Кострикин. Курс алгебры, задачник

[мат-ламер]

KhAl в сообщении #1601048 писал(а):

значение произвольного степенного ряда, в смысле?

Во-первых, он не совсем произвольный. Он определяется нашей функцией. Во-вторых, этот ряд должен сходиться:

мат-ламер в сообщении #1601025 писал(а):

если она существует

В-третьих, я наверное не до конца понял вопрос.

KhAl в сообщении #1601048 писал(а):

функция это очень общее понятие)

Числовая функция - да. Но мы говорим о матричной функции, определяя её в нашем случае, как сумму ряда.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1601025 писал(а):

Попробуйте единицу на диагонали заменить в этой матрице на произвольное число $\lambda$ .

Да, спасибо, обязательно попробую.

мат-ламер в сообщении #1601025 писал(а):

Упражнение со звёздочкой (даже с двумя

М-м-м... Заинтегрировали, ой, заинтриговали

Я обязательно попробую и это, но потом, а пока смотрите, какую интереснятину я нашел в прорешиваемом задачнике:

а) я уже решил непосредственно в лоб, исходя из разложения экспоненты в ряд, но мне интересно, помимо этого, еще и то, что я откопал попутно: я, кажется, так сказать, придумал, как вычислять произвольные, в том числе и $n$ - е степени, произвольных матриц, получая ответ не в форме реккуренты, а в явном виде представления элементов получающейся матрицы в виде выражения. Но этот метод уже известен состоявшимся математикам, это понятно, просто я о нем не слыхал. В процессе этого нужно решить кучу рекуррентных уравнений. Вчера я так решил букву а). Сейчас хочу еще попробовать несколько примеров, в том числе и для случайно сгенерированных в Maple матриц: попробовать для них вычислить в явном виде и $n$ - е степени, и какие-нибудь функции. Но, понятно, что, скорее всего, степени матрицы будет получаться всегда, а вот функции от случайной матрицы, там, $\sin$, $\ln$, точно не всегда будут вычисляться, потому что не от каждой матрицы они существуют.

-- 16.07.2023, 21:16 --

Смотрите. Я же могу, к примеру, так перегруппировывать члены ряда: $1+\dfrac{2^{1-1}(2+1)}{1!}+\dfrac{2^{2-1}(2+2)}{2!}+\dfrac{2^{3-1}(2+3)}{3!}+\ldots+\dfrac{2^{n-1}(2+n)}{n!}+\ldots=\left(1+\dfrac{2^{1}}{1!}+\dfrac{2^{2}}{2!}+\dfrac{2^{3}}{3!}+\ldots+\dfrac{2^{n}}{n!}+\ldots\right)+\left(\dfrac{2^{1-1}}{(1-1)!}+\dfrac{2^{2-1}}{(2-1)!}+\dfrac{2^{3-1}}{(3-1)!}+\ldots+\dfrac{2^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots\right)$?

(Оффтоп)

Вчера просто за инет маме не получилось сходить оплатить.

[Sinoid]

А вот смотрите. Дана вырожденная квадратная матрица. Определена ли, существует ли для нее нулевая степень? Это, наверное, вопрос из того же разряда, из которого и вопрос "чему равно $0^0$", так ведь?

[svv]

В 42.19 в) опечатка: элемент в правом нижнем углу должен быть равен не $7$, а $-7$.
Я Вам говорил про формулу Сильвестра? С ней намного легче, но нужно уметь вычислять собственные значения матрицы (и она применима, только когда все собственные значения различны).

Sinoid в сообщении #1603825 писал(а):

Определена ли, существует ли для нее нулевая степень?

Определена и равна $E$.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1603829 писал(а):

Определена и равна $E$.

Однако Sinoid слово "квадратная" в своём вопросе зачеркнул.

[svv]

Потому что оно избыточно — вырожденная матрица может быть только квадратной.

[Sinoid]

svv в сообщении #1603833 писал(а):

Потому что оно избыточно — вырожденная матрица может быть только квадратной.

+1000

-- 04.08.2023, 00:57 --

мат-ламер в сообщении #1603832 писал(а):

svv в сообщении #1603829 писал(а):

Определена и равна $E$.

Однако Sinoid слово "квадратная" в своём вопросе зачеркнул.

мат-ламер, а что вы имели ввиду? Я что-то не понял.

-- 04.08.2023, 01:11 --

svv в сообщении #1603829 писал(а):

В 42.19 в) опечатка: элемент в правом нижнем углу должен быть равен не $7$, а $-7$.

Да, действительно, в издании 2009 года там стоит -7. Попробую тогда прикинуть для этой матрицы.

svv в сообщении #1603829 писал(а):

Я Вам говорил про формулу Сильвестра
? С ней намного легче, но нужно уметь вычислять собственные значения матрицы (и она применима, только когда все собственные значения различны).

Я понимаю, но сейчас я хочу увидеть весь механизм этого всего изнутри, пощупать, что называется, руками.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1603853 писал(а):

мат-ламер, а что вы имели ввиду? Я что-то не понял.

