Предлагаю продолжить тему обоснования математики

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1591549 писал(а):

Формализацией почти никто не занимается, а кто занимается, использует более частные формальные системы, чем ZFC (например, реализуемые в компьютерных пруверах). Более 99% математиков-исследователей по-прежнему пользуются неформальными определениями и доказательствами, а об основаниях знают только то, что не успели забыть со времен студенческих. В этом смысле ZFC не основа математики: знание ZFC никак не приближает к пониманию современной математики и не помогает ею заниматься.

EminentVictorians в сообщении #1592753 писал(а):

Формальные системы в качестве основ точно не порекомендую

Думаю, в научных публикациях по математике и логике такие заявления сейчас не встретишь. Но мне (д.ф.-м.н, хотя и технарь по образованию) они по душе. Наверное, потому, что я знакомился с основами логики и математики только по книгам, не испытывая давления преподавателей (хотя в книгах тоже порой давят, но не так агрессивно).
И все же предлагаю продолжить тему обоснования математики.

Пост1. Всегда ли правильно используется принцип взаимно однозначного соответствия?
Согласно теории множеств бесконечное множество равномощно собственному подмножеству.
Доказательство для частного случая (натуральный ряд - $N$ и множество четных чисел - $N_2$) примерного такое.
Пусть имеются два ряда
$N$:$\quad 1,\quad 2,\quad 3, \quad4, \quad \dots , \quad M$
$N_2$ : 2,\quad 4, \quad 6, \quad 8,\quad $\dots, \quad 2M$
Нетрудно убедиться, что принцип взаимно однозначного соответствия действует и при стремлении $M$ к бесконечности.
А поскольку $N_2$ строго включено в $N$, то все в ажуре.
Правда, есть возражения.
1) Ряды почему-то стали множествами. Ну, тут вроде бы ничего страшного: разве последовательности не могут обладать заодно и свойствами множеств? Так что возражение аннулируется.
2) Но почему тогда при стремлении $M$ к бесконечности множество $N_2$ не является подмножеством $N$ для любого $M$?
Ведь в $N_2$ есть элементы ($M+1, M+2$ и т.д.), которые не являются элементами множества $N$.
А в бесконечности почему-то вдруг оказывается, что $N_2$ строго включено в $N$.
Возражения математиков сводятся к тому, что, мол, бесконечные множества по свойствам отличаются от конечных. Возможно, но не до такой же степени, граничащей с абсурдом!
Помимо принципа взаимно однозначного соответствия можно предложить еще один метод сравнения мощностей бесконечных множеств (я его нигде в публикациях по основам и основаниям не встречал.
Возьмем натуральный ряд $N$ и выделим в нем только четные числа – $S_2$, содержащиеся в нем.
Тогда нетрудно доказать, что соотношение мощностей $S_2$ и $N$ при стремлении $M$ к бесконечности в точности равно 0,5.
А если мы в качестве строгого подмножества $N$ возьмем не четные числа, а квадраты чисел, то получим соотношение равное 0.
Хотелось бы понять, где здесь ошибка в рассуждении.

Пост 2. Логична ли интерпретация?
В основе математической логики лежит язык первого порядка, алфавит которого по определению содержит счетное множество символов, а интерпретацией этого языка является модель, в основе которой лежат понятия «декартово произведение множеств» и «подмножество» (книга Э. Мендельсона, в том числе и последнее издание 2015 года). Но это понятия теории множеств, которая является подчиненной теорией исчисления предикатов – к аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов добавляются нелогические (собственные) аксиомы теории множеств. Данная ситуация есть ничто иное как логическая ошибка «предрешенного основания» (petitio principii), когда в основе теории (интерпретация разве не входит в основы?) лежат понятия, определяемые на основе этой теории. Так ли это?

