Распределение скоростей из распределения плотности.

[panickyClam2]

amon в сообщении #1606811 писал(а):

Аналогично, плотность импульса (настоящая) будет $\sum_{i=1}^N p_i\delta(x-x_i(t))dx.$

Подождите, плотность импульса будет не $\sum_{i=1}^N p_i\delta(x-x_i(t))dx$, а $\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp$, из наивных соображений.

И мне кажется, что мы проделали некорректную операцию, когда "просуммировали" дельты от N частиц. То есть, плотность мы нашли таким образом, но "общая" плотность теряет как раз информацию. Корректнее для $N$ частиц применять описание $\delta(x - vt)$, в котором $x(t) \in \mathbb{R}^{3N}$, то есть, рассматривается прямое произведений пространств траекторий _всех_ частиц, а не общее пространство, в котором "летают дельты". Но для одной частицы это "пространство траекторий" будет совпадать с "пространством плотностей".

(Пишу, и очень мне не нравится "пространство траекторий", простите меня за sloppy notation.)

Цитата:

Все это к распределениям, понимаемым как вероятность найти что-то где-то, имеет опосредованное отношение. Что-нибудь прояснилось?

А как выглядит распределение, понимаемое как вероятность найти что-то где-то? Если нам известна траектория частицы, то, по идее, мы должны мочь и распределение, понимаемое как вероятность найти частицу в координате x, и распределение, понимаемое как вероятность найти, что у частицы скорость v, написать легко. И эти распределения должны быть чем-то вроде условных распределений некоторого "распределения на траекториях", содержащего полную информацию о системе? Проблема в такой модели в том, что очень легко написать "распределение на траекториях", которое будет абсолютно нефизично, а как задать ограничение "быть физичными" на "распределение на траекториях", я не очень понимаю. "дельта-распределение", с которого я начал тред, всё-таки всего-навсего попытка (быть может, неудачная) записать Первый закон Ньютона в виде распределения.

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606819 писал(а):

Подождите, плотность импульса будет не $\sum_{i=1}^N p_i\delta(x-x_i(t))dx$, а $\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp$, из наивных соображений.

Давайте медленно. Мы, вроде, выяснили, что $n(x,t)=\sum_{i=1}^N \delta(x-x_i(t))$ это плотность (истинная) числа частиц в том смысле, что ее интеграл по некоторой пространственной области $\Delta V$ будет давать точное, не среднее, число частиц в этой области в момент времени $t$. Тогда аналогичный интеграл от $p(x,t)=\sum_{i=1}^N p_i\delta(x-x_i(t))dx$ выдаст точный полный импульс этой пространственной области в момент времени $t$. Вопрос. Что такое $\sum_{i=1}^N \delta(p-p_i(t))$ и что сосчитает (в одномерном случае)

$$\int\limits_{p_0}^{p_1}\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp?$$

[panickyClam2]

1.

amon в сообщении #1606823 писал(а):

выдаст точный полный импульс этой пространственной области в момент времени

Что такое "точный полный импульс в пространственной области"? Количество частиц, которые в данном кубике летят в нужную сторону (с нужной скоростью)? Мне казалось, что импульс живёт в пространстве импульсов, а не в пространстве координат. И постольку, поскольку скорость есть производная от координаты, одно пространство должно переводиться в другое каким-то оператором, вероятно, неограниченным и как-то применяющим операцию дифференцирования (правда, сходу не очевидно, чего по чему).

2.

Цитата:

Вопрос. Что такое $\sum_{i=1}^N \delta(p-p_i(t))$ и что сосчитает (в одномерном случае)
$\int\limits_{p_0}^{p_1}\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp?$

Это, как раз, вроде бы, легко, это точное количество частиц, летящих со скоростями от $p_0$ до $p_1$, не важно где находящихся.

[panickyClam2]

3. Верно ли я понимаю, что при переходе от координаты к распределению, Первый закон Ньютона должен превратиться в "телеграфное уравнение"?

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606877 писал(а):

Это, как раз, вроде бы, легко, это точное количество частиц, летящих со скоростями от $p_0$ до $p_1$, не важно где находящихся.

Это относится к
1) $\sum_{i=1}^N \delta(p-p_i(t))$
или к
2) $\int\limits_{p_0}^{p_1}\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp?$
Если к последнему, то это неверно, если к 1), то остался без ответа вопрос что считает 2)

panickyClam2 в сообщении #1606877 писал(а):

Что такое "точный полный импульс в пространственной области"?

Векторная сумма импульсов частиц, которые в данный момент времени оказались в очерченной нами области пространства.

[panickyClam2]

amon в сообщении #1606928 писал(а):

2) $\int\limits_{p_0}^{p_1}\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp?$
то остался без ответа вопрос что считает 2)

Я не понимаю смысла этого выражения. Сумма никак не связанных между собой импульсов, домноженных на вероятности этих импульсов. Сумма яблок и абрикосов.
Интеграл функции распределения от $q_1$ до $q_2$ имеет смысл, это вероятность попасть в этот интервал. Интеграл $q\rho(q)$ по всем возможным значениям $q$ я тоже знаю, это математическое ожидание случайной величины. А вот что такое, $\int_{q_1}^{q_2} q\rho(q)dq$ мне не очень понятно. Возвращаясь к нашей задаче, формально можно сказать, что это сумма неправильно перенормированных условных матожиданий импульса, при условии, что импульс каждой частицы попадает в заданную область. В данном случае неправильная перенормировка не важна, потому что дельта сконцентрирована, поэтому можно сказать, что это "сумма скоростей частиц, попадающих в данную область". Поскольку скорости привязаны к разным частицам, складывать их нельзя, сложение их является суммой разнородных объектов.

