Что дала актуальная бесконечность математике?

[EminentVictorians]

manul91, Вы точно сами это пишете? У меня такое ощущение, что я общаюсь с ChatGPT.

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608632 писал(а):

manul91, Вы точно сами это пишете? У меня такое ощущение, что я общаюсь с ChatGPT.

Я знаю что "доказательство" ошибочное, мне интересен ваш конкретный коментар. Насчет ChatGPT, приходится напоследок по работе заниматься с этой дрянью - с каким соберешься.... :))

[EminentVictorians]

manul91 в сообщении #1608633 писал(а):

Я знаю что "доказательство" ошибочное, мне интересен ваш конкретный коментар.

Проблема в том, что никакого доказательства (хоть в кавычках, хоть без, хоть правильного, хоть ошибочного) - нету. Есть просто набор не имеющих смысла (или имеющих крайне странный смысл) математических записей. Ну вот например:

manul91 в сообщении #1608630 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1608627 писал(а):

Вы пишете, что "функция" $P_i$ имеет вид $\mathbb N \to \mathbb Z_2$, а потом используете запись $P(i, s)$, в которой во-первых нету $P_i$,

Да, $P_i$ при любом фиксированном $i$ это последовательность $\mathbb N \to \mathbb Z_2$. А насчет используемой записи, вроде точно также и у вас:

EminentVictorians в сообщении #1608586 писал(а):

Рассмотрим функцию $P: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(s) = p_s(s) + 1$

используется запись $P(s)$ в которой нету $P_s$, почему оно там должно быть?

Вы просите, чтобы я расшифровал, что обозначает $P(s)$? Ну хорошо, $P(s)$ означает значение функции $P$ (которую я перед этим аккуратно определил) при значении аргумента, равном $s$. Но это настолько азбука от математики, что если о ней заходит речь, это значит, что явно надо заниматься чем-то учебным, а не тем, чем сейчас Вы пытаетесь заниматься в Дискуссионном разделе.
Далее, какой $P_s$? Откуда он вообще взялся? Что он обозначает? У меня было обозначение $p_s$, которое я явным образом ввел. И отдельное обозначение $P$. Никаких $P_s$ у меня вообще не было.

manul91, Вы уж извините пожалуйста за прямоту и, может быть, не очень политкорректный тон, но выглядит так, что у Вас очень большие проблемы с математической строгостью.

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608634 писал(а):

Вы просите, чтобы я расшифровал, что обозначает $P(s)$? Ну хорошо, $P(s)$ означает значение функции $P$ (которую я перед этим аккуратно определил) при значении аргумента, равном $s$. Но это настолько азбука от математики, что если о ней заходит речь, это значит, что явно надо заниматься чем-то учебным, а не тем, чем сейчас Вы пытаетесь заниматься в Дискуссионном разделе.

EminentVictorians в сообщении #1608634 писал(а):

Далее, какой $P_s$? Откуда он вообще взялся? Что он обозначает?

EminentVictorians в сообщении #1608634 писал(а):

manul91, Вы уж извините пожалуйста за прямоту и, может быть, не очень политкорректный тон, но выглядит так, что у Вас очень большие проблемы с математической строгостью.

Честно - это я вас прошу меня извинить - на самом деле.
Не думаю что у меня уж такие проблемы со строгостью, но занесло куда-то не туда...
Разумеется если все совсем акуратно расписать, то ничего не получится - из-за того, что "диагональный" индекс мощностью $\mathbb R \times \mathbb N$ нелзья брать как индекс последовательности, если не менять определение последовательности (а если изменить и брать "последовательности с вещественным индексом" индексированные опять "вещественным индексом" - то хотя и получится (вещественных функций больше чем континуум) - но уже будет совершенно не об этом).

Вот только понять бы, причем здесь оракулы... И вот такой вопрос меня давно терзает: если верить физикам что квантовая случайность истинно случайна (не псевдослучайна). То тогда машину тьюринга снабженной физическим генератором случайности (на основе квантах) - можно считать "оракулом" (нулевого типа - т.е. привязанного к конкретной невычислимой последовательности) и если нет - то почему? (МТ тут только для того, чтобы тупо запоминать любой конечный индекс о котором спросят - и только первый раз брала с генератору, а далее если спросят повторно про того же индекса - выдает из памяти то же самое, что выдала и первый раз). "Снаружи", вроде есть все что требуется - отвечает на запрос о значение последовательности при любом натуральном индексе, последовательность вроде невычислима...

