Противоположные точки на окружности

[manul91]

Leeb в сообщении #1607302 писал(а):

Мне не очевидно, почему кривые, получаемые заметанием точек $P_1$ и $P_2$, обязательно непрерывные.

На интуитивном уровне, как то так:
Рассмотрим "кольцо" в начальном положении (оно "пригвоздено" к сфере на "оси" $O'O''$ вокруг которой его непрерывно вращаем, угол поворота пусть $\psi$, в начальном положении $\psi = 0$).
По одномерной теореме, в данном положении у него есть как минимум одна пара противоположных точек с одинаковыми значениями (на самом деле - это может быть какой-то "спектр" противоположных точек - но пока кажется что это дальнейшее рассуждение существенно не меняет - поэтому для упрощения изложения, далее будем считать считать что такие точки - только две, в любом положении кольца).
Рассмотрим какое-то "близкое" новое положение кольца - чутка повернутое вокруг $O'O''$ $\psi=\psi_1$. На него есть какая-то другая пара ("спектр") точек с одинаковыми противоположными значениями.
Теперь, в пределе когда $\psi_1 \rightarrow 0$, точки (спектр) для $\psi=\psi_1$ обязаны перейти в точек ("спектра") для $\psi=0$.
В каком-то смысле здесь нужно доказать что при малом повороте $d\psi$, пара ("спектр") противоположных точек должна "мало меняться" ("расходиться по кольце"), используя непрерывность $g$. Я не знаю как строго этого доказать - это и загвоздка - но что это так должно быть, кажется интуитивно очевидным...

Leeb в сообщении #1607302 писал(а):

Но это не значит, что выбирая в каждом слое по точке совсем произвольным образом, мы получим непрерывную кривую в квадрате

Так точки у нас вроде бы, не выбираются "произвольным образом". Если следовать аналогию с квадрате - точки в "близких" слоях нужно выбирать "близкими"....

[Leeb]

manul91 в сообщении #1607304 писал(а):

В каком-то смысле здесь нужно доказать что при малом повороте $d\psi$, пара ("спектр") противоположных точек должна "мало меняться", используя непрерывность $g$. Я не знаю как строго этого доказать - это и загвоздка - но что это так должно быть, кажется интуитивно очевидным...

Ровно это и мне кажется неочевидным. То есть, в данном случае мне даже "близость" $Р$-точек в близких окружностях не кажется интуитивной. В этом смысле у нас таких пар диаметральных точек на каждой окружности может быть несколько или даже бесконечно, но это не столь существенно - лишь бы понять, что хоть какая-то заметаемая кривая будет непрерывной (непрерывность диаметральной будет сразу очевидно следовать).

[manul91]

Leeb в сообщении #1607305 писал(а):

Ровно это и мне кажется неочевидным. То есть, в данном случае мне даже "близость" $Р$-точек в близких окружностях не кажется интуитивной.

Пусть в первом положении "функция на кольце" $g(\psi=0)$, а в слегка повернутом "функция на кольце" $g(\psi=\varepsilon)$. Разве из непрерывности $g$ на сфере не следует, что функция $g(\psi=0)$ будет "мало отличаться" от $g(\psi=\varepsilon)$? А значит, и пара точек ("спектр") тоже будет "мало отличаться"...?

[Leeb]

manul91 в сообщении #1607307 писал(а):

Leeb в сообщении #1607305 писал(а):

Ровно это и мне кажется неочевидным. То есть, в данном случае мне даже "близость" $Р$-точек в близких окружностях не кажется интуитивной.

Пусть в первом положении "функция на кольце" $g(\psi=0)$, а в слегка повернутом "функция на кольце" $g(\psi=\varepsilon)$. Разве из непрерывности $g$ на сфере не следует, что функция $g(\psi=0)$ будет "мало отличаться" от $g(\psi=\varepsilon)$? А значит, и пара точек ("спектр") тоже будет "мало отличаться"...?

Наверное да, не очень строго можно рассуждать, что раз функции $g|_\omega$ мало изменились, значит и их нули мало изменились, значит, точки будут "рядом", значит будет непрерывная кривая $P(t)$.

[KhAl]

manul91 сформулирую. На сфере с выделенными полюсами C, D задана непр. функция $f$, причём на любой большой окружности, проходящей через C, D, есть корень $f$. Можно предположить, что тогда есть кривая, обходящая полюс, на которой $f=0$. Вот контрпример (нарисованы все нули функции $f$, прочие линии уровня можно дорисовать по желанию — например, определить $f$ как расстояние до нарисованной фигуры. Пунктир означает линию на невидимой части сферы): https://imgur.com/a/ml6LvNH

[manul91]

KhAl в сообщении #1607313 писал(а):

manul91 сформулирую. На сфере с выделенными полюсами C, D задана непр. функция $f$, причём на любой большой окружности, проходящей через C, D, есть корень $f$. Можно предположить, что тогда есть кривая, обходящая полюс, на которой $f=0$. Вот контрпример (нарисованы все нули функции $f$, прочие линии уровня можно дорисовать по желанию — например, определить $f$ как расстояние до нарисованной фигуры. Пунктир означает линию на невидимой части сферы): https://imgur.com/a/ml6LvNH

Не совсем понял рисунок и причем здесь "линии уровня". Это просто линии - множества из пар точек где на противоположных концов $g$ принимает попарно-одинаковые значения (они отнюдь не обязаны быть "на одном уровне" - у разных их точек, значения $g$ - разные). Далее такие линии не могут быть несвязанными как на вашей картинке, т.к. тогда будет большая окружность (та, которая не пересекает линий) у которой не будет двух противоположных точек с одинаковыми значениями (а это требуется из теоремы про одномерном случае).

