Элементарная алгебра для отстающих

[svv]

wrest в сообщении #1608172 писал(а):

Вопрос первый: что именно обозначают буквы?

Ну как: сказано же в условии, что «мальчики x,y и z решили покрасить забор». Значит, $x$ — например, Александр, $y$ — Борис, а $z$ — Василий.

[electron2501]

gefest_md в сообщении #1608205 писал(а):

electron2501 в сообщении #1608168 писал(а):

Работая вместе x и y покрасили за 3 часа, y и z за 4 часа, а x и z за 6 часов. За сколько покрасит забор каждый мальчик, работая по отдельности?

Здесь тоже применима формула $S=v\cdot t.$ Только $S$ это площадь забора. Считаем, что скорости надо узнать, значения времени даны. Поэтому для составления первого уравнения выражаем площадь двумя способами:
(1). $S$;
(2). часть площади первого мальчика плюс часть площади второго мальчика.
Первое уравнение: (2)=(1).

По-моему ничего не даёт выражение площади такими двумя способами:
(1). часть площади первого мальчика плюс часть площади второго мальчика;
(2). часть площади второго мальчика плюс часть площади третьего мальчика.

Извините, ничего не поняла Каким образом здесь можно использовать V=S/t? Площадь ведь неизвестна и время тоже нужно выражать неясно как.

Относительно хода мысли "Y будет самый шустрый". Я поэтому и спросила, как в принципе нужно мыслить в таких задачах? То есть, некоего алгоритма нет? Просто нужно логически определить и составлять выражения исходя из этого? И далее (с поправкой на то, что известно какая переменная будет больше) всё решится уже, так? Т.е. система будет выглядеть:
$y-x=3$
$y-z=4$
$x-z=6$

Верно? Но тут сразу ведь видно, что если первое выражение во второе подставить, то будет $x-z=1$

[wrest]

electron2501 в сообщении #1608221 писал(а):

То есть, некоего алгоритма нет?

Наоборот, он есть. Но в вас прослеживается какое-то магическое мышление, которое не позволяет вам посмотреть на простые вещи с обычным здравым смыслом.
Надо вникнуть в ситуацию, а вы пытаетесь выудить уравнения из Вселенной медитативным путём.

Допустим, Маша красит забор за $v$ часов, а Оля за $w$ часов. Как быстро они покрасят один забор вместе?
Чтобы было проще, допустим Оля и Маша по отдельности красят один забор за 1 час. Ясно (наверное?) что вместе они его покрасят за полчаса? Как это записать?

Сравните со следующим: скорость Оли и скорость Маши равна 1 км/ч. За сколько времени они разойдутся на километр если пойдут в противоположные стороны? Очевидно же, что за полчаса?

Ещё учтите вот что, это важно. Нельзя складывать теплое и мягкое. Нельзя сложить два километра и полчучить сколько-то часов.

[electron2501]

В вашем объяснении нет примера того как записать эти вещи на математическом языке. И примеры простые, мол, оба лица красят забор за одно время, за сколько вдвоём покрасят? Ясно что x/2. Но ведь здесь x и y. Вроде ясно, что если из бОльшего вычесть меньшее, то будет разница и далее для нахождения большего к разнице прибавить меньшее время. Но как показано выше в системе составленной таким образом не сходится результат. Почему?

[svv]

electron2501 в сообщении #1608224 писал(а):

И примеры простые, мол, оба лица красят забор за одно время, за сколько вдвоём покрасят? Ясно что x/2. Но ведь здесь x и y. Вроде ясно, что если из бОльшего вычесть меньшее, то будет разница и далее для нахождения большего к разнице прибавить меньшее время.

Я помогу Вам окончательно забраковать вариант с разностью.

Если каждому из двоих работников в отдельности требуется примерно рабочий день ($x\approx 8\;\text{часов}$ и $y\approx 8\;\text{часов}$), то, работая вдвоём, они закончат покраску примерно за половину рабочего дня (4 часа). Разность же $x-y$ может составлять минуты и секунды.

Например, пусть $x=8.2, y=8.0$ (в часах). Тогда время при работе вдвоём будет близко к $x/2=4.1$ и $y/2=4.0$ (тоже в часах). Но не к $x-y=0.2$ часа же!

[electron2501]

Кажется до меня дошло Это время среднее арифметическое. Т.е. $\frac{x+y}{2}=3$ -> $x+y=6$

[wrest]

electron2501 в сообщении #1608224 писал(а):

В вашем объяснении нет примера того как записать эти вещи на математическом языке.