Пост 3. Логическая задачка (для развлечения)
Четыре подруги (Анна, Белла, Светлана и Дина) имеют следующие особенности: Анна и Белла – блондинки, Светлана предпочитает короткую стрижку, Анна и Дина носят туфли на высоких каблуках, Анна, Белла и Светлана работают в фирме $D$. В зависимости от внешности и статуса, подруги предпочитают покупать одежду в разных торговых фирмах (назовем их $K, L$ и $M$). Эти зависимости выражаются следующими условиями:
1) если не блондинки отдают предпочтение фирме $K$, то девушка с короткой стрижкой предпочитает фирму $M$;
2) если девушки с длинными волосами предпочитают фирму $K$, то девушка, не работающая в фирме $D$, покупает одежду в фирме $L$, а блондинки – в фирме $M;;
3) если девушки, носящие туфли на высоких каблуках, отдают предпочтение фирме $L$, то не блондинки покупают одежду в фирме $K$;
4) если девушки, не носящие туфель на высоких каблуках, покупают одежду в фирме $K$, то, девушки на туфлях с высокими каблуками предпочитают магазины фирмы $M$.
Необходимо проверить выполнимость этих условий.
Эта задача приведена в статье «Как вычислять интересные следствия». Она решена с помощью разработанной автором статьи алгебры кортежей. Не сомневаюсь, что задачу можно решить, используя традиционные методы логического вывода. Но окажутся ли эти методы проще в данном случае?

[Mihr]

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Эта задача приведена в статье «Как вычислять интересные следствия»
( https://www.ontology-of-designing.ru/article/2023_2(48 )/Ontology_Of_Designing_2023_2_160-174_B.A.Kulik_.pdf )

Ссылка на несуществующую страницу:

Цитата:

Страница по вашему запросу не найдена
Страница, которую вы пытаетесь найти удалена или еще не создана!

[EminentVictorians]

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Согласно теории множеств бесконечное множество равномощно собственному подмножеству.

А можете четко сформулировать это место? Вот прямо назвать конкретную теорию множеств и четко сформулировать определение.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Доказательство для частного случая (натуральный ряд - N и множество четных чисел - N2) примерного такое.

Зачем доказывать для частного случая, если можно и для общего: от любого бесконечного множества можно отнять или прибавить множество счетной мощности, и первоначальная мощность не изменится.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

1) Ряды почему-то стали множествами.

А чем они еще могут являться? Если считаете, что они - не множества, можете привести определение?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Отдельные обозначения тоже нужно оформлять как формулы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Утундрий]

Mihr
Качается, просто криво вставлено. Вот как надо было: ТЫЦЬ

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: не указана.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Всегда ли правильно используется принцип взаимно однозначного соответствия?

Что это за принцип?

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Согласно теории множеств бесконечное множество равномощно собственному подмножеству

Неудачная формулировка. Это определение бесконечного по Дедекинду множества. Бесконечное множество определяется как не-конечное. Любое бесконечное по Дедекинду бесконечно, обратное (без аксиомы выбора) не обязательно.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

и при стремлении $M$ к бесконечности

Прежде чем говорить о каких-то стремлениях, нужно ввести сходимость (через топологию или каким-нибудь другим способом).

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Ряды почему-то стали множествами

Никаких рядов в тексте не было.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Но почему тогда при стремлении $M$ к бесконечности множество $N_2$ не является подмножеством $N$ для любого $M$?
Ведь в $N_2$ есть элементы ($M+1, M+2$ и т.д.), которые не являются элементами множества $N$.
А в бесконечности почему-то вдруг оказывается, что $N_2$ строго включено в $N$.

Во-первых, если уж $N$ и $N_2$ зависят от $M$, то лучше эту зависимость указать явно.
Ну да, $N_2(M) \not \subset N(M)$, но $\cup_M N_2(M) \subsetneq \cup_M N(M)$. Что в этом удивительного?

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Тогда нетрудно доказать, что соотношение мощностей $S_2$ и $N$ при стремлении $M$ к бесконечности в точности равно 0,5.
А если мы в качестве строгого подмножества $N$ возьмем не четные числа, а квадраты чисел, то получим соотношение равное 0.

Это называется "асимптотическая плотность". У любого конечного множества асимптотическая плотность равна нулю, у бесконечного может быть любой от 0 до 1, или вообще не существовать.

[Geen]

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Но окажутся ли эти методы проще в данном случае?

окажутся - все блондинки, лысые, на шпильках, работают все вместе и закупаются где угодно.

