Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605167 писал(а):

Ничто не мешает говорить об объектах теории на метаязыке, называя их "множествами", если метатеорией подразумевается теория множеств.

$2$ момента:
1.А является ли "множество" действительных чисел объектом формальной теории комплексных чисел? По-моему, нет. Отдельное комплексное число, про которое мы как-то установили, что оно действительное - да является. Но вот вся совокупность действительных чисел - нет.
2. Что касается метаязыка. Говорить на метаязыке, конечно же, можно. Но использовать эти обороты речи при формулировании аксиом формальной теории явно нельзя. Я веду к тому, что формально в Ваших аксиомах никакого подполя нету. "Подполе" - это слово из метатеории.

Но у Вас есть каким-то образом определенный предикат вида "$x$ - действительное число". Собственно, вот этот $Y()$, который Вы используете - похоже он и есть. Вот Вы выше писали:

epros в сообщении #1605112 писал(а):

Остаётся только заменить выражения вида $x \in X$, которые неявно апеллируют к теории множеств, на выражения вида $X(x)$, которые просто соответствуют синтаксису исчисления предикатов, где $X$ - унарный предикатный символ, а $x$ - объектная переменая.

Т.е. типа просто возьмем $x \in \mathbb R$ и заменим его на $Y(x)$, где $Y()$ - унарный предикат. Но чтобы так сделать, надо определить явным образом этот предикат $Y()$. Вот прямо средствами формальной теории комплексных чисел определить предикат "$Y(x) - x \quad \text{является действительным числом}$". Я все еще не понимаю, как Вы этот предикат определяете.


Это все относится вот к этой строчке:

epros в сообщении #1605167 писал(а):

$\forall x_1,x_2~Y(x_1) \wedge Y(x_2) \to x_1 +_Y x_2 = x_1 +_X x_2$.

Выглядит так, будто Вы определяете действительные числа с использованием предиката $Y()$ - который сам является предикатом вида "$x$ - действительное число". Порочный круг получается.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605179 писал(а):

Вот прямо средствами формальной теории комплексных чисел определить предикат "$Y(x) - x \quad \text{является действительным числом}$". Я все еще не понимаю, как Вы этот предикат определяете.

Очень просто. Берёте аксиомы непрерывного упорядоченного поля и для всех упоминаемых в них объектных переменных $x_1$, $x_2$, ... дописываете преамбулу: Для любых $x_1$, $x_2$, ... из $Y(x_1) \wedge Y(x_2) \wedge \ldots$ следует, что ... Правда аксиома непрерывности, похоже, формализуется только утверждением второго порядка, ну да и ладно.

EminentVictorians в сообщении #1605179 писал(а):

Выглядит так, будто Вы определяете действительные числа с использованием предиката $Y()$ - который сам является предикатом вида "$x$ - действительное число". Порочный круг получается.

Это было про определение подполя, а не предиката "является действительным числом".

EminentVictorians, Вам не кажется, что мы куда-то далеко в сторону ушли?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605214 писал(а):

Правда аксиома непрерывности, похоже, формализуется только утверждением второго порядка, ну да и ладно.

Кстати да. Вроде бы как раз это я видел в книге Шапиро по логике второго порядка. Но точное утверждение искать лень, да и не больно важно.

epros в сообщении #1605214 писал(а):

EminentVictorians, Вам не кажется, что мы куда-то далеко в сторону ушли?

В целом, я Ваш подход понял. У меня только один вопрос остался - зачем так сложно? Это же совсем какой-то запредельный формализм. Зачем вообще вне специальных целей* рассматривать формальные теории, отличные от формальных теорий множеств? Все же гораздо проще получается, если есть множества.

(*Под специальными целями я имею в виду всякие автопруверы, компьютерную проверку и т.п.)

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605225 писал(а):

У меня только один вопрос остался - зачем так сложно?

Я не знаю, зачем это Вам понадобилось. Я уже начал бояться, что Вы сейчас у меня и формальное описание синтаксиса и аксиоматики классического исчисления предикатов первого порядка потребуете. Мне и словесных формулировок хватает. Например, когда мне говорят, что нечто изоморфно множеству действительных чисел, я понимаю: Ага, значит на нём выполняется соответствующий набор аксиом. Переписывать этот набор для собеседника обычно не требуется. Вы оказались исключением.

EminentVictorians в сообщении #1605225 писал(а):

Зачем вообще вне специальных целей* рассматривать формальные теории, отличные от формальных теорий множеств?

Уверяю Вас, что если Вы захотите с такой же степенью подробности рассмотреть формальную теорию множеств, то всё окажется ещё хуже. Гораздо хуже. Там одна аксиома выбора чего стоит. А в этой теме на неё, между прочим, тоже ссылались: Когда демонстрировалось, что множество, удовлетворяющее аксиомам 1-3 топикстартера, не может быть минимальным (без специальных оговорок по поводу минимальности). Для этого строилось подмножество, которое тоже удовлетворяет аксиомам 1-3. Так вот, это построение опирается на аксиому выбора. Если бы Вы потребовали формализовать это построение с такой же степенью подробности...