[KhAl]

manul91 писал(а):

Это просто линии - множества из пар точек где на противоположных концов $g$ принимает попарно-одинаковые значения (они отнюдь не обязаны быть "на одном уровне" - у разных их точек, значения $g$ - разные).

поэтому я и назвал функцию $f$, а не $g$. Моё утверждение не совпадает с вашим, но достаточно похоже, чтобы служить иллюстрацией, что не всё так очевидно, и рассуждение с непрерывностью не работает.

manul91 писал(а):

Далее такие линии не могут быть несвязанными как на вашей картинке, т.к. тогда будет большая окружность (та, которая не пересекает линий) у которой не будет двух противоположных точек с одинаковыми значениями

Ну вот на этой картинке таких окружностей, проходящих через $C$ и $D$, нету. Про то, что будет с окружностями, не проходящими через $C$ и $D$, я не знаю, но знаю, что всё это нифига не просто.

-- 31.08.2023, 12:21 --

manul91 писал(а):

большая окружность (та, которая не пересекает линий)

Не обязана быть для несвязных фигур, хотя в этом примере и есть.

[manul91]

KhAl в сообщении #1607385 писал(а):

Ну вот на этой картинке таких окружностей, проходящих через $C$ и $D$, нету. Про то, что будет с окружностями, не проходящими через $C$ и $D$, я не знаю, но знаю, что всё это нифига не просто.

$C$ и $D$ ("полюсы вращения кольца") на самом деле только "вспомагательные" для рассуждения (их можно брать произвольно).
Суть в том что у нас сфера, на поверхности которой отмечено множество попарно-противоположных точек в которых где значения функции $g$ попарно равны, $g$ непрерывна и т.д все прочие условия.
Вопрос в том, обязана ли существовать на ЭТОМ множестве непрерывная замкнутая кривая (пересекаемая любой большой окружности) - при условии конкретного его построения для данной задачи.

KhAl в сообщении #1607385 писал(а):

Не обязана быть для несвязных фигур, хотя в этом примере и есть.

KhAl в сообщении #1607385 писал(а):

Моё утверждение не совпадает с вашим, но достаточно похоже, чтобы служить иллюстрацией, что не всё так очевидно, и рассуждение с непрерывностью не работает.

В общем случае совершенно понятно, что на сфере может существувать такое прерывное множество попарно-противоположных точек, так что его будет пересекать любая большая окружность на сфере. Достаточно взять полусферу и нарисовать любую прерывную кривую (исходящей из некоей точки граничной окружности и заходящей в противоположной) - которая также пересекает любую большую полу-окружность на полусфере (это однозначно определяет и дополнение на другой полусфере).
Я этого не отрицаю - так что непонятно зачем такие "иллюстрации вообще" нужны.
Речь идет про данной задаче, а не вообще про "множество попарных точек на сфере" (которое пересекается любой большой окружности) и у которого тем не менее отсутствует подмножество в виде непрерывной замкнутой линии - понятно, что ничто не мешает таким (прерывным) множествам существовать в общем случае - вне контекста данной задачи.
С самого начала было ясно, что это и есть тонкий момент (и если вообще "доказательство" такого типа можно использовать - его нужно обосновать каким-либо образом, именно используя непрерывность функции $g$ на поверхности сферы).

Ключевое (неформальное) рассуждение (в данном случае, для данной конкретной задаче! а не вообще для любых множеств точек) которое используется, было уже выписано выше:

Leeb в сообщении #1607310 писал(а):

Наверное да, не очень строго можно рассуждать, что раз функции $g|_\omega$ мало изменились, значит и их нули мало изменились, значит, точки будут "рядом", значит будет непрерывная кривая $P(t)$.

Если это верно - т.е. если это утверждение можно формализовать - то с рассуждением все будет в порядке. И наоборот, если его опровергнуть - то это будет контрпримером.
Если вы можете предъявить контрпример на это - т.е. такой всегда непрерывной периодической функции широты/долготы $g(\varphi, \theta)$ (непрерывно однопараметризирумой долготы $\theta$), у которой в пределе $\theta \rightarrow 0$ соответные нули НЕ сходятся непрерывным образом.
То такой контрпример, будет уже релевантным - и будет означать, что доказательство такого типа не годится.

