Вопрос по задаче из Беклемишева про базис и отображение

[Verbery]

В учебнике Беклемишева Гл.IV параграф 2 есть упражнение 7:
Линейное преобразование в системе координат $O, e_1, e_2$ задано формулами
$x^* = a_1 x + b_1 y + c_1$, $y^* = a_2 x + b_2 y + c_2$
Какими формулами оно задается в системе координат
а) $O, e_2, e_1$; б) $O, e_1, 2 e_2$.
--------------
Вот ход моего рассуждения при решении задачи для пункта a):
1) Предположим пока $c_1=0$ и $c_2=0$. Образ базисного вектора $e_1$ имеет следующие координаты в системе координат отображения:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^* = a_1& \\ y^* = a_2\\ \end{array} \right.$$

Аналогично вектор $e_2$ имеет координаты в системе координат отображения: $(b_1, b_2)$.
2) Из 1) следует, что любой вектор в системе координат отображения может быть расписан как сумма базисных векторов:$x^* = a_1 x + b_1 y$, $y^* = a_2 x + b_2 y$, где $x$ и $y$ - это модуль базисного вектора $e_1$ и $e_2$ соответственно
3) $e_1$ и $e_2$ в исходной системе координат меняются местами. Так как в системе координат отображения оси остались на своих местах, то координаты первого базисного вектора в ней будут: $(b_1, b_2)$ и второго $(a_1, a_2)$, и соответственно система будет выглядеть:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^* = b_1 x + a_1 y& \\ y^* = b_2 x + a_2 y\\ \end{array} \right.$$

Вопрос. Я посмотрел в ответах и это неверный ответ, но я не могу понять где ошибка в рассуждениях? И вообще я не могу понять почему замена базисных векторов местами как-то повлияла на отображение? Отображение это же это просто правило перемещения множества точек плоскости, почему изменение базиса повлиял на это правило?

[svv]

Verbery в сообщении #1605914 писал(а):

в системе координат отображения

Я думаю, этот термин обусловлен неправильным представлением (а не просто неточностью). В этой задаче две системы координат:
Старая система с началом $O$ и базисными векторами $\mathbf e_1,\mathbf e_2$.
Новая система с началом $O'$ и базисными векторами $\mathbf e'_1,\mathbf e'_2$.
При этом
$O'=O,\;\mathbf e'_1=\mathbf e_2,\;\mathbf e'_2=\mathbf e_1$ (вариант а)
$O'=O,\;\mathbf e'_1=\mathbf e_1,\;\mathbf e'_2=2\mathbf e_2$ (вариант б)
Отсюда следуют формулы, выражающие старые координаты $x,y$ через новые $x',y'$:
$x=y',\;y=x'$ (вариант а)
$x=x',\;y=2y'$ (вариант б)
Обратите внимание, что старые координаты выражаются через новые так же, как новые базисные векторы через старые. Так всегда будет при $O=O'$.

Обе эти системы координат сами по себе не имеют отношения к линейному преобразованию, заданному формулами
$x^* = a_1 x + b_1 y + c_1$
$y^* = a_2 x + b_2 y + c_2$
Тут не подразумевается, что $x,y$ — это координаты точки в одной системе, а $x^*,y^*$ — в другой. Это координаты двух разных точек, прообраза и образа, в старой системе. В задаче Вам нужно выразить их через координаты в новой системе (формулы преобразования см. выше).

Verbery в сообщении #1605914 писал(а):

И вообще я не могу понять почему замена базисных векторов местами как-то повлияла на отображение? Отображение это же это просто правило перемещения множества точек плоскости, почему изменение базиса повлиял на это правило?

Вы правы в том, что замена координат и базиса не влияет на отображение (я бы даже лайкнул то, что Вы написали ). Но поскольку мы записываем это отображение в координатах, оно иначе выглядит в другой системе.

Возможно, тут для понимания не хватает вот чего. У Беклемишева координаты обозначаются $x,y$, другие авторы обозначают их $x_1,x_2$ (такая система удобнее в многомерном случае, который и рассмотрим). Координаты точки $A$ в системе с центром $O$ и базисом $\mathbf e_1,...\mathbf e_n$ — это коэффициенты $x_1,...,x_n$ разложения вектора $\vec{OA}$ по базису:
$\vec{OA}=x_1\mathbf e_1+...+x_n\mathbf e_n$
Координата $x_k$ — это коэффициент, стоящий при базисном векторе $\mathbf e_k$. Значит, если мы поменяем базисные векторы $\mathbf e_4$ и $\mathbf e_7$ местами, четвёртый базисный вектор станет другим, а потому и четвёртая координата точки изменится.

