Вступительная задача в МФТИ, 1991

[Rasool]

Эту задачу я нашел в журнале Квант №1, 1992, стр. 64.
Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} (4x+y)(z+1)+4z=0\\ xy+y-x=-1\\ xy-zy+2z=1+x \end{cases}$$

Я пытался предположить, что могут образоваться кубические уравнения, где один корень будет равен нулю, поэтому наугад подставлял $x=0$, $y=0$ или $z=0$ - но ничего не вышло.
Я преобразовал исходную систему в:

$$\begin{cases} 4xz+yz+4x+y+4z=0\\ xy+y-x+1=0\\ xy-zy-x+2z-1=0 \end{cases}$$

Выразил y через z и x - через z:

$$ y = 2 \frac {z-1} {z+1} $$

$$ z = \frac {3z-1} {3-z} $$

Отсюда, подставляя x и y в первое выражение, получаем:

$$ 6z^3+36z^2+14z-6=0$$

- кубическое уравнение.

[dgwuqtj]

У кубического уравнения нет рациональных корней, так что стоит перепроверить выкладки. Я бы попробовал вычесть из третьего уравнения второе (чтобы избавиться от слагаемого $xy$).

[Gagarin1968]

Rasool в сообщении #1606404 писал(а):

$$ z = \frac {3z-1} {3-z}$$

Это что такое? Вот отсюда начинаются ошибки.

dgwuqtj в сообщении #1606405 писал(а):

Я бы попробовал вычесть из третьего уравнения второе (чтобы избавиться от слагаемого $xy$).

Да, наверное это проще всего. Позволяет избавиться не только от $xy$, но и от $x$.
Тогда в получившемся уравнении останутся 2 неизвестных: $y$ и $z$.
А во втором уравнении системы уже изначально 2 неизвестных: $x$ и $y$.
Дальше всё просто. У меня получилось 2 решения.

[Tasugare]

Цитата:

Дальше всё просто. У меня получилось 2 решения.

У меня что-то просто дальше не получается. Подскажите, пожалуйста, какие ходы дальше. Я сам дальше попробовал выразить y и z через x, используя полученное уравнение и второе. Потом подставить их в первое, там что-то получается трёхэтажное, даже не стал решать.

[Rasool]

dgwuqtj в сообщении #1606405 писал(а):

У кубического уравнения нет рациональных корней, так что стоит перепроверить выкладки. Я бы попробовал вычесть из третьего уравнения второе (чтобы избавиться от слагаемого $xy$).

Я пробовал, тоже получается кубическое уравнение.

[Gagarin1968]

Tasugare в сообщении #1606415 писал(а):

Я сам дальше попробовал выразить y и z через x, используя полученное уравнение и второе.

Как же Вы это делали, если в полученном после вычитания уравнении вообще нет $x$? Обратите внимание вот на это:

Gagarin1968 в сообщении #1606413 писал(а):

в получившемся уравнении останутся 2 неизвестных: $y$ и $z$.
А во втором уравнении системы уже изначально 2 неизвестных: $x$ и $y$.

В обоих уравнениях присутствует $y$. А значит и выражать надо всё через $y$. А потом подставляйте всё в первое уравнение, и будет Вам счастье.

[Gagarin1968]

Rasool в сообщении #1606404 писал(а):

Я пытался предположить, что могут образоваться кубические уравнения, где один корень будет равен нулю, поэтому наугад подставлял $x=0$

Rasool
Кстати, Вы попали пальцем в небо. Это таки да, одно из решений.

[dgwuqtj]

Насчёт кубических уравнений есть такое общее соображение: если $P(x)$ является многочленом с целыми коэффициентами и корнем в виде неприводимой дроби $\frac p q$, то $p$ делит свободный член (можно считать, что он ненулевой), а $q$ делит старший коэффициент. Так что рациональные корни легко найти перебором. Если у кубического уравнения с целыми коэффициентами нет рациональных корней, то все корни будут кубическими иррациональностями, то есть вряд ли встретятся в учебной задаче.

[Tasugare]

Gagarin1968 в сообщении #1606433 писал(а):

В обоих уравнениях присутствует $y$. А значит и выражать надо всё через $y$. А потом подставляйте всё в первое уравнение, и будет Вам счастье.

Вычитаем из третьего второе и выражаем z через y. Из второго выражаем х через у. Получается $z=(2+y)/(2-y)$ и $x=(1+y)/(1-y)$.
Подставляем все в первое и получаем кубическое уравнение:
$y^3+5y^2-15y-24=0$

[wrest]

Rasool в сообщении #1606429 писал(а):

Я пробовал, тоже получается кубическое уравнение.

Решается рабоче-крестьянски без хитростей. Я выражал $y$ из второго уравнения и $z$ из третьего через $x$.
Подставлял в первое, соответственно, вышло кубическое уравнение, у него три целых корня (уравнение простое, немедленно сводится к квадратному в виду отсутствия свободного члена), два корня из трёх подходят.

[Rasool]

dgwuqtj в сообщении #1606449 писал(а):

Насчёт кубических уравнений есть такое общее соображение: если $P(x)$ является многочленом с целыми коэффициентами и корнем в виде неприводимой дроби $\frac p q$, то $p$ делит свободный член (можно считать, что он ненулевой), а $q$ делит старший коэффициент. Так что рациональные корни легко найти перебором. Если у кубического уравнения с целыми коэффициентами нет рациональных корней, то все корни будут кубическими иррациональностями, то есть вряд ли встретятся в учебной задаче.

Спасибо за пояснение.

[nimepe]

При решении данной системы уравнений, если выразить $x,и z$ через $y$ , и подставив значение $x, и z$ в первое уравнение системы , получим после всех преобразований квадратное уравнение$y^2-2y-3=0$.Отсюда$y_1=-1 , y_2=3$.Значение $x,z$ найти не составит особого труда.