. Допустим, в них вообще нет самоинтерференции

[epros]

Doctor Boom в сообщении #1610310 писал(а):

почему другие утверждения не могут иметь подобную проблему?

Э-ээ, что? Какие утверждения? Какую проблему?

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1610310 писал(а):

Тут дело не в том, в чем проблема парадокса лжеца (проблема в самоинтерференции), а в том, почему другие утверждения не могут иметь подобную проблему?

Так Ваше утверждение А = "Утверждение А ложно" просто не является корректно определенным. Ладно бы Вы привели в пример корректно определенное утверждение, которое одновременно является и истинным, и ложным (а потом бы сказали, что оно не может являться утверждением, т.к. имеет одновременно 2 истинностных значения). Так еще понятно бы было. Но у Вас-то просто некорректно определенное утверждение и все.

-- 18.09.2023, 16:37 --

epros в сообщении #1610313 писал(а):

Какие утверждения? Какую проблему?

Я понял так, что Doctor Boom опасается, что могут существовать обычные нормальные утверждения из повседневной математической деятельности, имеющие 2 истинностных значения (истина и ложь одновременно). И спрашивает, где гарантия, что такого не будет.

[Doctor Boom]

EminentVictorians в сообщении #1610321 писал(а):

Ладно бы Вы привели в пример корректно определенное утверждение, которое одновременно является и истинным, и ложным (а потом бы сказали, что оно не может являться утверждением, т.к. имеет одновременно 2 истинностных значения). Так еще понятно бы было. Но у Вас-то просто некорректно определенное утверждение и все.

Ок, это утверждение о свойстве несуществующего объекта, но вы выше сами расписали

EminentVictorians в сообщении #1610321 писал(а):

Так Ваше утверждение А = "Утверждение А ложно" просто не является корректно определенным.

А с чего вы взяли, что некоторые повседневные математические утверждения не таковы?

EminentVictorians в сообщении #1610321 писал(а):

Я ронял так, что Doctor Boom опасается, что могут существовать обычные нормальные утверждения из повседневной математической деятельности, имеющие 2 истинностных значения (истина и ложь одновременно). И спрашивает, где гарантия, что такого не будет

Ну можно и так)

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1610329 писал(а):

Ок, это утверждение о свойстве несуществующего объекта, но вы выше сами расписали

Нет. Нету никакого утверждения. Вы его просто еще пока не определили корректным образом.

Doctor Boom в сообщении #1610329 писал(а):

А с чего вы взяли, что некоторые повседневные математические утверждения не таковы?

Ну лично я стараюсь делать все построения корректно. Могу ли я где-то ошибаться? Разумеется. И такое бывало много раз. Но это ведь дело во мне, а не в логике, верно?

Если Вы действительно найдете корректно определенное утверждение с двумя истинностными значениями, я бы посмотрел. Мне такое интересно.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1610321 писал(а):

Я понял так, что Doctor Boom опасается, что могут существовать обычные нормальные утверждения из повседневной математической деятельности, имеющие 2 истинностных значения (истина и ложь одновременно). И спрашивает, где гарантия, что такого не будет.

Это как? Истинностные значения присваиваются моделью, которая по определению не может присвоить одному утверждению значения одновременно истинного и ложного.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1610352 писал(а):

Истинностные значения присваиваются моделью, которая по определению не может присвоить одному утверждению значения одновременно истинного и ложного.

Рассмотрим множество $M$ тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Это значит, что из $X \in M$ следует, что $X \notin X$. А из $Y \notin M$ следует, что $Y \in Y$. Зададимся вопросом, какое истинностное значение имеет высказывание $A = . Если $M \in M$ (т.е. $A$ истинно), то $M \notin M$ (по доказанному выше), следовательно получили противоречие, значит $A$ ложно. Предположим теперь, что $A$ ложно. Это значит, что $M \notin M$.Тогда (по доказанному выше), $M \in M$. Опять получили противоречие (получилось, что одновременно $M \in M$ и $M \notin M$, чего быть не может). Значит, $A$ истинно.

Получается, что утверждение $A$ имеет 2 истинностных значения: истина и ложь одновременно. Такие ситуации называются парадоксами (собственно, это, как Вам известно - формулировка парадокса Рассела).

Вы видите здесь какие-нибудь формальные теории и их модели? Я не вижу. Я вижу просто высказывание с двумя истинностными значениями.

Просто Вы в очередной раз забываете, что не все в мире формалисты. Есть разные уровни строгости и формализации. Говорить про истинность тех или иных утверждений можно и на том уровне, на котором есть просто наивная теория множеств.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1610331 писал(а):

Если Вы действительно найдете корректно определенное утверждение с двумя истинностными значениями, я бы посмотрел.

Любое утверждение в противоречивой теории.