Отель Кроннекера

[Doctor Boom]

По мотивам. Есть отель Кроннекера с бесконечным числом пронумерованных комнат, в которой живет по постояльцу. Пусть мы себя внезапно обнаружили среди этих постояльцев. Допустим, мы там родились и выросли, а номера что-то вроде коммунальных квартир. Спрашивается, если мы выйдем из своего номера, то какого порядка число увидим на двери своего номера?
Легко показать, что оно должно быть больше любого из натуральных чисел почти наверное, т.к. вероятность попасть в $n<N_1$ не больше $\frac{N_1}{N_2} \approx 0$ при $N_2 \gg N_1$.
А значит либо такой такой отель не может существовать даже гипотетически, либо мы на двери увидим число с бесконечным количеством цифр (допустим на двери можно уместить хоть все число пи), т.е. условие "за каждой комнатой следует другая комната с большим на единицу номером" влечет за собой существование "бесконечных" натуральных чисел.
Такие вот пироги

[mihaild]

Чтобы говорить об ожидании, нужно ввести вероятностную меру на квартирах. Сможете?)

Но вообще ничего плохого в бесконечном мат. ожидании нет. Например ожидание времени первого возвращения при одномерном случайном блуждании (вы каждую секунду делаете равновероятно шаг влево или вправо) бесконечно. Хотя наверняка вернетесь, и скорее всего довольно быстро.

[zykov]

Да, бесконечное матожидание встречается.
Вполне можно себе представить распределение вероятности с плотностью убывающей как $\frac{1}{x^2}$.
Сам итеграл сходится, так что можно отнормировать на единицу.
Интеграл матожидания расходится.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1607033 писал(а):

Чтобы говорить об ожидании, нужно ввести вероятностную меру на квартирах. Сможете?)

Не смогу, поэтому я и не говорил о матожидании
Я лишь говорил о возможности рассмотрения себя в качестве постояльца и о примерном порядке увиденного номера

mihaild в сообщении #1607033 писал(а):

Но вообще ничего плохого в бесконечном мат. ожидании нет. Например ожидание времени первого возвращения при одномерном случайном блуждании (вы каждую секунду делаете равновероятно шаг влево или вправо) бесконечно. Хотя наверняка вернетесь, и скорее всего довольно быстро.

Верно, но тут даже такого нет

[dgwuqtj]

А в каком смысле у вас тогда "почти наверное" и "вероятность"?

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1607033 писал(а):

Чтобы говорить об ожидании, нужно ввести вероятностную меру на квартирах. Сможете?)

Кстати, если номер квартиры представляет собой счетное число десятичных символов ("бесконечное" натуральное число), то там вероятностное распределение ввести можно

-- 29.08.2023, 13:32 --

dgwuqtj
Я рассматриваю вероятности на конечных подмножествах

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1607030 писал(а):

Допустим, мы там родились и выросли, а номера что-то вроде коммунальных квартир. Спрашивается, если мы выйдем из своего номера, то какого порядка число увидим на двери своего номера?

Зависит от того, кто родители.

-- 29.08.2023, 13:40 --

Doctor Boom в сообщении #1607030 писал(а):

А значит либо такой такой отель не может существовать даже гипотетически

Нет, всего лишь, что отель это не роддом.

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1607047 писал(а):

и о примерном порядке увиденного номера

А "примерный порядок" - это и есть ожидание.

Кстати с такой постановкой есть ИМХО более забавный парадокс.
Представьте, что я и Вы живем в разных квартирах, и возник вопрос, у кого квартира с большим номером. Поскольку априори ситуация симметричная, то я радостно должен согласиться поставить два доллара против ваших десяти. После этого я выхожу из своей квартиры, смотрю на номер, и понимаю, что Вы почти наверняка живете в квартире с большим номером, и значит я должен быть готов заплатить доллар за то, чтобы отменить пари. Что является несколько странным, поскольку, предпринимая действия, каждое из которых в среднем делает меня богаче, я гарантированно становлюсь беднее.

А почему отель Кронекера, а не Гильберта?

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1607054 писал(а):

Что является несколько странным, поскольку, предпринимая действия, каждое из которых в среднем делает меня богаче, я гарантированно становлюсь беднее.

Ага, а не является ли это доказательством того, что отель, в котором вы находитесь, имеет лишь конечное число комнат?

mihaild в сообщении #1607054 писал(а):

А почему отель Кронекера, а не Гильберта?