[epros]

manul91 в сообщении #1608630 писал(а):

Нигде не было такого, что оракул навек пригвозден к единственной конкретной последовательностью $\mathbb{N} \to \{0,1\}$ (или единственную функцию $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0,1\}$ что да, то же самое).

Было же ясно сказано к чему именно "пригвождён" какой оракул.

manul91 в сообщении #1608630 писал(а):

По одному оракулу на каждую последовательность (т.е. необходимость веры в несчетном множестве оракулов) - это что то новое... : )

В чём Ваша проблема?

EminentVictorians в сообщении #1608634 писал(а):

manul91, Вы уж извините пожалуйста за прямоту и, может быть, не очень политкорректный тон, но выглядит так, что у Вас очень большие проблемы с математической строгостью.

Зато у Вас этой "строгости" слишком много. Если глянуть на классическое доказательство, которое цитировалось в начале темы и которое состоит из трёх строчек:
1) "выпишем" последовательность последовательностей цифр;
2) построим последовательность цифр, не совпадающую ни с одной выписанной последовательностью;
3) ввиду произвольности построения 1 сделаем вывод, что никакая последовательность последовательностей цифр не содержит всех последовательностей цифр,
то оно вполне однозначно понятно, а значит - достаточно строгое. Ваши пляски с бубнами совершенно ни к чему.

[talash]

Проанализировал поглубже.
epros, наличие оракула не приводит к избавлению от актуальной бесконечности. Потому что если получить от оракула любое определённое количество чисел, то теорема не будет доказана. Почему не будет? Например, потому что в этом случае ту же операцию можно провести с рациональными числами и "доказать", что они тоже несчётны(смотри тему из цитаты ниже). Значит, нужно получить от оракула бесконечное количество чисел и провести с ними бесконечное количество действий. Мы, люди, физически не можем провести бесконечное количество действий и убедиться в верности результата, а значит результат подобных процедур должен быть неопределён.

Напомню, речь шла про эту теорему:

Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):

Цитата:

1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

↓Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ Разделим отрезок $[0,1]$ на $3$ равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$, и выберем тот из отрезков, который не содержит $x_1$ ни внутри, ни на границе. Обозначим его через $\Delta_1$, т.е. $x_1$ не принадлежит $\Delta_1$. $\Delta_1$ также поделим на $3$ равные части и выберем ту часть, которая не содержит $x_2$ ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$, т.е. $x_2$ не принадлежит $\Delta_ 2$, и $\Delta_2\subset \Delta _1$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$. В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$, причем $c\ne x_n \; \forall n$. А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑

[epros]

talash, не нужно "получать" от оракула какое-то количество цифр. Мы всего лишь предполагаем, что оракул существует. Ничего реально получить от него нельзя, потому что он воображаемый. Но когда мы предполагаем, что он существует, мы предполагаем, что он способен ответить на неограниченное количество вопросов. Это и означает, что мы "выбрали" какую-то последовательность последовательностей цифр. При этом реально мы ни одной цифры не назвали.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1608763 писал(а):

Напомню, речь шла про эту теорему:

В которой нету ни намека на контекст, связанный с теорией вычислений. Может быть проще перестать использовать слово "оракул" там, где никакой теорией вычислений и не пахнет?

[epros]

talash в сообщении #1608763 писал(а):

Например, потому что в этом случае ту же операцию можно провести с рациональными числами и "доказать", что они тоже несчётны(смотри тему из цитаты ниже).

Кстати, обращаю внимание, что в той теме сразу же ответили, что применительно к последовательности рациональных чисел вывод этой формулировки теоремы, начинающийся со слов "в силу принципа вложенных отрезков", является неверным.

[talash]

epros в сообщении #1608788 писал(а):

talash, не нужно "получать" от оракула какое-то количество цифр. Мы всего лишь предполагаем, что оракул существует. Ничего реально получить от него нельзя, потому что он воображаемый. Но когда мы предполагаем, что он существует, мы предполагаем, что он способен ответить на неограниченное количество вопросов. Это и означает, что мы "выбрали" какую-то последовательность последовательностей цифр. При этом реально мы ни одной цифры не назвали.