Ok. Допустим, что

wrest в сообщении #1608223 писал(а):

Маша красит забор за $v$ часов, а Оля за $w$ часов.

Тогда за 1 час Маша покрасит $1/v$ часть забора, а Оля за 1 час покрасит $1/w$ часть забора. Значит вместе, за один час они покрасят $1/v+1/w$ часть забора. За сколько часов, в таком случае, они покрасят $k$ заборов? Ответ простой: за $t=\dfrac{k}{\frac1v+\frac1w}$ часов. Упрощаем, получаем $t=k\dfrac{vw}{v+w}$
В случае, если им надо покрасить один забор, то $k=1$.
Выше $1/v$ и $1/w$ это скорость покраски, единица измерения "заборов/час".
Сами $v$ и $w$ называют "темпом", в данном случае покраски заборов, единица измерения "часов на забор".
Теперь спросим - а сколько заборов Маша и Оля покрасят вместе за $t$ часов? Поскольку $t=k\dfrac{vw}{v+w}$, то ответ будет $k=t\dfrac{v+w}{vw}$ заборов.
Мне кажется, достаточно уже для того чтобы вы составили систему. Все ли ясно выше?

Проще, конечно, будет если в качестве переменных брать не темпы а скорости.

В примере выше, скорость Маши равна $a=1/v$ заборов/час, а Оли $b=1/w$ заборов/час
Тогда если они красят вместе, то $k$ заборов они покрасят за $t=\dfrac{k}{a+b}$ часов, а за $t$ часов они вместе покрасят $k=t(a+b)$ заборов.

Примерно такие рассуждения (а не гадания на кофейной гуще) ожидаются от вас.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1608221 писал(а):

Каким образом здесь можно использовать V=S/t? Площадь ведь неизвестна и время тоже нужно выражать неясно как.

Не поняли потому, что площадь неизвестна? Тогда скорости из уравнений выразятся через неё. Например, $v_1 = \frac12 S.$ Но найти надо не скорости, а время. Поэтому площадь $S$ поделим на скорость $v_1$, выраженную через $S,$ и $S$ сократится.

[wrest]

electron2501
Вот это рассуждение выше post1608228.html#p1608228 вам дано чтобы вы могли сами догадаться, что если заменить "забор" на "километр" а "красит" на "проходит", то получится знакомая вам задача на прохождение пути. Но мне кажется что вы не догадаетесь, поэтому пишу явно.
Если вам скажут "Маша проходит километр за два часа, какова её скорость?" то вы сразу ответите "не надо мне простых задач, тут и пятикласснику понятно что 0,5 км/ч", а в случае с заборами возникает трудность, "нам этого не рассказывали", т.к. формулу для пройденного пути $s=vt$ вам давали не для ситуации покраски заборов. Но если в задаче имеется прямая пропорциональность в зависимости одной переменной от другой, то вам мысленно можно как бы переложить эту ситуацию в термины времени, скорости и пройденного пути. Возможно так будет проще, на первых порах.

Таким образом, "алгоритм" решения таких задач начинается всегда с того, что вам надо уяснить взаимосвязь величин, упоминаемых в задаче, между собой. И записать эту взаимосвязь в виде формул. Это первый шаг, его нежелательно пропускать, т.к. получается как у вас -- "а давайте угадаем ответ".

[Лукомор]

electron2501 в сообщении #1608221 писал(а):

Площадь ведь неизвестна и время тоже нужно выражать неясно как.

Нам нужно всего лишь знать объём предстоящей работы, в данном случае количество заборов, которые предстоит покрасить каждому мальчику.
В этой задаче каждому мальчику нужно покрасить $S=1\text{(забор)}$
Время как раз и нужно найти в этой задаче. Поэтому, обозначим неизвестные времена
$x\text{(часов)}$, $y\text{(часов)}$ и $z\text{(часов)}$.
Осталось три раза записать суммы скоростей при работе вдвоем, и три раза приравнять время, выраженное в виде $t=\frac{S}{v}$ ко времени, известному из условия задачи.
И решить полученную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

[Combat Zone]

electron2501 в сообщении #1608168 писал(а):

Здравствуйте! Задача следующего характера. Мальчики x,y и z решили покрасить забор. Работая вместе x и y покрасили за 3 часа, y и z за 4 часа, а x и z за 6 часов. За сколько покрасит забор каждый мальчик, работая по отдельности?

Я думаю вот что: троллите вы так всех уже сколько или всерьез халяву ловите (а тем все и кончается), толку от бесконечных намеков всех по очереди нет в любом случае.

