Сумма квадратов

[bot]

Пусть $f: \mathbb N\cup \{0\} \to N\cup \{0\} $ удовлетворяет тождеству $f(x^2+y^2)=f(x)^2+g(x)^2.$ Доказать, что $f$ тождественное отображение.

Если $m$ разложимо в сумму квадратов, то $m$ не является минимальным контрпримером.
Также если $m^2+x^2=y^2+z^2,$ для натуральных $x,y,z<m$, то $m$ не является минимальным контрпримером.

С помощью этих костылей добрался до 27. Искать новый костыль не тянет - видать что-то другое проглядел.

[gris]

а $ \mathbb N , N, g$ это не подвох ли в целях проверки внимательности студентов?

[bot]

gris спасибо, исправляю:

Пусть $f: \mathbb N\cup \{0\} \to \mathbb N\cup \{0\} $ удовлетворяет тождеству $f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$ и $f(1)=1$. Доказать, что $f$ тождественное отображение.

[gris]

а если всё в ноль? или предполагается биекция?
я сапожник

[bot]

Да нет - это я слепой и невнимательный.

[Null]

bot в сообщении #1605123 писал(а):

$f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$ и $f(1)=1$.

Просто прибавляя по 1 получить для всех натуральных чисел?

[gris]

Попробую школьные рассуждения. $f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$
$f(1)=1$.
Сразу получаем $f(0)=0; f(2)=2$
и $f(x^2)=x^2 \Longleftrightarrow f(x)=x$
То есть достаточно доказать для квадратов. Для чисел, которые являются суммой подтверждённых квадратов, ясно. Вот можно потихоньку расширять последовательность чисел, для которых теорема верна.
0 1 2 4 5 8 16 17 20 25 26
$f(5^2)=25=f(3^2+4^2)=f(3)^2+16 \Longrightarrow f(3)^2 =9$
3 9 10 13 18
не попробовать ли индукцию?

[KhAl]

bot в сообщении #1605121 писал(а):

Также если $m^2+x^2=y^2+z^2,$ для натуральных $x,y,z<m$, то $m$ не является минимальным контрпримером.

(несущественно)

Здесь достаточно $m = ka + lb$, $x = |kb - la|$, $y = kb + la$, $z = |ka - lb|$, причём $0 < k \leqslant a \leqslant l \leqslant b$ (причём два подряд неравенства никогда не обращаются в равенство). Тогда перестановочное неравенство даёт $m > y$, а неравенства $m > z$, $y > x$ тривиальны.

Если $m > 3$ нечётно, можно взять $k = a = 1$, $l = 2$, $b = \frac{m-1}{2}$.

Для нечётных $m > 3$ будет $m^2 = \left(\frac{m+3}{2}\right)^2 + (m-2)^2 - \left(\frac{m-5}{2}\right)^2 = y^2 + z^2 - x^2$.

Если $m = 2^n$, то $m$ — сумма квадратов. Если $m$ делится на нечётное $n$, большее трёх, то $m^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 \cdot n^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 \cdot \left(\left(\frac{n+3}{2}\right)^2 + (n-2)^2 - \left(\frac{n-5}{2}\right)^2\right) = y^2 + z^2 - x^2$. Если $m$ делится на $12$, то $m^2 = \left(\frac{m}{12}\right)^2 \cdot \left(8^2 + 9^2 - 1^2\right) = y^2 + z^2 - x^2$. Остаются $m = 3$, $m = 6$. С ними уже разобрались.

[bot]

KhAl, блеск! Всем спасибо.

ЗЫ. Я заткнулся на 27, так как Вольфрам почему-то не захотел находить нужные $x,y,z$.