Записать бесконечное количество элементов можно, а выбрать из этой записи случайный элемент нельзя.
Вообще-то записать нельзя, чернил не хватит. Но можно определить. И можно даже из этого множества выбрать число, только если сказать как. Сказать "случайно", это значит, что нужно определить ещё и распределение.
В
вики же сначала вводится актуальная бесконечность, потом даются нестрогие доказательства, что
![$0.(9) = 1$ $0.(9) = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/f/9dfec0d6eca56fc9ef9b7647e20cad1282.png)
. Потом предлагается считать сумму актуальной бесконечности через предел:
...
Зачем это всё, если можно определить сразу через предел, как я написал выше, вовсе не вводя актуальную бесконечность?
Ну, там всё общие слова, но по-сути всё равно предел.
Да, множество натуральных чисел это совокупность всех натуральных чисел. Здесь лингвистически получается актуальная бесконечность. Мне интуитивно непонятно как можно, например, записать бесконечное множество и почему эта операция разрешена. Что потеряет математика, если эту операцию и всё что с ней связано запретить?
Если не принимать аксиому бесконечности, то будет нельзя. Например, есть бедный вариант аксиоматики теории множеств -
General set theory, в которой существование множества натуральных чисел недоказуемо. Эта теория по доказательной силе эквивалентна арифметике Пеано первого порядка.
И вообще если далее убрать множества, вместо n принадлежит множеству N можно говорить n является N(каким-либо натуральным числом). Знак придумать короткий, аналогично, только без актуальных бесконечностей, которые появляются сразу с определения понятия множество.
Легко. Но это будет унарная предикатная константа, которую нельзя будет, например, подставлять в качестве значения переменных. А если есть теория множеств, то уже можно.