Определение вектора

[Xo4y3HaTb]

Понял! Всем большое спасибо за помощь!)

[sergey zhukov]

Xo4y3HaTb
Есть такое определение - вектор, это такой объект, компоненты которого меняются при замене координат согласно определенному правилу (связанному с правилами замены координат). Т.е. два числа - это еще не вектор (скажем, давление и температура в некоторой точке вектора не образуют). А вот если эти два числа при смене координат меняются связанно с правилом смены координат - это компоненты вектора.

Скажем (в двумерном случае), у стрелочки есть две проекции на оси координат (ее компоненты). Если от этих осей координат при помощи некоторого правила перейти к другим осям координат (выполнить замену координат), то проекции стрелочки изменятся, грубо говоря, в соответствии с "обратным правилом" замены координат. Поэтому стрелочка - это вектор. Давление и температура от замены координат никак не меняются.

И еще нужно понимать следующее. Скажем, в плоском случае, мы выбираем некоторую точку пространства $(x, y)$, а в этой точке, прямо внутри нее, существует некоторый вектор с двумя компонентами $(a, b)$. Это не отрезок от точки $(x, y)$ в точку $(a, b)$. Это вектор в точке $(x, y)$ с компонентами $(a, b)$.

[Xo4y3HaTb]

sergey zhukov в сообщении #1608412 писал(а):

И еще нужно понимать следующее. Скажем, в плоском случае, мы выбираем некоторую точку пространства $(x, y)$, а в этой точке, прямо внутри нее, существует некоторый вектор с двумя компонентами $(a, b)$. Это не отрезок от точки $(x, y)$ в точку $(a, b)$. Это вектор в точке $(x, y)$ с компонентами $(a, b)$.

Первые две мысли вроде понял, а вот последнюю нет. (Речь идёт не о векторном пространстве $\mathbb{R}^2$, а о евклидовой плоскости верно?) Мне представлялось, что В точке вообще не может существовать ничего, т.к. это бесконечно малый объект (возможно, наименьший в математике). Например, у меня есть некоторая точка (3,2). "Поселить" в неё можно же только нулевой* вектор с координатой (0,0)?

[dgwuqtj]

Это уже больше из дифференциальной геометрии. Иногда удобно с каждой точкой связать своё векторное пространство (скажем, касательное). Но оно не содержится в точке, а просто этой точкой пронумеровано.

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj
Ого, круто) Теперь понятней, спасибо! Но, думаю, пока мне это рановато.

[sergey zhukov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1608413 писал(а):

"Поселить" в неё можно же только нулевой* вектор с координатой (0,0)?

Нет, конечно. В точке может "жить" вектор любой длины, и даже сколько угодно векторов одновременно. Даже и более сложные объекты, чем векторы (скажем, тензоры) "живут" в точке. Неважно, что вектор из нее "торчит" куда-то еще. На самом деле он имеет отношение только к этой точке, показывает "силу" некоторой величины в этой точке, и эта величина имеет вот такую "силу" (длина вектора) и вот такое направление внутри этой точки.

Скажем для скалярных величин (типа температуры) можно просто точки пространства в разные цвета раскрашивать и цветом отображать величину температуры в точке. А вот если бы температура имела еще и направление, то одним цветом уже не обойтись. Нужно в точке как-то еще и "направление температуры" показывать. Прямо внутри точки направление не нарисовать. Приходится стрелочку, торчащую из точки, пририсовывать. Но нужно понимать, что она показывает именно направление и величину некоторой величины в этой самой точке. Если бы можно было как-то стрелку прямо внутри точки нарисовать, так бы и рисовали.

[Xo4y3HaTb]

sergey zhukov
Спасибо, не знал. Очень интересно! С температурой становится наглядно. Это к дифгему относится?

[sergey zhukov]

Xo4y3HaTb
Ну, относится, конечно. Это просто самый общий пример того, что вектор и более сложные объекты, которые даже и вне точки нарисовать невозможно, характеризуют некоторые величины именно в самой этой точке. Просто что там в ней самой можно нарисовать? Вот они и рисуются "вокруг нее". Скажем, симметричный тензор второго ранга (некоторые величины тензорные, а не векторные) можно нарисовать в виде эллипса. Этот эллипс тоже в точке находится, хотя и нарисован как-бы вокруг нее. Иначе просто не нарисуешь.

[Xo4y3HaTb]

sergey zhukov
Понял, буду иметь ввиду. Благодарю!

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1608409 писал(а):

Ну почему же? Векторы - это множества. Для множеств теоретико-множественные операции определены. Значит и для векторов тоже. И если говорить о векторах на евклидовой плоскости, то пересечение любых двух несовпадающих векторов пусто. Просто вектор - это не направленный отрезок, а класс таких направленных отрезков.

Проблема в том, что "класс эквивалентности направленных отрезков" - это не единственное определение вектора (и не самое естественное, как мне кажется). Важно, что в контексте любого использования векторов не важно, что они за множества и из чего состоят; а поэтому не будет большой ошибкой сказать, что они просто не являются множествами.

Важно, что векторы - это не множества точек, они не состоят из точек, никакие точки им не принадлежат. Из чего векторы состоят (и состоят ли вообще из чего-нибудь) - неважно, важны лишь операции над ними и свойства этих операций.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1608454 писал(а):

Важно, что в контексте любого использования векторов не важно, что они за множества и из чего состоят; а поэтому не будет большой ошибкой сказать, что они просто не являются множествами.

Лично я так не умею. Мне все равно нужно какое-то внятное и конкретное теоретико-множественное определение (будь то класс направленных отрезков или элемент группы, которая специальным образом (свободно, транзитивно и еще какие там условия нужны) действует на некотором множестве). Если что, я не против аксиоматических определений (точнее против, но не всегда и не слишком отчаянно ), но даже если у нас есть аксиоматическое определение векторного пространства, по-моему, это все равно не освобождает от того, чтобы явно строить векторы в конкретных случаях (типа той же евклидовой плоскости).

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1608459 писал(а):

Мне все равно нужно какое-то внятное и конкретное теоретико-множественное определение

Мне кажется, подобные жалобы в чужой теме в ПРР не уместны.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1608459 писал(а):

или элемент группы, которая специальным образом (свободно, транзитивно и еще какие там условия нужны) действует на некотором множестве)

Если что, само определение через группу тоже по сути аксиоматическое. Я имел в виду, что и в этом случае придется явно эту группу строить (как группу параллельных переносов, если мы рассматриваем плоскость школьной геометрии).