(Извиняюсь, что не сразу отвечаю). Да я ничего не имел в виду. Я просто растерялся. Думаю, что если это слово было бы просто лишнее, то вы бы его просто удалили. А раз зачеркнули, то думаю, что вы что-то имеете в виду. А что, я не понял. Может понятие вырожденности на неквадратные матрицы уже рассматриваете?

[Sinoid]

мат-ламер
ясно.

[Sinoid]

Посмотрите, пожалуйста, мою попытку решить задачу 17.29:

Здесь $[A,\,B]$ - коммутатор матриц $A$ и $B$: $[A,\,B]=AB-BA$. Я напишу свою попытку для матриц второго порядка. У меня такое впечатление, что в условии чего-то не хватает. Итак, по условию $X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ b_{2\,1} & b_{2\,2} \end{pmatrix}$. Тогда условие $AX-XA=X$ ($[A,\,X]=X$) запишется так: $\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$,

(продолжение решения)

или $\begin{pmatrix}0 & a_{1\,1}\\ 0 & a_{2\,1} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_{2\,1} & a_{2\,2}\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, откуда $\begin{pmatrix}-a_{2\,1} & a_{1\,1}-a_{2\,2}\\ 0 & a_{2\,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Из последнего матричного равенства получаем: $a_{2\,1}=0$, $a_{1\,1}-a_{2\,2}=1$, или $a_{1\,1}=a_{2\,2}+1$, после чего мы матрицу $A$ можем переписать в следующем виде: $A=\begin{pmatrix}a_{22}+1 & a_{1\,2}\\ 0 & a_{2\,2} \end{pmatrix}$. Далее. Посмотрим на равенство $[X,\,B]=A$: $XB-BX=A$, $\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ b_{2\,1} & b_{2\,2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ b_{2\,1} & b_{2\,2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{22}+1 & a_{1\,2}\\ 0 & a_{2\,2} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}b_{2\,1} & b_{2\,2}\\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & b_{1\,1}\\ 0 & b_{2\,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{22}+1 & a_{1\,2}\\ 0 & a_{2\,2} \end{pmatrix}$, или $\begin{pmatrix}b_{2\,1} & b_{2\,2}-b_{1\,1}\\ 0 & -b_{2\,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{22}+1 & a_{1\,2}\\ 0 & a_{2\,2} \end{pmatrix}$. Из последнего матричного равенства получаем с одной стороны: $b_{2\,1}=a_{2\,2}+1$, а с другой: $b_{2\,1}=-a_{2\,2}$, откуда получаем следующее уравнение для $a_{2\,2}$: $a_{2\,2}+1=-a_{2\,2}$, откуда $a_{2\,2}=-\dfrac{1}{2}$ и тогда $b_{2\,1}=\dfrac{1}{2}$. Таким образом, к текущему моменту мы можем матрицы $A$ и $B$ представлять как матрицы, имеющие следующий вид: $A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ \dfrac{1}{2} & b_{2\,2} \end{pmatrix}$. Обратимся, наконец, к равенству $[A,\,B]=-B$, или $AB-BA=-B$. Подставляя в последнее равенство найденные представления матриц $A$ и $B$, получим: $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ \dfrac{1}{2} & b_{2\,2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ \dfrac{1}{2} & b_{2\,2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ \dfrac{1}{2} & b_{2\,2} \end{pmatrix}$, или $\begin{pmatrix}\dfrac{b_{1\,1}}{2}+\dfrac{a_{1\,2}}{2} & \dfrac{b_{1\,2}}{2}+a_{1\,2}b_{2\,2}\\ -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{b_{2\,2}}{2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{b_{1\,1}}{2} & a_{1\,2}b_{1\,1}-\dfrac{b_{1\,2}}{2}\\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{a_{1\,2}}{2}-\dfrac{b_{2\,2}}{2} \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}b_{1\,1} & b_{1\,2}\\ \dfrac{1}{2} & b_{2\,2} \end{pmatrix}$, или $\begin{pmatrix}\dfrac{a_{1\,2}}{2} & b_{1\,2}+a_{1\,2}b_{2\,2}-a_{1\,2}b_{1\,1}\\ -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-b_{1\,1} & -b_{1\,2}\\ -\dfrac{1}{2} & -b_{2\,2} \end{pmatrix}$. Из последнего матричного равенства получаем: $-\dfrac{a_{1\,2}}{2}=-b_{2\,2}$, откуда $b_{2\,2}=\dfrac{a_{1\,2}}{2}$. $-b_{1\,1}=\dfrac{a_{1\,2}}{2}$, откуда $b_{1\,1}=-\dfrac{a_{1\,2}}{2}$. Значит, $b_{2\,2}=-b_{1\,1}$. Еще из последнего матричного равенства получаем такое равенство: $b_{1\,2}+a_{1\,2}b_{2\,2}-a_{1\,2}b_{1\,1}=-b_{1\,2}$, что с учетом последнего доказанного равенства может быть переписано так: $2b_{1\,2}-2a_{1\,2}b_{1\,1}=0$, откуда $b_{1\,2}=a_{1\,2}b_{1\,1}$. Итак, теперь мы выяснили, что матрица $B$ имеет следующий вид: $B=\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}$

