Что дала актуальная бесконечность математике?

[epros]

talash в сообщении #1607988 писал(а):

Записать бесконечное количество элементов можно, а выбрать из этой записи случайный элемент нельзя.

Вообще-то записать нельзя, чернил не хватит. Но можно определить. И можно даже из этого множества выбрать число, только если сказать как. Сказать "случайно", это значит, что нужно определить ещё и распределение.

talash в сообщении #1607988 писал(а):

В вики же сначала вводится актуальная бесконечность, потом даются нестрогие доказательства, что $0.(9) = 1$. Потом предлагается считать сумму актуальной бесконечности через предел:
...
Зачем это всё, если можно определить сразу через предел, как я написал выше, вовсе не вводя актуальную бесконечность?

Ну, там всё общие слова, но по-сути всё равно предел.

talash в сообщении #1607988 писал(а):

Да, множество натуральных чисел это совокупность всех натуральных чисел. Здесь лингвистически получается актуальная бесконечность. Мне интуитивно непонятно как можно, например, записать бесконечное множество и почему эта операция разрешена. Что потеряет математика, если эту операцию и всё что с ней связано запретить?

Если не принимать аксиому бесконечности, то будет нельзя. Например, есть бедный вариант аксиоматики теории множеств - General set theory, в которой существование множества натуральных чисел недоказуемо. Эта теория по доказательной силе эквивалентна арифметике Пеано первого порядка.

talash в сообщении #1607988 писал(а):

И вообще если далее убрать множества, вместо n принадлежит множеству N можно говорить n является N(каким-либо натуральным числом). Знак придумать короткий, аналогично, только без актуальных бесконечностей, которые появляются сразу с определения понятия множество.

Легко. Но это будет унарная предикатная константа, которую нельзя будет, например, подставлять в качестве значения переменных. А если есть теория множеств, то уже можно.

[talash]

Agidel в сообщении #1607986 писал(а):

Актуальная бесконечность-это факт. Любой отрезок числовой оси включает актуальную бесконечность рациональных чисел. Оперируя отрезками мы производим действия с актуальной бесконечностью точек и это интуитивно понятно и вполне укладывается в голове.

Оперируя с отрезками мы на самом деле оперируем с двумя точками, концами этих отрезков, а не с актуальными бесконечностями каких-либо объектов.

-- 05.09.2023, 09:30 --

epros в сообщении #1607999 писал(а):

talash в сообщении #1607988 писал(а):

Записать бесконечное количество элементов можно, а выбрать из этой записи случайный элемент нельзя.

Вообще-то записать нельзя, чернил не хватит.

Ставят многоточия и записывают (смотри доказательство несчетности действительных чисел через диагональный аргумент
https://studfile.net/preview/1587940/page:19/). Если это некорректно, то и вопрос темы тогда закрыт.

[epros]

talash в сообщении #1608005 писал(а):

Ставят многоточия и записывают (смотри доказательство несчетности действительных чисел через диагональный аргумент
https://studfile.net/preview/1587940/page:19/). Если это некорректно, то и вопрос темы тогда закрыт.

Это некорректно, если троеточие неизвестно что означает. А если известно что, то корректно. В указанном по ссылке тексте троеточием обозначено продолжение натурального ряда. Это известно что, потому что ссылается на аксиоматику натуральных чисел. А вот если я запишу, например, $3.1415\ldots$, то это будет неизвестно что до тех пор, пока я не указал алгоритм расчёта следующей цифры.

[manul91]

epros в сообщении #1608012 писал(а):

Это некорректно, если троеточие неизвестно что означает. А если известно что, то корректно. В указанном по ссылке тексте троеточием обозначено продолжение натурального ряда. Это известно что, потому что ссылается на аксиоматику натуральных чисел. А вот если я запишу, например, $3.1415\ldots$, то это будет неизвестно что до тех пор, пока я не указал алгоритм расчёта следующей цифры.

Возьмем всех конечных последовательностей какого-то алфавита в лексикографическом порядке.
Из них выберем те которые являются коректными записями алгоритма на каком-то языке программирования (это всегда можно проверить конечным способом).
Из последних выберем только те конечные последовательности, чьи алгоритмы никогда не оканчиваются.
Обозначим это последнее множество последовательностей многоточием, {....}.

