Задача на закон сохранения момента импульса

[Arsenucm]

Неоднородный жесткий стержень длиной l может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (точку О) перпендикулярно стержню, как показано на рисунке. Другой конец стержня прикреплен к вертикальной невесомой пружине жесткостью k. В начальном равновесном состоянии стержень находится в горизонтальном положении. Линейная плотность стержня изменяется по закону $\rho(x) = \alpha x$,а x – координата точки стержня, отсчитанная от точки О. В точку А на стержне (см. рис.), являющуюся его центром удара, попадает точечное тело массой m, падающее на стержень с высоты H без начальной скорости. Определите максимальную угловую скорость стержня после абсолютно неупругого соударения с телом. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, угол отклонения стержня от горизонтали считайте малым.
Я нашел массу и момент инерции неоднородного стержня, они соответственно равны $\alpha l^2 /2 $ и $\alpha l^4 /4$. Также нашел координату центра масс стержня: 2/3l. Мои идеи по этой задаче, так как столкновение происходит в центре удара, то сохраняется импульс: $mV = Mwx_{цм} + mU$, где х - координата центра масс, энергия не сохраняется, потому что удар неупругий, также выполняется закон изменения момента импульса, но с ним у меня проблемы. Я не понимаю, как здесь его правильно записать.

[Geen]

Arsenucm в сообщении #1606196 писал(а):

столкновение происходит в центре удара

Бомба всегда попадает в эпицентр взрыва.... что такое "центр удара"?

[мат-ламер]

Arsenucm в сообщении #1606196 писал(а):

выполняется закон изменения момента импульса, но с ним у меня проблемы. Я не понимаю, как здесь его правильно записать.

Момент импульса точечного тела до удара равен моменту его импульса после удара плюс момент импульса стержня после удара. Надеюсь момент инерции стержня сможете сами подсчитать.

[diletto]

Geen в сообщении #1606208 писал(а):

что такое "центр удара"?

Есть такая штука, да. Хорошо знакомая всем, кто лупил палкой по стволам деревьев :)
https://dic.academic.ru/dic.nsf/polytechnic/10444/%D0%A6%D0%95%D0%9D%D0%A2%D0%A0
Для однородного стержня, шарнирно закрепленного одним концом, центр удара находится на расстоянии двух третей длины от этого конца.

[мат-ламер]

diletto в сообщении #1606223 писал(а):

Для однородного стержня, шарнирно закрепленного одним концом, центр удара находится на расстоянии двух третей длины от этого конца.

Но у нас:

Arsenucm в сообщении #1606196 писал(а):

Линейная плотность стержня изменяется по закону $\rho(x) = \alpha x$

Надеюсь, подсчитав момент инерции стержня, ТС найдёт и центр удара.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1606233 писал(а):

Надеюсь, подсчитав момент инерции стержня, ТС найдёт и центр удара.

Наверное, я тут написал ерунду. По-видимому, это всё считать не надо. Как и всё связанное с моментом импульса. Просто надо воспользоваться законом сохранения импульса. Однако, неплохо бы ТС понять, почему именно мы можем так делать. И ключевой вопрос тут был - разобраться, что такое центр удара.

[Arsenucm]

Arsenucm в сообщении #1606196 писал(а):

Неоднородный жесткий стержень длиной l может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (точку О) перпендикулярно стержню, как показано на рисунке. Другой конец стержня прикреплен к вертикальной невесомой пружине жесткостью k. В начальном равновесном состоянии стержень находится в горизонтальном положении. Линейная плотность стержня изменяется по закону $\rho(x) = \alpha x$,а x – координата точки стержня, отсчитанная от точки О. В точку А на стержне (см. рис.), являющуюся его центром удара, попадает точечное тело массой m, падающее на стержень с высоты H без начальной скорости. Определите максимальную угловую скорость стержня после абсолютно неупругого соударения с телом. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, угол отклонения стержня от горизонтали считайте малым.
Я нашел массу и момент инерции неоднородного стержня, они соответственно равны $\alpha l^2 /2 $ и $\alpha l^4 /4$. Также нашел координату центра масс стержня: 2/3l. Мои идеи по этой задаче, так как столкновение происходит в центре удара, то сохраняется импульс: $mV = Mwx_{цм} + mU$, где х - координата центра масс, энергия не сохраняется, потому что удар неупругий, также выполняется закон изменения момента импульса, но с ним у меня проблемы. Я не понимаю, как здесь его правильно записать.