Цитата:

panickyClam2 в сообщении #1606877 писал(а):

Что такое "точный полный импульс в пространственной области"?

Векторная сумма импульсов частиц, которые в данный момент времени оказались в очерченной нами области пространства.

Почему их можно складывать? Например, есть такая школьная задача на динамику -- две частицы летят друг на встрече другу с какими-то импульсами, сталкиваются, и разлетаются с другими импульсами. Тогда да, импульсы можно "как-то" сложить. Но даже в школьном учебнике в обязательном порядке есть уточнение, упруго сталкиваются частицы, или неупруго (спецификация взаимодействия). Если взаимодействия нет, то никакого смысла в сумме импульсов я не вижу.

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1607012 писал(а):

Сумма никак не связанных между собой импульсов, домноженных на вероятности этих импульсов.

В теор. физике есть такой замечательный принцип: "Shut up and calculate!" Впервые он был явно сформулирован основателями квантовой механики, но он прекрасно применим и к остальным разделам. Возьмите и сосчитайте интеграл по малой области $\Delta p$ от $\sum_{i=1}^N p_i\delta(p-p_i(t))dp,$ что получится? Вы все время пытаетесь прилепить к обсуждаемым выражениям где-то подслушанный термин "функция распределения". Функция распределения - это распределение вероятностей. Ее использование, как минимум, предполагает наличие хоть какой случайной величины. В выражениях типа $\sum_{i=1}^N \delta(x-x_i(t))dx$ нет ни одной случайной величины. Величины $x$ и $t$ это аргументы функции, я их точно знаю, поскольку сам их назначаю, а $x_i(t)$ -- известная функция времени. Поэтому называть это вероятностью ошибка. Настоящие функции распределения в стат. физике возникают тогда, когда мы настоящую траекторию сосчитать не можем. В газе хренова туча молекул, которые сталкиваются друг с другом и со стенками, для которых попытка сосчитать точную траекторию дело безнадежное. Тогда мы введем вероятность обнаружить систему в некотором состоянии. Состояние характеризуется импульсами и координатами всех частиц газа в данный момент времени. Поэтому вводится вероятность обнаружить систему с заданными координатами и импульсами $f(x_1,\dots,x_N,p_1,\dots,p_N,t),$ которая и называется функцией распределения. Аргументом этой функции будет точка в конфигурационном пространстве, которая в этом подходе является случайной величиной.

Возвращаясь к исходным вопросам. Величина $\sum_{i=1}^N \delta(p-p_i(t))$ это не вероятность, а плотность числа частиц, попадающий в заданную область в импульсном пространстве, причем слово "плотность" к плотности вероятности отношения не имеет. Оно означает, что интегрирование этой величины по области p-пространства даст нам точное число частиц в этой области. По этой же причине бессмыслен и исходный вопрос этой темы.

[panickyClam2]

Цитата:

Вы все время пытаетесь прилепить к обсуждаемым выражениям где-то подслушанный термин "функция распределения"

Да, пытаюсь, потому что это ровно то, что я хочу понять. После того, как я пойму пример с сингулярными распределениями, в которых и координата, и импульс точно известны, логично попробовать вместо дельты рассмотреть какое-то другое распределение, в котором уже ни координату, ни импульс нельзя будет найти _точно_, но, скорее всего, интуиция о том, как переходить из пространства координат в пространство скоростей, будет продолжать работать. В ньютоновской кинематике (если забыть про вращение), этот переход работает очень просто, берётся производная от координаты (которая известна в любой момент времени), и получается скорость в любой момент времени.

Чтобы получить формулировку законов классической кинематики на языке распределений, логично выразить классическую кинематику на этом языке, и получить результаты, в пределе сходящиеся к классической кинематике. Предел в данном случае получается в случае сингулярного распределения на вероятность найти точку в какой-то координате.

Цитата:

Поэтому вводится вероятность обнаружить систему с заданными координатами и импульсами $f(x_1,\dots,x_N,p_1,\dots,p_N,t),$ которая и называется функцией распределения. Аргументом этой функции будет точка в конфигурационном пространстве, которая в этом подходе является случайной величиной.

Вы в данном случае неявно используете переход от ньютоновской механики (уравнение движения второго порядка по координате, $ F(t) = ax''_t$ к гамильтоновой механике $ x'_t(t) = H'_p(t),\,p'_t(t) = - H'_x(t)$, с _вдвое большей_ размерностью. Это не запрещено, более того, так обычно и делается. Но это "понижение порядка за счёт размерности" совершено за счёт того, что $ q_i,\,q_j$ _зависят друг от друга_. Значит, одно можно получить из другого, если траектория известна.

В любом случае, спасибо что потратили время на попытку объяснить мне статистическую физику.

[amon]

panickyClam2, посмотрите девятый параграф четвертой главы Климонтовича, где выводится распределение Максвелла. Вдруг что пробьётся.