Не цифр, а чисел. Мы получаем числа в виде буквенных обозначений. Но для доказательства теоремы нам нужно их получить бесконечное количество, а это невыполнимая операция. Физически мы не можем произвести данную процедуру, значит доказательство по крайней мере не строгое, а интуитивное.

Если сравнить ситуацию с нахождением предела бесконечных последовательностей или сумм, то там бесконечных операций не проводится. Коши ввёл определения, позволяющие производить доказательства без невыполнимых операций.

[epros]

talash в сообщении #1608873 писал(а):

Не цифр, а чисел.

Это зависит от того, какую задачу в этот раз Вы рассматриваете.

talash в сообщении #1608873 писал(а):

Но для доказательства теоремы нам нужно их получить бесконечное количество, а это невыполнимая операция.

Не нужно. И я, кажется, уже раза три или четыре сказал об этом.

[talash]

epros в сообщении #1608877 писал(а):

talash в сообщении #1608873 писал(а):

Но для доказательства теоремы нам нужно их получить бесконечное количество, а это невыполнимая операция.

Не нужно.

Как это не нужно. В результате процедуры, из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку, значит количество шагов процедуры должно быть бесконечно большое.

То есть, в теореме

Цитата:

1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

↓Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ Разделим отрезок $[0,1]$ на $3$ равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$, и выберем тот из отрезков, который не содержит $x_1$ ни внутри, ни на границе. Обозначим его через $\Delta_1$, т.е. $x_1$ не принадлежит $\Delta_1$. $\Delta_1$ также поделим на $3$ равные части и выберем ту часть, которая не содержит $x_2$ ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$, т.е. $x_2$ не принадлежит $\Delta_ 2$, и $\Delta_2\subset \Delta _1$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$. В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$, причем $c\ne x_n \; \forall n$. А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑

Фразу "Продолжая эту процедуру" можно заменить на "Продолжая эту процедуру до бесконечности" с сохранением смысла написанного.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1608940 писал(а):

Фразу "Продолжая эту процедуру" можно заменить на "Продолжая эту процедуру до бесконечности" с сохранением смысла написанного.

И что это "до бесконечности" добавило нового? Можете явно сформулировать, что Вам не нравится в этом доказательстве?

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1608944 писал(а):

talash в сообщении #1608940 писал(а):

Фразу "Продолжая эту процедуру" можно заменить на "Продолжая эту процедуру до бесконечности" с сохранением смысла написанного.

И что это "до бесконечности" добавило нового? Можете явно сформулировать, что Вам не нравится в этом доказательстве?

В нём предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру.

Более просто эту проблему можно переформулировать в следующем примере. Если взять десятичную дробь, где числа после запятой случайны, то какое в результате получится число? Может показаться, что мы гарантированно получим иррациональное неалгебраическое число. Отсюда кажется, что таких чисел "больше", чем всех остальных. Но есть одна проблема, в вопросе мы неявно решили, что такое число получить можно, но это не так потому что процедура получения такого числа невыполнима, так как содержит бесконечное количество шагов.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1608952 писал(а):

В нём предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру.

Я не вижу никакую процедуру. Я вижу отображение вида $F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$, где $\Delta_{[0, 1]}$ - множество подотрезков отрезка $[0, 1]$. И если теперь ввести обозначение $\Delta_i := F(x_i)$, то окажется, что это отображение $F$ обладает тем свойством, что отрезок $\Delta_{i}$ не содержит никакую из точек $x_1, ... ,x_i$. Вместе с этим, отрезки $\Delta_i$ образуют систему вложенных отрезков, которая, как известно, обязана содержать общую для всех этих отрезков точку (которую там обозначают буквой $c$). Очевидно, что $c$ не может совпадать ни с одной из точек $x_1, x_2, ...$, т.к. если бы $c = x_s$ для некоторого $s \in \mathbb N$, то получилось бы, что $x_s \in \Delta_s$, а такого, как мы отметили двумя строчками выше, быть не может.

Ну или дайте определение того, что Вы называете "процедурой". И еще хотелось бы узнать, что такое "невыполнимая" процедура, и почему из бесконечности процедуры следует ее "невыполнимость".