[amon]

Verbery в сообщении #1605914 писал(а):

Линейное преобразование в системе координат $O, e_1, e_2$ задано формулами
$x^* = a_1 x + b_1 y + c_1$, $y^* = a_2 x + b_2 y + c_2$

А разве это линейное преобразование? По-моему, - аффинное.

[мат-ламер]

amon в сообщении #1605971 писал(а):

А разве это линейное преобразование? По-моему, - аффинное.

Далее в параграфе 6.3 Беклемишев линейное преобразование определяет стандартным образом. Главное, чтобы читатель не расслаблялся.

-- Вс авг 20, 2023 22:13:41 --

svv в сообщении #1605963 писал(а):

Обратите внимание, что старые координаты выражаются через новые так же, как новые базисные векторы через старые. Так всегда будет

Тут я немного не догнал. Но я вечером всегда туго соображаю (а в этом вопросе всегда путаюсь)

-- Вс авг 20, 2023 22:18:28 --

Если без теорий решать пункт а), то можно просто в формулах поменять местами $x$ и $y$ , а также $x^*$ и $y^*$ . Но будет ли это методически правильным? Не знаю.

[svv]

amon, в терминологии Беклемишева разница между аффинным и линейным преобразованием в том, что аффинное обязано быть взаимно однозначным, а линейное не обязано. Ну, а в этой задаче биективность не требуется.

мат-ламер в сообщении #1605975 писал(а):

Тут я немного не догнал.

Нет, это я поспешил, беру свои слова обратно. Правда в том, что векторы $\mathbf e'_k$ выражаются через $\mathbf e_i$ с помощью той же матрицы перехода $P^i{}_{k'}$, что и координаты $x^i$ через координаты $x'^k$. Только используется она по-разному. На примере $n=3$:
$\begin{array}{rcll}\begin{bmatrix}\mathbf e'_1&\mathbf e'_2&\mathbf e'_3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P^1{}_{1'}&P^1{}_{2'}&P^1{}_{3'}\\P^2{}_{1'}&P^2{}_{2'}&P^2{}_{3'}\\P^3{}_{1'}&P^3{}_{2'}&P^3{}_{3'}\end{bmatrix}&\text{или}\;\mathbf e'_k=\mathbf e_i P^i{}_{k'}\\[4ex]\begin{bmatrix}x^1\\x^2\\x^3\end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}P^1{}_{1'}&P^1{}_{2'}&P^1{}_{3'} \\P^2{}_{1'}&P^2{}_{2'}&P^2{}_{3'} \\P^3{}_{1'}&P^3{}_{2'}&P^3{}_{3'}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'^1 \\x'^2 \\x'^3\end{bmatrix}&\text{или}\;x^i=P^i{}_{k'} x^{k'}\end{array}$
В первой формуле элементами векторов-строк являются не числа, а базисные векторы, но смысл ясен — это надо перемножить по правилам матричного умножения, как если бы элементами были числа.

[Verbery]

svv в сообщении #1605963 писал(а):

Координаты точки $A$ в системе с центром $O$ и базисом $\mathbf e_1,...\mathbf e_n$ — это коэффициенты $x_1,...,x_n$ разложения вектора $\vec{OA}$ по базису:
$\vec{OA}=x_1\mathbf e_1+...+x_n\mathbf e_n$
Координата $x_k$ — это коэффициент, стоящий при базисном векторе $\mathbf e_k$. Значит, если мы поменяем базисные векторы $\mathbf e_4$ и $\mathbf e_7$ местами, четвёртый базисный вектор станет другим, а потому и четвёртая координата точки изменится.

Я думал при замене базиса точка $A$ как бы "уезжает" вслед за новым базисом и никакие коэффициенты менять не нужно. Таким образом как бы получаем биекцию точек из первого базиса во второй базис

svv в сообщении #1605963 писал(а):

Обе эти системы координат сами по себе не имеют отношения к линейному преобразованию, заданному формулами
$x^* = a_1 x + b_1 y + c_1$
$y^* = a_2 x + b_2 y + c_2$
Тут не подразумевается, что $x,y$ — это координаты точки в одной системе, а $x^*,y^*$ — в другой. Это координаты двух разных точек, прообраза и образа, в старой системе. В задаче Вам нужно выразить их через координаты в новой системе (формулы преобразования см. выше).

Я вроде так и делаю. То есть я смотрю на преобразование:
$x^* = a_1 x + b_1 y + c_1$
$y^* = a_2 x + b_2 y + c_2$
А потом просто в этой системе заменяю координаты старых векторов на новые координаты:
$x^* = a_1 y + b_1 x + c_1$
$y^* = a_2 y + b_2 x + c_2$
Но зачем люди ещё меняют местами $x^*$ и $y^*$ я не могу понять...

