Изоморфизм проективной и специальной проективной группы

[AndrewGap]

Хорошо, попробуем для n = 2. Необходимо найти такие матрицы

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

которые, для начала, коммутируют с матрицами вида

$$\begin{pmatrix} 1+x_1 & x_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Если мы распишем равенство AX = XA, то получим, что необходимо c = 0. Если мы теперь рассмотрим вместо этого X новую матрицу, а именно матрицу

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x_1 & 1+x_2 \end{pmatrix}$$

то получим ещё и d = 0. Пока всё верно?

[dgwuqtj]

Конечно. Хотя в первом случае вам не нужен $x_1$, а во втором - $x_2$. И разве вы не получили $a = b$?

[AndrewGap]

dgwuqtj
Да, при решении уравнения $AX=XA$, где $X$

$$\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

а $A$ есть матрица

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Получим $c=0$ и $a=d$
Далее, заменим матрицу $X$ на матрицу

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix}$$

Тогда получим (здесь мы уже учитываем, что $c=0$) $b=0$. Значит матрицы имеют вид

$$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$$

то есть просто скалярные матрицы

[dgwuqtj]

Ну вот, и аналогично при любом $n$.

[AndrewGap]

Но разве это как раз не покажет, что с матрицами такого вида при общем $n$ коммутируют только скалярные матрицы?

[dgwuqtj]

Да, но ведь вам не это надо. Нужны матрицы, при коммутировании которых с $1 + e_{ij} x$ будут скалярные. А так вы просто посчитали центр $\mathrm{GL}(n, F)$.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Теперь возьмём матрицу $A$ в виде

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

и матрицу $X$ в виде

$$\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Положим дополнительно, что детерминант матрицы $A$ равен 1. Тогда запишем выражение $A^{-1}X^{-1}AX=kI$
$A^{-1}$ есть

$$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

$X^{-1}$ есть

$$\begin{pmatrix} 1 & -x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Наше произведение в левой части есть

$$\begin{pmatrix} ad-cdx-cb & adx-cdx^2-d^2x-bcx \\ c^2x & -cb+c^2x+cdx+ad \end{pmatrix}$$

Но $c^2x=0$ значит $c=0$. Тогда, упрощая, получим

$$\begin{pmatrix} ad & dx(a-d) \\ 0 & ad \end{pmatrix}$$

Ясно, что $d\ne0$, значит $a=d$. Тогда матрица $A$ примет вид

$$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$$

Но возникает одна проблема, если мы теперь возьмём вместо $X$ матрицу

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix}$$

то мы вновь придем к скалярным матрицам

[dgwuqtj]

Значит, с центрами не получилось. Попробуйте абелианизацию, с ней точно получится.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Я хотел ещё уточнить. Я наткнулся на следующий факт: $PGL(n, F)$ и $PSL(n, F)$ изоморфны тогда и только тогда, когда каждый элемент $F$ имеет корень n-й степени в $F$. Но я не совсем понимаю, как её можно (и можно ли) применить в моём случае. Возможно Вы сможете что-то пояснить?

[dgwuqtj]

Ну так это буквально обобщение вашей задачи. Вы же знаете, какие корни можно извлекать в $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Да, я кажется его понял. Например в случае $n=2$ не существует корня второй степени из -1, если речь идет про поле $\mathbb{R}$, но имеется корень, если речь про $\mathbb{C}$. Однако, признаюсь честно, я никогда не видел подобное утверждение ни в каком учебнике ранее.

[dgwuqtj]

В одну сторону его можно доказать как раз сравнив абелианизации. А в другую - явно построив изоморфизм.