Итого - первый и второй вместе за час красят 1/3 забора.
второй и третий - 1/4 забора,
третий и первый - 1/6 забора.

слева каждый вошел в список дважды. Так что все вместе за час покрасили бы (1/3+1/4+1/6)/2=3/8 забора.
Тогда третий красит 3/8 - 1/3 = 1/24 забора в час, а значит, весь забор - за 24 часа.
первый -- ... забора в час, а значит весь забор за .... часа.
И про второго не забудьте.

Вопросы?

[Лукомор]

(Оффтоп)

electron2501 в сообщении #1608227 писал(а):

Это время среднее арифметическое

Они же дружно работают, в полной гармонии.
Поэтому среднее гармоническое...

[electron2501]

Combat Zone в сообщении #1608346 писал(а):

electron2501 в сообщении #1608168 писал(а):

Здравствуйте! Задача следующего характера. Мальчики x,y и z решили покрасить забор. Работая вместе x и y покрасили за 3 часа, y и z за 4 часа, а x и z за 6 часов. За сколько покрасит забор каждый мальчик, работая по отдельности?

Я думаю вот что: троллите вы так всех уже сколько или всерьез халяву ловите (а тем все и кончается), толку от бесконечных намеков всех по очереди нет в любом случае.

Итого - первый и второй вместе за час красят 1/3 забора.
второй и третий - 1/4 забора,
третий и первый - 1/6 забора.

слева каждый вошел в список дважды. Так что все вместе за час покрасили бы (1/3+1/4+1/6)/2=3/8 забора.
Тогда третий красит 3/8 - 1/3 = 1/24 забора в час, а значит, весь забор - за 24 часа.
первый -- ... забора в час, а значит весь забор за .... часа.
И про второго не забудьте.

Вопросы?

Здравствуйте! Вот только сейчас составила систему по принципу $\frac{x+y}{2}=3$, так как вроде бы никто не сказал что это не правильно, да и логично же. Решила систему получив вполне милые 5, 1 и 7 часов. Смотрю триумфально в ответ и... там вижу неясные совершенно 8 часов, 4 ч 48 минут и 24 часа А тут вот и ваше объяснение подоспело. Ознакомлюсь позже, так как хочу уже дальше двинуться по учебнику.

[Лукомор]

electron2501 в сообщении #1608419 писал(а):

Решила систему получив вполне милые 5, 1 и 7 часов

Если $y$, работая один, по вашим данным, способен покрасить ворота за 1 час,
то работая вдвоем, они должны закончить работу нще быстрее.
А у Вас получается, что $x$ работая с ним в паре, не только не красит забор, но еще и всячески мешает: переворачивает банку с краской, отнимает и выбрасывает кисточку, донимает щелбанами...
Как это мило!

[Лукомор]

electron2501 в сообщении #1608419 писал(а):

Решила систему получив вполне милые 5, 1 и 7 часов

Систему Вы решили правильно.

Под Вашу систему можно даже подобрать условие задачи, например так:

Цитата:

"Мальчики x,y и z красят заборы.
Работая вместе x и y покрасили 3 забора за полсуток,
y и z 4 забора за полсуток,
а x и z 6 заборов за полсуток.
Сколько заборов покрасит каждый мальчик за сутки, работая по отдельности?"

Для этой задачи вы правильно составили уравнение, и правильно решили его.
Дкйствительно, за сутки $x$ покрасит $5$ заборов, $y$ покрасит $1$ забор, и $z$ покрасит $7$ заборов за сутки.

Теперь от этой задачи нужно перейти к той, которая Вам задана.
И если в этой задаче тот, кто покрасит больше заборов за сутки - тот быстрее работает,
то в Вашей задаче сравнивается время - кто меньше времени потратил на покраску
одного забора, тот и работает быстрее.
Это происходит потому, что объём проделанной работы в формуле скорости находится в числителе, а затраченное время - в знаменателе.
Объемы работ выполненных каждым участником, можно складывать, скорости работы можно складывать или вычитать, в зависимости от контекста, а вот со временем такой фокус не проходит.
Просто так сложить знаменатели двух дробей нельзя.

Единственный вариант - сложить скорости:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{S}{x}+\frac{S}{y}=\frac{S}{3} \\ \frac{S}{y}+\frac{S}{z}=\frac{S}{4}\\ \frac{S}{z}+\frac{S}{x}=\frac{S}{6}\\ \end{array} \right.$$