Вот и пункт б) я делаю по такому же принципу, просто расписываю координаты в самом преобразовании:
$x^* = a_1 x + b_1 (2y) + c_1$
$y^* = a_2 x + b_2 (2y) + c_2$
Но снова неверно. А правильный ответ вот такой:
$x^* = a_1 x + b_1 (2y) + c_1$
$y^* = \frac{1}{2}a_2 x + b_2 y + \frac{1}{2} c_2$
Который совсем ввёл меня в ступор. Почему так? Потому что мы должны сохранить длину вектора образа что ли?

[amon]

svv в сообщении #1605995 писал(а):

в терминологии Беклемишева разница между аффинным и линейным преобразованием в том, что аффинное обязано быть взаимно однозначным, а линейное не обязано.

А то, что для этого преобразования $\hat U(\mathbf{r_1}+\mathbf{r_2})\ne \hat U(\mathbf{r_1})+\hat U(\mathbf{r_2})$ это ничего?

[svv]

amon, это свойство "летит", конечно.
У Беклемишева так:


-- Пн авг 21, 2023 12:55:14 --

Verbery в сообщении #1606007 писал(а):

Я думал при замене базиса точка $A$ как бы "уезжает" вслед за новым базисом и никакие коэффициенты менять не нужно.

Хорошо, что Вы это сказали, это и есть корень проблемы. Прочитайте, пожалуйста, в этом фрагменте из справочника Корна по математике о двух вещах, которые надо различать:


(Больше подобных цитат здесь).

Итак:
Активное преобразование: каждая точка пространства с координатами $(x_1,...,x_n)$ отображается ("переходит") в другую точку того же пространства с координатами $(x'_1,...,x'_n)$.
Пассивное преобразование: каждая точка остаётся на месте, набор её координат $(x_1,...,x_n)$ в силу замены системы координат меняется на $(x'_1,...,x'_n)$.
При этом в обоих случаях можно написать нечто вроде $(x_1,...,x_n)\mapsto (x'_1,...,x'_n)$, но смысл совсем разный.

При пассивном преобразовании (замене координат/замене базиса) даже базисные векторы $\mathbf e_k$ не переходят в другие $\mathbf e'_k$. Все векторы остаются на месте, просто вместо одного базиса используется другой базис.

Можете ли Вы сказать, что в нашей задаче можно назвать активным преобразованием, а что пассивным?

[amon]

svv в сообщении #1606034 писал(а):

У Беклемишева так:

Жуть какая! Бедные дети.

[мат-ламер]

Verbery в сообщении #1606007 писал(а):

Но зачем люди ещё меняют местами $x^*$ и $y^*$ я не могу понять...

Относительно вопроса обмена пара $x^*$ и $y^*$ ничем не лучше и ничем не хуже, чем пара $x$ и $y$ .

[adfg]

Verbery в сообщении #1606007 писал(а):

Я вроде так и делаю.
Но зачем люди ещё меняют местами $x^*$ и $y^*$ я не могу понять...

Вот и пункт б) я делаю по такому же принципу,
Но снова неверно. А правильный ответ вот такой:
$x^* = a_1 x + b_1 (2y) + c_1$
$y^* = \frac{1}{2}a_2 x + b_2 y + \frac{1}{2} c_2$
Который совсем ввёл меня в ступор. Почему так?

Вообще, если $A$ - матрица, выражающая новый базис в координатах старого, а $B$ - исходное преобразование в старом базисе, то это же преобразование в новом должно иметь вид: $\tilde{B}=A^{-1}BA$

То есть, по смыслу, выражаем новый базис в координатах старого, потом проводим преобразование в исходном базисе, и наконец снова переходим к новому. Остается только матрицы перемножить.

[amon]

adfg в сообщении #1606105 писал(а):

Остается только матрицы перемножить.

Так прямо не получится - $c$ мешают.

[Verbery]

svv в сообщении #1606034 писал(а):

Можете ли Вы сказать, что в нашей задаче можно назвать активным преобразованием, а что пассивным?

Можно, например, так рассуждать. Если смена базиса у нас пассивная операция, то коэффициенты при базисных векторах нужно изменить на новые так, чтобы точки плоскости сохранили свои прежние места. Если же смена базиса "активная", то все коэффициенты останутся прежними
Судя по всему, в нашей задаче перевод в новый базис - это активная операция, а преобразование - это пассивная операция. В таком случае в пункте а) для того, чтобы сохранить образ точки на своём месте, нужно вначале поменять коэффициенты $a_i$ и $b_i$ и получить отражённую от диагонали точку. Далее чтобы вернуть её на прежнее место заменяем $x^*$ и $y^*$ местами и получаем формулу из ответа

[svv]

Verbery в сообщении #1606134 писал(а):

Если смена базиса у нас пассивная операция, то коэффициенты при базисных векторах нужно изменить на новые так, чтобы точки плоскости сохранили свои прежние места.