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605265 писал(а):

Например, когда мне говорят, что нечто изоморфно множеству действительных чисел, я понимаю: Ага, значит на нём выполняется соответствующий набор аксиом

..., и значит оно само является множеством действительных чисел.

Угадал ход мыслей?

[epros]

Верной дорогой идёте, товарищи EminentVictorians. А у Вас есть против этого возражения? Например, у нас есть множество Дедекиндовых сечений, множество бесконечных десятичных дробей, множество бесконечных двоичных дробей. На каждом из них соответствующим образом определены сложение, умножение и порядок. Все они изоморфны друг другу. Какое из них "настоящее" множество действительных чисел? Или всё же любое из них можно назвать множеством действительных чисел?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605300 писал(а):

А у Вас есть против этого возражения?

Есть. Как только Вы назвали какое-то множество "множеством действительных чисел", нельзя потом взять другое множество и тоже называть его "множеством действительных чисел". Это разные множества (в силу аксиомы объемности). Придется явно проговаривать, что такое-то множество "является множеством, изоморфным множеству действительных чисел".

epros в сообщении #1605300 писал(а):

Все они изоморфны друг другу. Какое из них "настоящее" множество действительных чисел?

А любое. Берите любое и называйте его "множеством действительных чисел". Просто потом не используйте это называние для другого множества.

epros в сообщении #1605300 писал(а):

Или всё же любое из них можно назвать множеством действительных чисел?

Назвать можно любое. Но Вы должны всех предупредить о своем выборе, и после этого уже не использовать то название, которое сами же застолбили, для других множеств.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605302 писал(а):

Как только Вы назвали какое-то множество "множеством действительных чисел"

"Как только" - это когда именно? Если я сейчас выберу Дедекиндовы сечения, то завтра уже не имею права передумать?

EminentVictorians в сообщении #1605302 писал(а):

Просто потом не используйте это называние для другого множества.

Прямо никогда-никогда?

EminentVictorians в сообщении #1605302 писал(а):

Вы должны всех предупредить о своем выборе

Прямо "всех"? О, горе мне...

[EminentVictorians]

Видимо, опять с пути истинного свернул Рефлексы.

epros в сообщении #1605345 писал(а):

"Как только" - это когда именно?

Знаете, как с договорами. "Договор вступает в силу сразу после подписания." Тоже будете спрашивать: "Сразу - это когда именно?"

epros в сообщении #1605345 писал(а):

Если я сейчас выберу Дедекиндовы сечения, то завтра уже не имею права передумать?

Имеете. Но как только(с) присвоите название новому множеству, потеряете пласт теорем, которые были справедливы до этого присвоения.

[mihaild]

Мне всё же кажется полезным иметь возможность отличать изоморфные структуры от совпадающих. Да, часто такая возможность не нужна. Когда говорят "найти нетривиальные подгруппы $\mathbb Z_6$", то ответом будет "$\mathbb Z_2$ и $\mathbb Z_3$", несмотря на то, что если взять стандартные определения $\mathbb Z_n$ (классы эквивалентности с понятно какой операцией) и подгруппы (группа, носитель которой есть подмножество носителя исходной группы, а операции получаются ограничением), то $\mathbb Z_2$ не является подгруппой $\mathbb Z_6$.

С вещественными числами то же самое. В начале учебника матана или даже функана можно написать "$\mathbb C$ и $\mathbb R$ - какие-нибудь поля с нужными свойствами, $\mathbb R \subset \mathbb C$, $i \in \mathbb C$", и далее во всём курсе считать их просто какими-то конкретными множествами, но неважно, какими (в частности, задавать вопрос о $\varnothing \in^? \mathbb R$ бессмысленно). Но если закапываться до уровня теории множеств, то нужно всё же проверять, является ли $\varnothing$ вещественным числом или нет.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605348 писал(а):

epros в сообщении #1605345 писал(а):

"Как только" - это когда именно?

Знаете, как с договорами. "Договор вступает в силу сразу после подписания." Тоже будете спрашивать: "Сразу - это когда именно?"

А я вот предложу такой вариант ответа на свой вопрос: "Никогда без особой на то необходимости".

Это значит, что если особой необходимости нет, то пусть читатель сам когда угодно выберет (если захочет), какую модель действительных чисел использовать. А "особая необходимость", это, например, когда я хочу что-то сказать именно про Дедекиндовы сечения.

Устроит?

EminentVictorians в сообщении #1605348 писал(а):

Но как только(с) присвоите название новому множеству, потеряете пласт теорем, которые были справедливы до этого присвоения.

Это как?

mihaild в сообщении #1605350 писал(а):

Мне всё же кажется полезным иметь возможность отличать изоморфные структуры от совпадающих.