Вопрос: теперь это многоточие - "известно" что означает, или "неизвестно"? По вашему определению выходит что "неизвестно", поскольку нету общего алгоритма расчета следующего его члена.
Но, стандартная математика - все-таки позволяет нам утверждать для такого множества {...} "неизвестно чего" - что оно счетно (ибо бесконечное подмножество счетного множества).... Хотя и предъявить алгоритм отображения его элементов в явном виде на натуральном ряде нельзя.
Кажется, здесь никак не "проверяется", "свойство" множества {....} быть "счетным" (в обычном смысле как существования однозначного отображения на множество натуральных чисел) - это "свойство" {....} только следует из каких-то аксиом т.е. постулируется на вере, без "проверки"?

[epros]

manul91 в сообщении #1608033 писал(а):

Но, стандартная математика - все-таки позволяет нам утверждать для такого множества {...} "неизвестно чего" - что оно счетно (ибо бесконечное подмножество счетного множества).... Хотя и предъявить алгоритм отображения его элементов в явном виде на натуральном ряде нельзя.

Совершенно верно. Стандартная математика позволяет аксиоматически признавать за "существующие" массу совершенно воображаемых вещей. Скажу даже больше: Уже в той же теореме Кантора о несчётности предполагается, что выписаны любые последовательности цифр, независимо от того, можно ли их определить алгоритмом. А ведь известно, что некоторые последовательности никакими алгоритмами и вообще конечными формулами не определяются. В каком же тогда смысле мы можем считать, что они "выписаны"? Очевидно, классический математик должен предположить, что у него в руках находится некий оракул, который в ответ на любой вопрос типа: "Какая цифра стоит в ...той позиции ...той последовательности"? - всегда даёт один и тот же точный ответ. То, что таких оракулов в реальности никто не видел, никого не волнует. Математика - наука о воображаемом.

[manul91]

epros в сообщении #1608040 писал(а):

В каком же тогда смысле мы можем считать, что они "выписаны"? Очевидно, классический математик должен предположить, что у него в руках находится некий оракул, который в ответ на любой вопрос типа: "Какая цифра стоит в ...той позиции ...той последовательности"? - всегда даёт один и тот же точный ответ.

".. той последовательности.."... Так тут даже и никакой оракул не поможет.
В реальности нет не только таких оракулов, но нет и таких математиков.
Как известно, можно "дать имен" только счетному количеству реальных чисел - тоесть, практически у всех реальных чисел нет (и не может быть!) ни имен, ни конечых описаний.
(тем же макаром все возможные вопросы, которые можно задать оракулу - счетное количество).
Так что тогда будет спрашивать, математик у оракула? ; )

[epros]

manul91 в сообщении #1608062 писал(а):

Так что тогда будет спрашивать, математик у оракула? ; )

Неважно. Математику главное верить, что оракул как бы есть и даёт правильные ответы. Это позволяет считать, что всё это бесконечное количество бесконечных последовательностей, невыразимых никакими формулами, "существует".

[manul91]

epros в сообщении #1608071 писал(а):

Неважно. Математику главное верить, что оракул как бы есть и даёт правильные ответы. Это позволяет считать, что всё это бесконечное количество бесконечных последовательностей, невыразимых никакими формулами, "существует".

Как "множество возможных вопросов", так и "множество возможных ответов" - счетные по всех разумных определений (в силу требования конечности конкретного вопроса, и/или ответа).
С оракулом здесь "все в порядке" - у него только 10 возможных ответов (отвечает кратко и емко, называя цифру с 0 до 9).
Но математик же точно ведь должен знать (и верить?) - что не сможет задаст оракулу вопрос например, про миллионную цифру какой-то "конкретной" бесконечной последовательности (практически в 100% из случаев) - поскольку о какой именно последовательности идет речь он не сможет никак определить в своем вопросе к оракулу (не сможет ни назвать ее, ни описать ее, ни объяснить или еще чего).
Поэтому такой оракул, даже если он и "есть" - совершенно бесполезен.

[epros]

manul91 в сообщении #1608079 писал(а):

Но математик же точно ведь должен знать (и верить?) - что не сможет задаст оракулу вопрос например, про миллионную цифру какой-то "конкретной" бесконечной последовательности (практически в 100% из случаев) - поскольку о какой именно последовательности идет речь он не сможет никак определить в своем вопросе к оракулу (не сможет ни назвать ее, ни описать ее, ни объяснить или еще чего).

Что же мешает ему верить в то, что сможет?

[Null]

manul91 в сообщении #1608079 писал(а):

Поэтому такой оракул, даже если он и "есть" - совершенно бесполезен.

Бывают вопросы типа - возьмем какое-то множество, не пустое, и задаем вопрос "оракул выбери из него число и запомни, временно назовем его $X$". Такие числа возникают часто, но текстом они не описываются(один текст на несколько чисел).

