Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[KhAl]

epros ровно из него и выделил, в том же сообщении ниже. Вы не прочитали?

Существование изоморфизма $f$ принимается на веру.

-- 07.08.2023, 18:53 --

да и вообще, почему это я вам что-то должен доказывать, а вы талдычите, что всё очевидно. вы сто раз сказали, что из аксиомы 4 следует, что $\mathbb{C} = \mathbb{R} + i\mathbb{R}$, но доказать это не удосужились.

[tolstopuz]

KhAl в сообщении #1604311 писал(а):

вы сто раз сказали, что из аксиомы 4 следует, что $\mathbb{C} = \mathbb{R} + i\mathbb{R}$, но доказать это не удосужились.

Так мы уже девятую страницу боремся с обсценным словом "отождествление" и потому забыли, что аксиома 3 говорит о включении не самого $\mathbb{R}$, а его изоморфного образа. Если включается само $\mathbb{R}$, то минимальность очевидна.

-- Пн авг 07, 2023 19:02:02 --

Интересно, а можно, как с базисом Гамеля, хотя бы конструктивно начать эту конструкцию с $\overline{\mathbb{C}(t)} \to \mathbb{C}$? Вот так ткнуть пальцем и показать, во что перейдет $i$, во что $\pi$ и еще что-нибудь...

[KhAl]

tolstopuz $i$ обязано перейти в $\pm i$. $\pi$ может перейти в любое трансцедентное число. $\sigma$, алгебраически независимое с $\pi$, может перейти в любое, алгебраически независимое с $f(\pi)$. См. базис трансцедентности.

Суть в том, что с помощью базиса трансцендентности можно представить $\mathbb{C}$ и вообще любое континуальное алг. замкнутое поле характеристики $0$ как $\overline{\mathbb{Q}(\{t_\alpha \mid \alpha \in A\})}$, где $A$ континуально (алг. замыкание поля рац. функций от континуума переменных, если словами).

[tolstopuz]

KhAl в сообщении #1604317 писал(а):

tolstopuz $i$ обязано перейти в $\pm i$. $\pi$ может перейти в любое трансцедентное число. $\sigma$, алгебраически независимое с $\pi$, может перейти в любое, алгебраически независимое с $f(\pi)$.

Понятно. А ведь нам для вложения не нужен весь базис, а достаточно счетного подмножества, где мы сдвинем всё на $1$? То есть возьмем все алгебраически зависимые от $\pi$ числа и заменим в них $\pi$ на $\sigma$, в алгебраически зависимых от $\pi$ и $\sigma$ заменим $\pi$ на $\sigma$ и $\sigma$ на $\zeta$ и так далее.

[mihaild]

tolstopuz в сообщении #1604318 писал(а):

А ведь нам для вложения не нужен весь базис, а достаточно счетного подмножества, где мы сдвинем всё на $1$?

Нам же нужно указать, куда перейдет произвольное число, а для этого его разложить по базису нужно. Точнее представить как корень многочлена с коэффициентами, составленными из чисел базиса.

[KhAl]

tolstopuz и "дополнение" порождённого счётного подполя, если я Вас правильно понял. Как с базисом Гамеля: мы захотели бесконечномерное в.п. вложить внутрь себя строго инъективно, выделили счётномерное подпространство, на нём сдвинули базис... а на всём остальном как? Нужно как-то выделить дополнительное подпространство, на котором вложение будет тождественным.

А в случае полей проблема ещё в том, чтобы перейти от поля рац. функций к его алг. замыканию, что тоже делается неоднозначно. В общем, конструктивности в таком построении никакой нет. Что там без аксиомы выбора — я не знаю.

-- 07.08.2023, 19:34 --

Проще говоря, рецепт "а всё остальное оставляем на месте" не работает.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

KhAl в сообщении #1604305 писал(а):

лично в своё оправдание могу сказать, что я защищаю точку зрения, что тс сам своё определение не понимает, чтобы совать его студентам

Я не знаю, понимает ли ТС своё определение или нет, но он явно не понимает, что давать это определение можно только в продвинутом курсе как упражнение с двумя **. В общем, он "нормальный герой", из тех, которые "всегда идут в обход". Если б он был стоматологом, то я подозреваю, что больной зуб он бы достигал не через носоглотку.

[mihaild]

Без аксиомы выбора может оказаться, что если $f(z_1 + z_2) = f(z_1) + f(z_2)$, то обязательно $f(z) = \lambda z$ или $f(z) = \lambda \bar z$.

[KhAl]

(где $\lambda$ — линейный оператор в $\mathbb{R}^2$)

(Оффтоп)

ну кто-то бы всё равно придрался, приведя какой-нибудь $x + iy \mapsto (x+3y) + i(5x+y)$! а вообще, разумеется, правильно было бы $f(z) = \lambda z + \mu \bar z$

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604303 писал(а):

Я это и сказал про ваш способ - работаем с $i$ как с неведомой фигней по аксиомам поля. В стандартном способе через $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, см., например, Рудина, сложение и умножение постулируется.

Вы полагаете, что дополнительно постулировать операции - правильнее, чем воспользоваться готовой аксиоматикой поля?

KhAl в сообщении #1604311 писал(а):

epros ровно из него и выделил, в том же сообщении ниже. Вы не прочитали?

Существование изоморфизма $f$ принимается на веру.

Может быть я туплю, но я ни фига не понимаю, что Вы там написали про алгебраическое замыкание $\mathbb{C}$, ибо, насколько я знаю, $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто.