Конечно же их нужно отличать всегда. Потому что если мы скажем, что $A$ изоморфно $\mathbb{R}$ и $B$ изоморфно $\mathbb{R}$, то это не означает, что $A$ совпадает с $B$. А если мы скажем, что $A$ совпадает с $\mathbb{R}$ и $B$ совпадает $\mathbb{R}$, то получим совершенно иную ситуацию: $A$ и $B$ совпадают.

mihaild в сообщении #1605350 писал(а):

Но если закапываться до уровня теории множеств, то нужно всё же проверять, является ли $\varnothing$ вещественным числом или нет.

$\varnothing$ - объект самой теории множеств, в ней есть утверждение о его существовании, а этот символ - константа, присвоенная этому существующему объекту в качестве названия. Строго говоря, конечно, мы должны консервативно расширить теорию множеств, добавив в сигнатуру этот символ, а в аксиоматику - аксиому, утверждающую, что $\varnothing$ равен тому множеству, у которого нет элементов. Но этот шаг можно считать автоматически подразумеваемым.

$\mathbb{R}$ - другое дело. Прежде, чем что-то сказать об этом объекте, его нужно как-то определить. Если определением будут добавленные аксиом непрерывного упорядоченного поля (для данного $\mathbb{R}$), то вывести отсюда $\varnothing \in \mathbb{R}$ (или $\varnothing \notin \mathbb{R}$), как я понимаю, не получится. Но если определить его как булеан минимального бесконечного множества, с добавлением соответствующих аксиом упорядоченного поля, то $\varnothing \in \mathbb{R}$ будет следовать из определения. Потому что фактически последнее определение - это готовая модель для $\mathbb{R}$, построенная в рамках той же теории множеств.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1605350 писал(а):

В начале учебника матана или даже функана можно написать "$\mathbb C$ и $\mathbb R$ - какие-нибудь поля с нужными свойствами, $\mathbb R \subset \mathbb C$, $i \in \mathbb C$", и далее во всём курсе считать их просто какими-то конкретными множествами

Извините, только не надо поле считать множеством и давать им одинаковые обозначения.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605368 писал(а):

Это как?

Сечением Дедекинда будем считать понятно какую упорядоченную пару из двух подмножество $\mathbb Q$.
Пусть сегодня у Вас действительные числа определяются через сечения Дедекинда. Тогда сегодня будет справедлива теорема:

Теорема
Всякое действительное число является конечным множеством.

Доказательство:
Упорядоченная пара является конечным множеством, чтд.

И если завтра Вы станете определять действительные числа как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей, то эта теорема больше не будет справедлива (т.к. любой класс эквивалентности будет, как множество, бесконечным).

Вы, конечно, скажете, что это и есть та самая "особая необходимость". Но, по-моему, это какая-то борьба со здравым смыслом. Определите, что в точности означает эта самая "особая необходимость", и дальше уже можно будет что-то более конкретное сказать.

[mihaild]

epros в сообщении #1605368 писал(а):

Конечно же их нужно отличать всегда

Тогда нельзя говорить, что поле $\mathbb C$ "содержит подполе $\mathbb R$". Если конечно мы не построили множество комплексных чисел специальным хитрым образом.

epros в сообщении #1605368 писал(а):

Но если определить его как булеан минимального бесконечного множества, с добавлением соответствующих аксиом упорядоченного поля, то $\varnothing \in \mathbb{R}$ будет следовать из определения.

Ещё операции нужны.

vicvolf в сообщении #1605370 писал(а):

только не надо поле считать множеством

В теории множеств ничего кроме множеств нет, поле это тоже множество.
Но да, формально надо конечно писать $(\text{носитель } \mathbb R) \subset (\text{носитель } \mathbb C)$. На практике это приносит больше проблем чем пользы.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1605378 писал(а):

vicvolf в сообщении #1605370 писал(а):

только не надо поле считать множеством

В теории множеств ничего кроме множеств нет,

Мы говорим об алгебре, а не о теории множеств.

mihaild в сообщении #1605378 писал(а):

поле это тоже множество.

Это неверно. Поле - это алгебра.

mihaild в сообщении #1605378 писал(а):

Но да, формально надо конечно писать $(\text{носитель } \mathbb R) \subset (\text{носитель } \mathbb C)$.

$\mathbb R,\mathbb C$ - это обозначения соответствующих множеств, а не полей. Это не формальность.

mihaild в сообщении #1605378 писал(а):

На практике это приносит больше проблем чем пользы.

Когда Вы доказываете, что это определенное поле, то доказываете, что над элементами данного множества выполняются операции поля. Например, в этой теме мы доказывали, что это поле комплексных чисел, т.е. выполнение всех операций поля над элементами множества комплексных чисел. Без операций не существует алгебры, а следовательно поля. А Вы говорите, что надо забыть об этих операциях и говорить только о множествах.