[EminentVictorians]

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

В основе математической логики лежит язык первого порядка, алфавит которого по определению содержит счетное множество символов, а интерпретацией этого языка является модель, в основе которой лежат понятия «декартово произведение множеств» и «подмножество»

Все, что надо для интерпретации - это выбрать множество-носитель, каждому функциональному символу поставить в соотвествие функцию (число аргументов которой равно арности функционального символа), и каждому предикатному символу поставить в соответствие отношение на носителе (тоже с соответствием арностей). Отношение действительно определяется как подмножество декартова произведения, но непонятно, в чем суть претензии. Интерпретация - она плоть от плоти про множества, странно ей за это предъявлять.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Но это понятия теории множеств, которая является подчиненной теорией исчисления предикатов – к аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов добавляются нелогические (собственные) аксиомы теории множеств.

Не совсем. Когда Вы начинаете конструировать интерпретацию - это уже уровень метатеории. Метатеорией действительно может быть теория множеств, например, наивная. Но не обязательно: может быть и формальная, а может быть и вообще не теория множеств.

BorisK в сообщении #1602508 писал(а):

Данная ситуация есть ничто иное как логическая ошибка «предрешенного основания» (petitio principii), когда в основе теории (интерпретация разве не входит в основы?) лежат понятия, определяемые на основе этой теории. Так ли это?

Получается, что не так. Ошибка в том, что Вы смешали уровень теории и уровень метатеории.

[BorisK]

EminentVictorians в сообщении #1602517 писал(а):

А можете четко сформулировать это место? Вот прямо назвать конкретную теорию множеств и четко сформулировать определение.

Честно сказать, забыл откуда это взято, извините. И вообще, первую часть Поста 1 я опрометчиво назвал "доказательством". Будем считать, что это не совсем строгая преамбула ко второй части.

Утундрий в сообщении #1602519 писал(а):

Mihr
Качается, просто криво вставлено. Вот как надо было: ТЫЦЬ

Спасибо за подсказку. Исправил.

EminentVictorians в сообщении #1602614 писал(а):

Получается, что не так. Ошибка в том, что Вы смешали уровень теории и уровень метатеории.

Честно сказать, мне не совсем понятна теория метатеории. В данном случае Вы предложили слишком много вариантов метатеорий для языка первого порядка. В какой-то степени согласен с тем, что метатеорией может быть наивная теория множеств, если ее правильно определить. Четких определений наивной теории множеств я не нашел. Но в книге "Что такое математика?" Куранта и Роббинса дано описание алгебры множеств как алгебраической системы с операциями дополнение, пересечение, объединение и отношениями включения и равенства, причем высказано предположение, что законы алгебры множеств можно обосновать без аксиом. Вот эта система, как мне кажется, больше подходит в качестве метатеории. Правда здесь есть заковыка: метатеория оказывается не языком, а алгебраической системой. Разрешен ли такой кунштюк в теории метатеории?
Замечу, что термин «алгебраическая система» по отношению к алгебре множеств в книге Куранта и Роббинса не используется: ее первое издание вышло в 1941 году, когда теория алгебраических систем была малоизвестной.
Что касается формальной теории множеств в качестве метатеории, то тут все-таки, как мне представляется, круг получается: метатеория языка первого порядка определяется через посредство этого языка.

Geen в сообщении #1602565 писал(а):

окажутся - все блондинки, лысые, на шпильках, работают все вместе и закупаются где угодно.

Согласен, задачка скучная, Вы остроумно это отметили. Я ее привел потому, что она решается с помощью нетрадиционного метода логического вывода, причем автор утверждает, что этот метод в некоторых случаях имеет преимущества по сравнению с традиционными.

mihaild в сообщении #1602558 писал(а):

Это называется "асимптотическая плотность". У любого конечного множества асимптотическая плотность равна нулю, у бесконечного может быть любой от 0 до 1, или вообще не существовать.