Да.

Verbery в сообщении #1606134 писал(а):

Если же смена базиса "активная", то все коэффициенты останутся прежними

В этом случае мы не говорим о смене базиса. Мы можем рассмотреть, во что линейное преобразование плоскости (3) переводит базисные векторы, но «по умолчанию» образы этих векторов не трактуются как новый базис! Дело в том, что линейное преобразование может быть вырожденным: оно переводит плоскость не в плоскость, а в прямую или даже в точку. И тогда образы базисных векторов сами не будут базисом (нет полноты, а есть линейная зависимость).

Verbery в сообщении #1606134 писал(а):

Судя по всему, в нашей задаче перевод в новый базис - это активная операция, а преобразование - это пассивная операция.

«Перевод в новый базис» — если имеется в виду рассмотрение образов базисных векторов как нового базиса, см. предыдущий абзац. Если смена базиса при преобразовании координат, тоже нет, см. ниже.

Активное преобразование — это формулы (3). Здесь одна точка плоскости $A$ с координатами $(x,y)$ переходит в другую точку $A^*$ с координатами $(x^*,y^*)$, но координаты обеих точек записаны в одной системе:
$\begin{cases}x^*=a_1x+b_1y+c_1\\y^*=a_2x+b_2y+c_2\end{cases}\qquad(3)$
Активное преобразование: в левой и правой части формул система одна, точки разные.

Пассивное преобразование — это формулы, выражающие координаты $(x,y)$ точки $A$ в системе $O,\mathbf e_1,\mathbf e_2$ через координаты $(x',y')$ той же точки в системе $O',\mathbf e'_1, \mathbf e'_2$.
В варианте а) задачи $O'=O, \;\mathbf e'_1=\mathbf e_2, \;\mathbf e'_2=\mathbf e_1.$
В варианте б) задачи $O'=O, \;\mathbf e'_1=\mathbf e_1, \;\mathbf e'_2=2\mathbf e_2.$
Формулы преобразования координат:
$\begin{cases}x=y'\\y=x'\end{cases}$ (вариант а) $\begin{cases}x=x'\\y=2y'\end{cases}$ (вариант б)
Пассивное преобразование: в левой и правой части формул точка одна, системы разные.

Контрольный вопрос. В одной задаче я видел формулы преобразования
$\tilde x=5x-3y,\;\tilde y=2x+7$
Они описывают активное преобразование или пассивное?

(Ответ)

Только по формулам этого нельзя сказать, могут быть оба варианта. Нужно знать смысл входящих сюда переменных.

Разберёмся с базисными векторами. Базисный вектор $\mathbf e_1$ соединяет точку с координатами $x=0, y=0$ (то есть начало $O$) и точку с координатами $x=1,y=0$. Аналогично, $\mathbf e_2$ соединяет начало $O$ и точку $x=0, y=1$. То есть базисные векторы неразрывно связаны с координатами. В другой системе будут в общем случае и другие базисные векторы.

Переходя к другой системе координат, мы вместо старого начала $O$ и старых базисных векторов $\mathbf e_i$ начинаем использовать новое начало $O'$ и новые базисные векторы $\mathbf e'_i$. Но точки пространства остаются на месте. Координатами $(x,y)$ точки $A$ называются коэффициенты разложения вектора $\vec{OA}$ по базисным векторам:
$\vec{OA}=x\mathbf e_1+y\mathbf e_2$
Берём другое начало, другой базис, точка та же:
$\vec{O'A}=x'\mathbf e'_1+y'\mathbf e'_2$
Это — пассивное преобразование.

Всю эту тему необходимо будет пройти ещё раз, когда Вы изучите матрицы в следующей главе 5 учебника. При этом нужно уже рассматривать общий случай $n$-мерного пространства, а не только случай плоскости $n=2$. Возможно, в учебнике в следующих главах так и делается. Матрицы позволяют лаконично записывать линейные преобразования координат (и активные, и пассивные), с ними вообще легко и приятно работать.

[Verbery]

svv
Да, я сперва неправильно понял эти понятия, сейчас разобрался. В пассивном происходит описание точки в другой системе координат, а в активном происходит "перенос" точки

svv в сообщении #1606166 писал(а):

но «по умолчанию» образы этих векторов не трактуются как новый базис!

Спасибо, эту ошибку тоже понял