Изоморфизм проективной и специальной проективной группы

[AndrewGap]

Не уверен, что это рассуждение пройдёт, но всё же попробую. Мы ищем центр в группе PGL(n, F). Обозначим через H центр группы GL(n, F). Это же множество будет единицей в факторгруппе PGL(n, F) и будет лежать в центре данной факторгруппы. Предположим, что некоторый класс aH также лежит в центре факторгруппы. Это означает, что он коммутирует со всеми другими классами вида bH, то есть aH $\cdot$ bH = bH $\cdot$ aH. Это равносильно тому, что совпадают смежные классы abH и baH. Тогда должно найтись такое число $\alpha$ из поля F, что ab = $\alpha$ $\cdot$ ba. Как я уже упоминал выше, в качестве представителей смежного класса всегда можно выбирать матрицы с единичным детерминантом. Тогда det(ab)=$\alpha$ $\cdot$ det(ba), что равносильно равенству 1 = $\alpha$. Но это означает, что ab = ba. При этом элемент b произволен, а значит, элемент a сам принадлежит H. Значит, центр группы PGL(n, F) состоит лишь из H.

[dgwuqtj]

Ну нет, $\mathrm{det}(\alpha g) = \alpha^n\, \mathrm{det}(g)$.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Ой, да, прошу прощения. Тогда это рассуждение может пройти для PGL(n, F) в случае, если n нечетно и F - поле вещественных чисел.

[KhAl]

AndrewGap писал(а):

Как я уже упоминал выше, в качестве представителей смежного класса всегда можно выбирать матрицы с единичным детерминантом. Тогда det(ab)=$\alpha$ $\cdot$ det(ba), что равносильно равенству 1 = $\alpha$.

То, что с единичным детерминантом, абсолютно не важно. Для любых невырожденных a, b из det(ab)=$\alpha^n$ $\cdot$ det(ba) следует $\alpha^n = 1$ В остальном верно

-- 17.09.2023, 16:15 --

AndrewGap писал(а):

Тогда это рассуждение может пройти для PGL(n, F) в случае, если n нечетно и F - поле вещественных чисел.

а с чётными и комплексными что не так?

[AndrewGap]

KhAl
Просто в случае нечетного n и условия, что $\alpha$ принадлежит полю вещественных чисел сразу вытекает, что $\alpha$ = 1 и ba = ab, то есть a принадлежит H и центр PGL есть H. В случае чётного n, $\alpha$ может быть либо 1, либо -1. Если 1, то a снова оказывается элементом центра H группы GL. Если -1, то имеем равенство ab = -ba. Оно должно быть верно для любого b, а значит в частности для единичной матрицы. Но тогда a = -a, противоречие (тогда a суть нулевая матрица). Значит в случае вещественного поля F центр PGL всегда состоит лишь из H, верно?

[dgwuqtj]

Нет, у вас же $\alpha$ может зависеть от $b$.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Хорошо, начнем постепенно. Я правильно подсчитал, что центр в группе PSL(2, F) тривиален?

[dgwuqtj]

А где вы это посчитали, собственно?

[KhAl]

(dgwuqtj)

оставлю вас вдвоём. хотя Вы, по-моему, слишком сильно подсказываете — смысл в том, чтобы включить мыслительный процесс, а не выдать решение маленькими кусками.

[AndrewGap]

Это я сюда не писал, но могу расписать здесь, если необходимо.

[dgwuqtj]

Не, я готов в это поверить.

[AndrewGap]

dgwuqtj
Хорошо, теперь мне нужно найти центр в группе PGL(2, F). Если он будет не тривиальным, то и эти факторгруппы не будут изоморфными, верно?

[dgwuqtj]

ага

[AndrewGap]

dgwuqtj
А можно пояснить, что подразумевается во втором слагаемом?

[dgwuqtj]

$e_{ij}$ - это матрица, у которой единица в $(i, j)$-й позиции, а на остальных местах нули. То есть вся сумма - это матрица с единицами на диагонали, $x$ в $(i, j)$-й позиции и нулями в остальных местах.