Этот термин мне неизвестен. Буду весьма признателен, если Вы подскажете, в какой публикации его можно найти. И тем не менее, наличие этого термина не отвергает то, что он подразумевает возможность сравнения мощностей бесконечных множеств с помощью метода отличающегося от того, что принят в формальной теории множеств.
Что касается Ваших предыдущих замечаний, то признаю, что был не совсем точен в формулировках с точки зрения формальной теории множеств. Например, термин «принцип взаимно однозначного соответствия» используется весьма редко. Здесь я имею в виду метод установления биекции для двух множеств.
Раньше были актуальными дискуссии об отличиях и сходстве актуальной и потенциальной бесконечности. Сейчас, как мне кажется, все утихло. Но вопросы остались. Мне представляется, что существуют два разных подхода к бесконечности. Математика и логика потенциальной бесконечности служит основанием той математики, с помощью которой рассчитывается прочность нашего жилища, работоспособность и надежность транспорта, траектории космических кораблей, коммуникации и т.д. Математика актуальной бесконечности весьма интересна и глубока, но, мне кажется, пока что не нашла практического применения. Это мое мнение. Не исключаю, что ошибочное. Возражения и критику приму с благодарностью.

[EminentVictorians]

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Что касается формальной теории множеств в качестве метатеории

А нету такого понятия, как просто "формальная теория множеств". Есть куча конкретных формальных теорий множеств: ZF, ZFC, NBG, MK (Морса-Келли), TG (Тарского-Гротендика) и наверняка еще как минимум столько же.

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

причем высказано предположение, что законы алгебры множеств можно обосновать без аксиом.

Без каких аксиом? Если в наивной теории множеств - то там никаких аксиом нету. Если какая-то формальная теория множеств, то там, собственно, аксиомы этой формальной теории множеств. И в таком случае законы алгебры множеств - это теоремы данной формальной теории множеств, выводящиеся из ее аксиом. В общем, какое-то сомнительное утверждение. Можно точное место, где это сказано?

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Правда здесь есть заковыка: метатеория оказывается не языком, а алгебраической системой.

Метатеория и не должна быть языком. Метатеория - это теория. Формальная или неформальная - это уже другой вопрос. Но язык (я сейчас имею в виду формальный язык) - это другое, и притом вполне точно определенное понятие.

BorisK, у меня стойкое ощущение, что Вы так и продолжаете путать формальные теории и метатеории. Мне, если что, нравится вся эта околоматематическая философия и вообще, дискуссионный раздел - мой любимый , но прежде чем двигать философию в массы, настоятельно рекомендуется разобраться как минимум с основами предмета. В данном случае я имею в виду основы матлогики. Как минимум нужно понимать, что такое формальная теория, как она задается, что означает вывод в ней и т.п. Поэтому мой Вам совет - повторите базу, а философия может пока подождать.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Этот термин мне неизвестен. Буду весьма признателен, если Вы подскажете, в какой публикации его можно найти

По первой ссылке в гугле википедия. Где обычно есть ссылки на источники, в данном случае нет, зато есть ссылка на английскую википедию, где ссылок на источники уже полно.

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

И тем не менее, наличие этого термина не отвергает то, что он подразумевает возможность сравнения мощностей бесконечных множеств с помощью метода отличающегося от того, что принят в формальной теории множеств

Он не сравнивает мощности. Он "сравнивает" конкретные множества. У множеств одинаковой мощности может быть разная асимптотическая плотность.

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Но вопросы остались

Ответы на них известны.

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Математика и логика потенциальной бесконечности служит основанием той математики, с помощью которой рассчитывается прочность нашего жилища, работоспособность и надежность транспорта, траектории космических кораблей, коммуникации и т.д. Математика актуальной бесконечности весьма интересна и глубока, но, мне кажется, пока что не нашла практического применения. Это мое мнение. Не исключаю, что ошибочное.

Ошибочное. Никаких "потенциальных" бесконечностей нет (есть такое слово в некоторых довольно экзотических разделах, но у него строгий смысл). А любой (хороший) учебник математического анализа начинается с определения множества вещественных чисел.

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Что касается формальной теории множеств в качестве метатеории, то тут все-таки, как мне представляется, круг получается: метатеория языка первого порядка определяется через посредство этого языка.

Мы можем построить неформальное исчисление предикатов, в нём построить формальную теорию множеств, в ней построить формальное исчисление предикатов. Начинать придется с чего-то неформального, потому что иначе не получится.

[epros]

mihaild в сообщении #1602742 писал(а):

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

Математика актуальной бесконечности весьма интересна и глубока, но, мне кажется, пока что не нашла практического применения. Это мое мнение. Не исключаю, что ошибочное.