Наверное потому, что он немного роддом

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1607055 писал(а):

Ага, а не является ли это доказательством того, что отель, в котором вы находитесь, имеет лишь конечное число комнат?

Нет, это является доказательством того, что нельзя говорить о вероятности, не зафиксировав распределение.
(ну и еще что несобственные приоры уязвимы к dutch book)

[wrest]

Doctor Boom
Пронумеруем все рациональные числа из интервала $(0;1)$ натуральными. Это можно сделать, например, "змейкой". Вместо номера комнаты, нанесём рисунок: отрезок длиной 1 и точка, соответсвующая рациональному числу, соотвествующему натуральному числу в нашей нумерации, соответсвующему номеру комнаты. Так что

Doctor Boom в сообщении #1607030 писал(а):

Спрашивается, если мы выйдем из своего номера, то какого порядка число увидим на двери своего номера?

Увидим отрезок и точку где-то внутри него.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1607056 писал(а):

Нет, это является доказательством того, что нельзя говорить о вероятности, не зафиксировав распределение.

Т.е. мы не можем себя рассматривать в качестве постояльца такого отеля, который не имеет заранее априори выбранной позиции?

wrest в сообщении #1607058 писал(а):

Увидим отрезок и точку где-то внутри него.

Хитро, только вы по сути ввели равновероятностное распределение на рац. числах, а это невозможно (в отличии от действительных)

-- 29.08.2023, 14:56 --

mihaild
Кстати, а как вы определяете множество с конечным числом элементов?

-- 29.08.2023, 15:00 --

mihaild в сообщении #1607056 писал(а):

Нет, это является доказательством того, что нельзя говорить о вероятности, не зафиксировав распределение.

Кстати, а что нам мешает утверждать, что для всех множеств можно ввести вероятностное распределение?

mihaild в сообщении #1607056 писал(а):

ну и еще что несобственные приоры уязвимы к dutch book

А что это?

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1607071 писал(а):

Т.е. мы не можем себя рассматривать в качестве постояльца такого отеля, который не имеет заранее априори выбранной позиции?

Мы не можем говорить о вероятности оказаться в какой-то комнате.

Doctor Boom в сообщении #1607071 писал(а):

Кстати, а как вы определяете множество с конечным числом элементов?

Как равномощное некоторому элементу минимального индуктивного множества.

Doctor Boom в сообщении #1607071 писал(а):

Кстати, а что нам мешает утверждать, что для всех множеств можно ввести вероятностное распределение?

Ввести можно, но в зависимости от распределения ответ будет разным.

Doctor Boom в сообщении #1607071 писал(а):

А что это?

Википедия
Набор пари, каждое из которых по оценке агента ему в среднем выгодно, но в сумме гарантирующие проигрыш. В более широком смысле - стратегия, при которой каждое действие оценивается как выгодное, но приводящая к проигрышу в среднем.
Если выгодность оценивается как ожидание согласно какому-то распределению, то так не бывает, поэтому довольно разумно считать, что существование dutch book означает, что со взглядами агента что-то не так.

[wrest]

Doctor Boom в сообщении #1607071 писал(а):

Хитро, только вы по сути ввели равновероятностное распределение на рац. числах, а это невозможно (в отличии от действительных)

Ну хоть матожидание и не существует, но тем не менее можно сказать, что точка точно будет внутри отрезка и будет взаимно-однозначно сопоставлена номеру комнаты, то есть мы в каком-то смысле "увидим" этот номер.

Чтобы увидеть "порядок" этого номера, пронумеруем все порядки (порядок это же целая часть от десятичного логарифма, т.е. множество порядков натуральных чисел - счетное) и поступим точно так же: нарисуем точку на другом отрезке.

[sergey zhukov]

Чем-то это мне напомнило старый парадокс обмена. Имеется ведущий и два игрока $A$ и $B$. Каждому игроку ведущий дает закрытый конверт с деньгами, причем известно только одно: в одном конверте денег вдвое больше, чем в другом. Далее ведущий предлагает игрокам обменяться конвертами, если они хотят. $A$ думает, что если у него сумма $N$, то у $B$ равновероятно либо $2N$, либо $N/2$. Меняться в среднем выгодно. То же думает и $B$. Решение этого парадокса в том, что равномерного случайного распределения на бесконечном интервале не бывает.