-- 31.08.2023, 16:06 --

KhAl
Кстати - кажется у меня как раз есть контрпример на пальцах - при "неподходящем" выборе полюсов (суть в том что нули могут "появляться" и "исчезать" в разных мест, несмотря на непрерывность). Если будет времени нарисую картинку

[manul91]

KhAl, Leeb
Вот, это мне кажется контрпримером:
https://imgur.com/a/Q3sNKtM
На картинке полусфера. Сплошной линией - те точки для которых $g$ имеет попарно-одинаковые значения с их противоположных ("нули").
Пунктиром - "вращение кольца". Видно что нули могут "исчезать" (и "появляться") в далеких несвязанных мест - из-за чего непрерывной линии на полусфере (пересекаемой "кольцом" в любом положении) не существует. И непрывность $g$ этому как бы не мешает.
Если теперь нарисуем "змейкой" линия попарно-одинаковости значений для другой функции $f$ на полусфере - так что она проходит "между" сплошных линий для $g$ (на рисунке не нарисована) - то получим как бы опровержение вообще исходной задачи для $S^2$.
Я вообще начал сомневаться, верно ли утверждение в задаче... (может, я не так понял условие) : ))

[Null]

Это Теорема Борсука — Улама

[Leeb]

manul91
Утверждение задачи точно верно, причем для любых n, для $n=2$ его можно доказать с привлечением фундаментальной группы (собственно, я уже писал об этом выше), это доказательство в некотором смысле обобщает идею доказательства одномерного случая, в котором вместо фундаментальной группы было число компонент линейной связности. Для $n\geqslant 3$ уже фундаментальной группой не обойтись и нужно привлекать более сложную технику топологии, хотя само утверждение, конечно же, остаётся верным.

Вообще, есть целый круг задач, представляющих собой взятие известных теорем из алгебраической топологии, но с требованием доказать их "не используя технику топологии". Например, доказать теорему Жордана таким образом, теорему Брауера, и т.д. Насколько мне известно, такие доказательства по сути повторяют доказательства из топологии, просто не говоря явно о терминах и вводя эту технику на ходу.

[manul91]

Null Leeb
Что-ж, я надеялся что для $S^2$ можно доказать и каким-нибудь "школьным" способом - наподобие одномерного.
Но по-видимому здесь без "продвинутой" топологии (фундаментальных групп и т.д.) не обойтись, в том или ином виде.
Кстати, мое (как оказалось, неверное) доказательство - к котором мой контрпример (как и сам контрпример) - не использует "всю наличную информацию для одномерном случае" - в смысле, что использует для одномерного случая факт наличия только для противоположных точек... а в одномерном случае валидно более сильное утверждение про наличии точек, отстоящих на любой угол (как было замечено еще в начале темы).
Функция $g$ как на моем рисунке в контрпримере - где ВСЕ противоположно-одинаковые точки, сводятся к сплошных линий на рисунке - т.е. ВСЕ остальные точки, попарно имеют разные значения - должна быть невозможной (должны быть еще какие-то точки $g$ с одинаковых значений).
Но из локальных окрестностей (и непрерывности) - не видно почему должно быть так - т.е. на это должны быть какие-то "интегрально-топологические" причины...

[KhAl]

manul91 в сообщении #1607419 писал(а):

KhAl, Leeb
На картинке полусфера. Сплошной линией - те точки для которых $g$ имеет попарно-одинаковые значения с их противоположных ("нули").

На этой картинке проблема в том, что в C и D $g(x) - g(-x)$ принимает противоположные значения, но находятся в одной области, в которой знак $g(x) + g(-x)$ постоянен.

А так ваш подход мне нравится, я даже думаю что в некотором смысле он единственно возможный... Только аналог теоремы 1 отсюда, которую я только что нагуглил, позволяет в качестве множества нулей любую экзотику, и я не уверен, что каким-то малым колебанием это можно исправить.

[manul91]

KhAl в сообщении #1607447 писал(а):

На этой картинке проблема в том, что в C и D $g(x) - g(-x)$ принимает противоположные значения, но находятся в одной области, в которой знак $g(x) + g(-x)$ постоянен.

Гениально!
Это означает, что не может существовать "пустой полосы/области" (пусть сколь угодно тесной) которая исходит из одной части граничного полукруга полусферы, и заходит в противоположной! "Пустой" имеется ввиду внутри которой где нет точки с попарным партнером (в которых $g$ принимает одинаковую величину).
Верно?

[KhAl]

manul91 верно. Проще думать не про $g$, а про $G(x) = g(x) - g(-x)$, тогда единственным ограничением на $G$ будет нечётность. Я пытался какие-то связанные с этим рисуночки на верхней полусфере (то, что на нижней, восстанавливается), сплющенной в диск, в связи с этим порисовать, но спотыкался как раз об то, что множество нулей может быть очень экзотичным. Единственное существенное ограничение в знаках $G$ на границе диска, но никакими кривыми дело всё равно не пахнет, могут быть всякие связные-линейнонесвязные замкнутые множества (а может это можно как-то исправить...)