А вот, что дальше делать с полученным видом для матрицы $B$ - совершенно непонятно. Ясно, что получение элемента $a_{1\,2}$ разом бы решило задачу, но... Получить этот элемент мы можем только из равенства $\begin{pmatrix}b_{2\,1} & b_{2\,2}-b_{1\,1}\\ 0 & -b_{2\,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{22}+1 & a_{1\,2}\\ 0 & a_{2\,2} \end{pmatrix}$, полученного, как мы помним выше из равенства $XB-BX=A$. Из предпоследнего матричного равенства мы сможем получить лишь 1 равенство/уравнение, содержащее $a_{1\,2}$. Вот это уравнение: $b_{2\,2}-b_{1\,1}=a_{1\,2}$. Однако, беря $b_{1\,1}$ и $b_{2\,2}$ из найденного представления для матрицы $B$, мы получим равенство, из которого не сможем получить $a_{1\,2}$: $\dfrac{a_{1\,2}}{2}-\left(-\dfrac{a_{1\,2}}{2}\right)=a_{1\,2}$. И вот, что дальше делать с этим -

[Sinoid]

Наверное, в каком-нибудь равенстве нужно перейти к равенству определителей. Сейчас буду пробовать.

[tolstopuz]

Если вы учли все условия и в результате осталась свободная переменная, это означает, что решение не единственно и есть семейство решений, параметризованное этой переменной $a_{12}$.

[svv]

Я проверил, что (по крайней мере) в случае $2\times 2$ при учёте всех условий остаётся свободная переменная $a_{12}$. Более того, лишь при $a_{12}=0$ получается такое решение, как в ответе.

А вот такого решения, например, в ответах нет, хотя оно удовлетворяет всем условиям:
$A=\begin{bmatrix}\frac 1 2&\phantom{+}1\\0&-\frac 1 2\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}-\frac 1 2&-\frac 1 2\\\phantom{+}\frac 1 2&\phantom{+}\frac 1 2\end{bmatrix}$
Это говорит в пользу того, что в задаче не требуется найти все решения — достаточно найти одно.

Sinoid, Вы согласны пойти по такому пути?

[Sinoid]

svv
я вчера начал писать ответ, но не успел закончить, но по сути

svv в сообщении #1605260 писал(а):

Я проверил, что (по крайней мере) в случае $2\times 2$ при учёте всех условий остаётся свободная переменная $a_{12}$. Более того, лишь при $a_{12}=0$ получается такое решение, как в ответе.

А вот такого решения, например, в ответах нет, хотя оно удовлетворяет всем условиям:
$A=\begin{bmatrix}\frac 1 2&\phantom{+}1\\0&-\frac 1 2\end{bmatrix}\quad B=\begin{bmatrix}-\frac 1 2&-\frac 1 2\\\phantom{+}\frac 1 2&\phantom{+}\frac 1 2\end{bmatrix}$

я хотел сказать то же самое. Сейчас попробую дописать.

-- 15.08.2023, 20:19 --

tolstopuz в сообщении #1605149 писал(а):

Если вы учли все условия и в результате осталась свободная переменная, это означает, что решение не единственно и есть семейство решений, параметризованное этой переменной $a_{12}$.

А, действительно, проверю-ка я, удовлетворяют ли найденные мной матрицы равенствам из условия задачи. Итак, имею: из условия: $X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, я нашел: $A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}$. Тогда $[A,\, X]=AX-XA=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \dfrac{1}{2}\\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{1}{2}\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=X$ - удовлетворяют, зачет, $[A,\, B]=AB-BA=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{a_{1\,2}}{4} & \dfrac{a_{1\,2}^{2}}{4}\\ -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{a_{1\,2}}{4} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{4} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{4}\\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{a_{1\,2}}{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{a_{1\,2}}{2} & \dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}=-B$ - зачет, $[X,\, B]=XB-BX=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{a_{1\,2}}{2} & -\dfrac{a_{1\,2}^{2}}{2}\\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{a_{1\,2}}{2}\\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{a_{1\,2}}{2}\\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & a_{1\,2}\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=A$ - зачет. Итак, проверка показывает, что найденные мной матрицы для случая $n=2$ удовлетворяют условию задачи. Если посмотреть ответ, то там при $n=2$ получаются следующие матрицы: $A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & 0\\ 0 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0 & 0\\ \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$, которые являются, как уже сказал уважаемый svv, являются частным случаем найденных мной матриц при $a_{1\,2}=0$, поэтому

svv в сообщении #1605260 писал(а):

Sinoid, Вы согласны пойти по такому пути?

нет, я все-таки попробую найти общее решение для произвольного $n$.

[svv]

Sinoid
А можно Вас попросить хотя бы для начала рассмотреть такой более простой вариант (но для произвольного $n$)? Я бы тут мог кое-что подсказать.