Ошибочное. Никаких "потенциальных" бесконечностей нет (есть такое слово в некоторых довольно экзотических разделах, но у него строгий смысл). А любой (хороший) учебник математического анализа начинается с определения множества вещественных чисел.

Может быть под "математикой актуальной бесконечности" здесь имелось в виду что-то вроде парадокса Банаха-Тарского, а под отсутствием у неё практического применения - что-то вроде того, что реальный способ разделить золотой шар на два таких же пока не найден?

[BorisK]

Уважаемые коллеги, прошу прощения за перерыв. Знакомился с новой статьей в Хабре и с некоторыми связанными с ней «бумажными» публикациями. Мне кажется, что эти публикации имеют непосредственное отношение к теме нашей дискуссии. По крайней мере, к той ее части, в которой идет речь о соотношениях между теорией и метатеорией.

mihaild в сообщении #1602558 писал(а):

Во-первых, если уж $N$ и $N_2$ зависят от $M$, то лучше эту зависимость указать явно.
Ну да, $N_2(M) \not \subset N(M)$, но $\cup_M N_2(M) \subsetneq \cup_M N(M)$. Что в этом удивительного?

Не совсем понимаю, что имеется в виду под выражением $\cup_M N_2(M) \subsetneq \cup_M N(M)$. В частности, что означает $\cup_M N_2(M) $?

EminentVictorians в сообщении #1602738 писал(а):

BorisK в сообщении #1602713 писал(а):

причем высказано предположение, что законы алгебры множеств можно обосновать без аксиом.

Без каких аксиом? Если в наивной теории множеств - то там никаких аксиом нету. Если какая-то формальная теория множеств, то там, собственно, аксиомы этой формальной теории множеств. И в таком случае законы алгебры множеств - это теоремы данной формальной теории множеств, выводящиеся из ее аксиом. В общем, какое-то сомнительное утверждение. Можно точное место, где это сказано?

В книге Куранте и Роббинса на стр. 132 – 144 рассмотрена алгебра множеств, причем на стр. 137 приводятся законы алгебры множеств и далее сказано «Проверка (verification в оригинале) этих законов - вопрос элементарной логики». Под элементарной логикой понимается представление возможных соотношений между множествами в виде диаграмм Эйлера-Венна и перебор различных вариантов. Этот же метод часто используется в современных учебниках логики для обоснования правильных модусов силлогизма. Хотя там стараются при этом не употреблять термин «множество», а говорят о каких-то модельных (или семантических) схемах. Более подробно о возможности использования этого метода для доказательства законов алгебры множеств написано в книге Кулика (с. 20-23). Правда, в этой книге почему-то нет ссылки на книгу Куранта и Роббинса.

mihaild в сообщении #1602742 писал(а):

Никаких "потенциальных" бесконечностей нет (есть такое слово в некоторых довольно экзотических разделах, но у него строгий смысл).

Насчет того, что "потенциальных" бесконечностей нет, я сильно сомневаюсь. На потенциальной бесконечности основан метод математической индукции, потенциальная бесконечность лежит в основе современных понятий «предел» и «сходимость», без которых невозможен математический анализ. При этом в непрерывных множествах (мощности континуума по некоторым вариантам теории множеств) при доказательствах используются не точки, а интервалы, которые при определенных построениях при стремлении к (потенциальной) бесконечности оказываются меньше любой наперед заданной величины. Не понимаю, как это нет потенциальных бесконечностей. А вещественные числа используются на практике для указания конечного числа отдельных точек или интервалов. Разумеется, интересно знать, что точек на линии и на любом интервале больше, чем всех чисел натурального ряда, но для практики и расчетов это мало что дает.

mihaild в сообщении #1602742 писал(а):

Мы можем построить неформальное исчисление предикатов, в нём построить формальную теорию множеств, в ней построить формальное исчисление предикатов. Начинать придется с чего-то неформального, потому что иначе не получится.

EminentVictorians в сообщении #1602738 писал(а):

Метатеория и не должна быть языком. Метатеория - это теория. Формальная или неформальная - это уже другой вопрос. Но язык (я сейчас имею в виду формальный язык) - это другое, и притом вполне точно определенное понятие.