[talash]

Я так понимаю ситуацию.

Мы физически не можем записать иррациональное число с бесконечной последовательностью цифр, но вводим специальное математическое правило, что записать таки можем, поставив многоточие. Поэтому это правило противоречит интуиции. Но математика не ограничена интуицией и в принципе допустимы любые непротиворечивые сущности. Но количество непротиворечивых сущностей не ограничено, поэтому должны быть критерии, какие сущности нужны математике, а какие не нужны. На мой взгляд критерий должен быть - практическая полезность. А какой ещё может быть критерий? При этом практическую полезность должны доказывать(не в математическом смысле) или показывать специалисты, вводящие новые математические сущности, другим специалистам, своим оппонентам. Если по вопросу полезности актуальной бесконечности был достигнут добровольный консенсус среди математиков, то значит должны быть какие-то ссылки на конструктивные беседы, приведшие к консенсусу.

[epros]

talash в сообщении #1608102 писал(а):

Мы физически не можем записать иррациональное число с бесконечной последовательностью цифр, но вводим специальное математическое правило, что записать таки можем, поставив многоточие.

Далось же Вам это многоточие. Нет никакого правила по его использованию. Многоточие обычно ставят там, где продолжение ряда очевидно. И уж точно его некорректно использовать для записи иррациональных чисел, ибо запись из нескольких цифр со следующим за ними многоточием никакого числа не определяет.

talash в сообщении #1608102 писал(а):

Если по вопросу полезности актуальной бесконечности был достигнут добровольный консенсус среди математиков, то значит должны быть какие-то ссылки на конструктивные беседы, приведшие к консенсусу.

По какому именно вопросу? Использования аксиомы бесконечности в теории множеств? Или использования многоточия в записях? Или о чём?

[manul91]

Null в сообщении #1608096 писал(а):

Бывают вопросы типа - возьмем какое-то множество, не пустое, и задаем вопрос "оракул выбери из него число и запомни, временно назовем его $X$". Такие числа возникают часто, но текстом они не описываются(один текст на несколько чисел).

Я имел ввиду "совершенно бесполезен" не вообще а по назначению - в конкретнем контексте - а именно "выдавать при запросе, разряды десятичных записей любых реальных чисел с нуля до единицы" - чтобы в данном смысле, с помощью этого оракула можно было бы считать их всех существующими.
Иначе конечно, можно вообразить что он может выдавать и классы каких-то невычислимых (без нем) последовательностей, для которых однако существуют конечные описания/имена.
Например константу Чаитина (номера неостанавливающихся алгоритмов на некоем языке в лексикографическом порядке) - если понятие неостанавливающегося алгоритма строго записывается конечным способом в каком-то формализме (в чем я не уверен - но не вижу почему нет). То тогда эта последовательность тоже будет в "полезнем репертуаре общения" с оракулом - так как для ней существует конечный запрос (проблема останова будет решаема с его помощью).
Тем не менее - с "исходном назначении" - чтобы с помощью внешней сущности иметь через потенциальную возможность узнавать конкретные разряды любых реальных чисел - никакой оракул не справится - и не потому что "ущербен" (мы можем в воображении наделить оракула какими угодно свойствами) - а просто потому что к-во возможных конечных вопросов к оракулу только счетное - а значит, "сильно недостаточно" чтобы через них можно было бы специфицировать весь континуум последовательностей.

[manul91]

epros в сообщении #1608091 писал(а):

Что же мешает ему верить в то, что сможет?

"Должна мешать" его (другая) вера в том, что мощность "существующего множества реальных чисел" по теореме Кантора - несчетно - а значит, возможными конечными вопросами (счетное множество) к оракулу всех их не специфицировать.
Так что классический математик, вроде должен понимать что нет смысла воображать/привлекать такого оракула для обоснования своей веры - т.к. уже из самого предмета веры следует, что репертуар возможного общения с оракулом в данном смысле ("способность выдавать ответ для любого разряда из любой последовательности, о которой его можно спросить") совершенно недостаточен.

[epros]

manul91 в сообщении #1608163 писал(а):

"Должна мешать" его (другая) вера в том, что мощность "существующего множества реальных чисел" по теореме Кантора - несчетно - а значит, возможными конечными вопросами (счетное множество) к оракулу всех их не специфицировать.

Это вообще ни при чём. До доказательства теоремы он и не знает, сколько существует последовательностей и имеет право предположить, что есть оракул, перечисляющий их всех.