$M = \int\limits_{0}^{l} \alpha xdx = \alpha l^2/2$
$J = \int\limits_{0}^{l} \alpha x^3dx = \alpha l^4/4 $
$ x_{c} = \frac{\alpha l^3/3}{\alpha l^2 /3} =2/3 l $
ЗСИ (выполняется так как точка х - центр удара): $mV = M\omega x_{c} + m\omega x$
ЗСМИ: $mVx = J_{0} \omega$ , где $J_{0} = mx^2 + J$
Если решить эту систему, то получается, что $ x = 3/4 l, \omega = \frac{m\sqrt{2gH}}{\alpha l^3/3 + 3/4ml} $
Остается вопрос, зачем нужно было k?

[Anton_Peplov]

(Занудство)

Geen в сообщении #1606208 писал(а):

Бомба всегда попадает в эпицентр взрыва

Бомба попадает в центр взрыва. А эпицентр - это проекция центра на поверхность Земли. В случае воздушного, подземного или подводного взрыва эпицентр не совпадает с центром.

[Geen]

Arsenucm в сообщении #1606256 писал(а):

Остается вопрос, зачем нужно было k?

Так что же такое "центр удара"?
(И что у Вас за интересные формулы для $J$ и $x_c$?)

[Arsenucm]

Geen в сообщении #1606263 писал(а):

Arsenucm в сообщении #1606256 писал(а):

Остается вопрос, зачем нужно было k?

Так что же такое "центр удара"?
(И что у Вас за интересные формулы для $J$ и $x_c$?)

Центр удара - такая точка, что не создается дополнительная нагрузка в оси, т.е допустим, что сила оказываемая телом при ударе F: $F = m\frac{dv}{dt}, J\frac{d\omega}{dt} = Fx, x = \frac{J}{Mx_{c}}$. Точка х в данном примере центр удара. Для $J$ и $x_{c}$ просто воспользовался определением и проинтегрировал.

[Geen]

Arsenucm в сообщении #1606273 писал(а):

не создается дополнительная нагрузка в оси

Это несколько туманно... а у нас ещё и пружина, как бы, есть....

[Arsenucm]

Arsenucm в сообщении #1606256 писал(а):

Arsenucm в сообщении #1606196 писал(а):

Неоднородный жесткий стержень длиной l может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (точку О) перпендикулярно стержню, как показано на рисунке. Другой конец стержня прикреплен к вертикальной невесомой пружине жесткостью k. В начальном равновесном состоянии стержень находится в горизонтальном положении. Линейная плотность стержня изменяется по закону $\rho(x) = \alpha x$,а x – координата точки стержня, отсчитанная от точки О. В точку А на стержне (см. рис.), являющуюся его центром удара, попадает точечное тело массой m, падающее на стержень с высоты H без начальной скорости. Определите максимальную угловую скорость стержня после абсолютно неупругого соударения с телом. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, угол отклонения стержня от горизонтали считайте малым.
Я нашел массу и момент инерции неоднородного стержня, они соответственно равны $\alpha l^2 /2 $ и $\alpha l^4 /4$. Также нашел координату центра масс стержня: 2/3l. Мои идеи по этой задаче, так как столкновение происходит в центре удара, то сохраняется импульс: $mV = Mwx_{цм} + mU$, где х - координата центра масс, энергия не сохраняется, потому что удар неупругий, также выполняется закон изменения момента импульса, но с ним у меня проблемы. Я не понимаю, как здесь его правильно записать.

$M = \int\limits_{0}^{l} \alpha xdx = \alpha l^2/2$
$J = \int\limits_{0}^{l} \alpha x^3dx = \alpha l^4/4 $
$ x_{c} = \frac{\alpha l^3/3}{\alpha l^2 /3} =2/3 l $
ЗСИ (выполняется так как точка х - центр удара): $mV = M\omega x_{c} + m\omega x$
ЗСМИ: $mVx = J_{0} \omega$ , где $J_{0} = mx^2 + J$
Если решить эту систему, то получается, что $ x = 3/4 l, \omega = \frac{m\sqrt{2gH}}{\alpha l^3/3 + 3/4ml} $
Остается вопрос, зачем нужно было k?

Хотел бы узнать правильно ли я решил задачу

[sergey zhukov]

Arsenucm
На мой взгляд, пружина тут ни к чему. Ясно, что после удара возникнут гармонические колебания, причем максимальная скорость стержня определяется только кинетической энергией падающей массы независимо от жесткости пружины.

Задачу можно переформулировать так: дан горизонтальный стержень (с заданными параметрами) в невесомости. Масса $m$ с известным импульсом неупруго ударяет его в некоторой точке (перпендикулярно стержню) так, что что один из концов стержня остается неподвижным (центр удара). Найти угловую скорость стержня в момент удара. Решение у вас по моему правильное (рассуждения по крайней мере).

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1606344 писал(а):

ударяет его в некоторой точке

Тут высказывалась мысль, что не в некоторой, а в достаточно интересной точке, с которой советовали разобраться.