Мне трудно понять, что такое неформальная теория, тем более неформальное исчисление предикатов. Можно ли строго определить неформальную теорию? Или метатеория обязательно должна быть не строгой. Например, некоторые авторы считают метатеорией естественный язык. Какая уж тут, извиняюсь, строгость?
Вопрос конкретный, можно ли в качестве метатеории использовать не язык (формальный или неформальный – неважно), а строгую алгебраическую систему?
Мой ответ: можно. Насколько я помню вы считаете, интерпретацию языка первого порядка метатеорией. С этим соглашусь. Тогда пойдем дальше. В статье «Как вычислять интересные следствия» в качестве интерпретации языка первого порядка предложена алгебра кортежей, т.е. строгая алгебраическая система. О преимуществах и недостатках такого подхода сказано в завершающей части статьи в Хабре.
А вы как считаете, можно или нельзя?

[EminentVictorians]

BorisK в сообщении #1603149 писал(а):

В книге Куранте и Роббинса
на стр. 132 – 144 рассмотрена алгебра множеств, причем на стр. 137 приводятся законы алгебры множеств и далее сказано «Проверка (verification в оригинале) этих законов - вопрос элементарной логики».

У них там обычная наивная теория множеств.

BorisK, давайте я пример приведу, может быть понятнее станет.
Пусть у нас есть семейство $A$ непустых попарно непересекающихся множеств (попарно непересекающиеся - это значит, что какие бы два разных множества из этого семейства Вы бы ни выбрали, у них не будет общих элементов). Согласны ли Вы с тем, что тогда существует множество, которое будет иметь с каждым из множеств нашего семейства $A$ в точности по одному общему элементу? (ну т.е. мы как бы выбрали из каждого множества по элементу и составили из них новое множество) Если Вы считаете, что все в порядке (т.е. что такое множество существует), это значит, что Вы приняли аксиому выбора.

Давайте ее сформулируем прямым текстом.

Аксиома выбора
Для всякого семейства $A$ непустых попарно непересекающихся множеств существует множество, которое будет иметь с каждым из множеств семейства $A$ в точности по одному общему элементу.

Вот это утверждение - оно сформулировано неформально, на обычном русском языке. А теперь зайдите в статью Система Цермело — Френкеля на википедии, и посмотрите, что из себя представляет эта самая аксиома, написанная в рамках формальной теории множеств. И в формальной теории все утверждения - такие. А формальное доказательство - это простыня из таких утверждений, идущих друг за другом. Вы точно уверены, что хотите заниматься такой математикой?

BorisK в сообщении #1603149 писал(а):

Вопрос конкретный, можно ли в качестве метатеории использовать не язык (формальный или неформальный – неважно), а строгую алгебраическую систему?

В качестве метатеории нужна прежде всего теория - формальная или неформальная. Алгебраическая система - это не теория. Подавляющее большинство алгебраических систем, которые встречаются в математике - сформулированы и записаны неформально. Да, можно взять какую-нибудь алгебраическую систему (например, группу) и построить формальную теорию (группы). От алгебраической системы эта формальная теория будет отличаться, собственно, атрибутами, присущими формальной теории (формальный язык со своей грамматикой, логические аксиомы, правила вывода). Если Ваш вопрос в том, можно ли взять (неформальную) алгебраическую систему и смотреть на нее как на (неформальную) теорию и использовать эту неформальную теорию как метатеорию для каких-нибудь формальных построений, то я не знаю. Наверное можно. Ну а действительно, пусть у нас есть моноид. Все, что мы умеем - это делать конкатенацию строчек. В принципе можно придумать формальную систему, для которой этот моноид будет метатеорией, но это, как бы выразиться помягче, довольно специфические сорта математики В общем, в качестве прикола, наверное, это можно сделать, но относиться к этому серьезно точно не надо.

И еще 1 момент. Вот Вы приводите в пример "алгебру множеств" из Куранта и Роббинса, говорите про ее строгость. Если что, там никаких формальных теорий нету. Вы приводите в пример обычную наивную теорию множеств. Это я говорю на случай, если Вы вдруг думаете, что там - формальная теория.