Последовательность функций на любом множестве.

[AD]

Ух, таинственно как всё ... А неужели нельзя довести до "всюду" хотя бы измеримые функции? А то получилось бы, что не всегда существует перестановка множества $X$, делающая все функции из заданной последовательности измеримыми
_________________

Собственно, давайте я попробую на шаг откатиться. Изначально это вот всё откуда вылезло. Было бесконечномерное линейное пространство $E$, и в нём - фиксированная последовательность линейно-независимых векторов $\{x_k\}_{k=1}^\infty$.

"Мне бы хотелось", чтобы после любого введения на $E$ системы преднорм $\{\|\cdot\|_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$, делающих $E$ локально-выпуклым пространством, для некоторых $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ и $f:\Lambda\to\mathbb{R}^+$ имела бы место оценка $\|x_k\|_\lambda\le c_kf(\lambda)$. Методом, предложенным Хорхе, несложно построить систему преднорм, для которой такой оценки нету. Вопрос - может ли эта нехорошая система преднорм делать пространство $E$ полным топологическим линейным пространством?

[Хорхе]

Хорхе писал(а):

Да, для метрического компакта тоже не получается --- достаточно одноточечно компактифицировать мой пример и доопредилить $f_n$ в новой точке как угодно, например, нулем. Конечно, такие функции уже не будут непрерывными, зато, очевидно, будут борелевскими.

Вот тут я наврал, каюсь. Почему я решил, что компактификация метрического пространства --- снова метрическое пространство? С другой стороны, я не уверен, что это неправда. Я не знаю ответа на простой вопрос: будет ли одноточечная компактификация метрического пространства метрическим пространством. Мне стыдно.

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

AD писал(а):

А неужели нельзя довести до "всюду" хотя бы измеримые функции? А то получилось бы, что не всегда существует перестановка множества $X$, делающая все функции из заданной последовательности измеримыми

А это я не понял.

[AD]

Цитата:

А это я не понял.

А, ну и правильно, что не поняли. Я тоже перестал понимать.

Цитата:

Я не знаю ответа на простой вопрос: будет ли одноточечная компактификация метрического пространства метрическим пространством.

Прочитал в википедии: одноточечная компактификация хаусдорфова тогда и только тогда, когда само пространство хаусдорфово и локально компактно.
1. Это правда?
2. Это ответ?

[Хорхе]

AD писал(а):

1. Это правда?
2. Это ответ?

Вчера тоже заполнял пробелы в образовании и тоже такого начитался. Только не могу понять, к чему хаусдорфовость. То есть 1. Да. 2. Не знаю.
Но ответ я уже знаю -- действительно, пространство должно быть локально компактное, так что мой пример подходит.

[AD]

Хорхе в сообщении #160476 писал(а):

Только не могу понять, к чему хаусдорфовость.

Ну я имел в виду, что все метрические пространства хаусдорфовы, не более того.

[Хорхе]

AD писал(а):

Ну я имел в виду, что все метрические пространства хаусдорфовы, не более того.

Но не все хаусдорфовы метризуемы

[Someone]

Хорхе в сообщении #160373 писал(а):

Я не знаю ответа на простой вопрос: будет ли одноточечная компактификация метрического пространства метрическим пространством.

Тогда и только тогда, когда это метрическое пространство локально компактно и со счётной базой.