KhAl в сообщении #1604311 писал(а):

вы сто раз сказали, что из аксиомы 4 следует, что $\mathbb{C} = \mathbb{R} + i\mathbb{R}$, но доказать это не удосужились.

Для этого требуется доказать две вещи:
1) Что все $a+ib$ удовлетворяют аксиомам 1-3. Тут тупо проверяются все аксиомы.
2) Что построенное множество $\mathbb{C}$ (всех конструкций вида $a+ib$) является минимальным, т.е. нет такого его строгого подмножества, которое бы удовлетворяло аксиомам 1-3.
Тут с доказательством посложнее.

[EminentVictorians]

epros, а на мой вопрос о теореме Кантора-Бенедиксона что скажете?

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604355 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604303 писал(а):

Я это и сказал про ваш способ - работаем с $i$ как с неведомой фигней по аксиомам поля. В стандартном способе через $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, см., например, Рудина, сложение и умножение постулируется.

Вы полагаете, что дополнительно постулировать операции - правильнее, чем воспользоваться готовой аксиоматикой поля?

На мой взгляд, с неведомой фигней, обозначаемой буквой $i$, правильнее бороться стандартной конструкцией факторкольца многочленов по максимальному идеалу, но тем студентам это явно рановато. Размахивать руками, как это делаете вы ("согласно аксиоматике поля", "в силу той же аксиоматики поля", "воспользоваться готовой аксиоматикой поля"), конечно, заманчиво, но если вы попробуете расписать это на достаточном для студентов уровне строгости и без неведомой фигни, то получится длиннее и запутаннее, чем постулировать операции. Так что для строгого построения поля $\mathbb{C}$ студентам постулирование операций на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ часто оказывается предпочтительнее. А неформально можно и с неведомой фигней.

[KhAl]

epros
$\mathbb{C}(t)$ это поле рациональных функций над $\mathbb{C}$ от переменной $t$. Оно не алгебраически замкнуто.

-- 08.08.2023, 07:03 --

Цитата:

2) Что построенное множество $\mathbb{C}$ (всех конструкций вида $a+ib$) является минимальным, т.е. нет такого его строгого подмножества, которое бы удовлетворяло аксиомам 1-3.
Тут с доказательством посложнее.

н-ну?..

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604363 писал(а):

На мой взгляд, с неведомой фигней, обозначаемой буквой $i$

По-моему, эта фигня не такая уж неведомая. По крайней мере про неё известно, что её квадрат - обратный к единице элемент поля, а значит она не может принадлежать $\mathbb{R}$.

KhAl в сообщении #1604394 писал(а):

epros
$\mathbb{C}(t)$ это поле рациональных функций над $\mathbb{C}$ от переменной $t$. Оно не алгебраически замкнуто.

Я всё ещё не схватываю мысль. Далее Вы пытаетесь доказать, что алгебраическое замыкание этой штуки не единственно?

KhAl в сообщении #1604394 писал(а):

Цитата:

2) Что построенное множество $\mathbb{C}$ (всех конструкций вида $a+ib$) является минимальным, т.е. нет такого его строгого подмножества, которое бы удовлетворяло аксиомам 1-3.
Тут с доказательством посложнее.

н-ну?..

Сложность в том, что тут уже придётся привлекать все аксиомы действительных чисел, а не только аксиомы поля. Начнём с того, что нуль и единица - общие для $\mathbb{C}$ и всех его подполей. Отсюда должно следовать, что если мы найдём такое $\mathbb{C}^\prime \subseteq \mathbb{C}$, которое удовлетворяет аксиомам 1-3, то существующее согласно аксиоме 3 его подполе $\mathbb{R}^\prime$ не просто изоморфно $\mathbb{R}$, а совпадает с ним.

Думаю, что в этом нам поможет теорема о единственности максимального архимедова упорядоченного поля, о которой я слышал, но углубиться не сподобился.

-- Вт авг 08, 2023 10:16:59 --

EminentVictorians в сообщении #1604360 писал(а):

epros, а на мой вопрос о теореме Кантора-Бенедиксона что скажете?

Я не понял зачем мне разбираться в этом вопросе. Он имеет какое-то отношение к теме или хотя бы к вопросу о том, что такое аксиоматические теории?

[KhAl]

Цитата:

Сложность в том, что тут уже придётся привлекать все аксиомы действительных чисел, а не только аксиомы поля. Начнём с того, что нуль и единица - общие для $\mathbb{C}$ и всех его подполей. Отсюда должно следовать, что если мы найдём такое $\mathbb{C}^\prime \subseteq \mathbb{C}$, которое удовлетворяет аксиомам 1-3, то существующее согласно аксиоме 3 его подполе $\mathbb{R}^\prime$ не просто изоморфно $\mathbb{R}$, а совпадает с ним.

Думаю, что в этом нам поможет теорема о единственности максимального архимедова упорядоченного поля, о которой я слышал, но углубиться не сподобился.

понял. значит, вы сами не верите, что доказали что-либо, а людей вокруг осознанно обманываете.

Цитата:

Я всё ещё не схватываю мысль. Далее Вы пытаетесь доказать, что алгебраическое замыкание этой штуки не единственно?

Прочитайте ещё раз

Цитата:

$\mathbb{C}$ удовлетворяет аксиомам 1-3. Есть изоморфизм $f{:}\; \overline{\mathbb{C}(t)} \to \mathbb{C}$. $f(\mathbb{C})$ суть собственное подполе в $\mathbb{C}$, удовлетворяющее 1-3.